微分学的基本思想就是“丢掉高阶无穷小”。但是牛顿说过：“在数学中最微小的误差也不可忽略。”于是我们要问：“高阶无穷小为什么可以忽略？”为了说明“丢掉高阶无穷小”的确是可行的，必须建立严格的微分理论。
无穷小
首先我们需要严格刻画“无穷小”这个概念。无穷小显然不能通过“某个实数”这样静态地来刻画，它的“无限接近”只能通过动态的方式来被表达。因此很自然，我们必须用数列的极限或者函数的极限来描述它。任何一个在极限过程中趋向0的数列或者函数（它们是一回事）都是无穷小。
无穷小有许多种，\(n\to +\infty\)时，\(\dfrac{1}{n}\)是无穷小，\(\dfrac{1}{n^{100}}\)也是无穷小，\(\dfrac{1}{e^n}\)也是无穷小。我们从直观上（图像上）就能发现，如果\(n\)的步调一致，它们趋向0的速度是不一样的。为了描述这种速度的不同，我们可以把两个无穷小作比较，把它们相除看它们比值的极限。如果比值是0，意味着分子上的更快些；如果比值是无穷，那么分母上的更快些；如果比值是个有界实数，意味着它们速度差不多；特别地，如果比值是1，意味着它们速度完全相同。严格地来说，如果有\(\lim \dfrac{g(x)}{f(x)}=0\)，就说\(g(x)\)是比\(f(x)\)“高阶”的无穷小，并把这个表达式简写为\(g(x)=o(f(x))\)。如果要更直接地看这意味着什么，我们可以把\(g(x)\)看作某个\(\alpha(x) \cdot f(x)\)，其中\(\alpha(x)\)是一个在极限过程中趋向0的函数。也就是说，某个函数的高阶无穷小就等价于这个函数乘上一个无穷小。
微分的古典定义
我们很熟悉导数的定义，它描述了某个函数在某点处的瞬间变化率，从几何上看它等价于曲线在某点处切线的斜率。某点\(x_0\)处的导数存在，就是说极限\(\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在，我们把这个极限记为\(f'(x_0)\)。
根据极限的运算法则，\(f'(x_0)=\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)可以移项，写作\(\lim\limits_{h \to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)-f'(x_0)h}{h}=0\)。这为我们看这个问题提供了另一个角度——分子上的函数趋向0的速度“更快”一些。于是我们可以写出
\[f(x_0+h)-f(x_0)=f'(x_0)h+o(h) \]这向我们揭示了：当自变量从\(x_0\)变到\(x_0+h\)时，函数值的变化可以分解成两部分，一部分就等于\(h\)本身与另一个完全不依赖于\(h\)的常量的乘积；另一部分是一个比\(h\)更快地趋向无穷小的量。\(f(x_0+h)-f(x)\)完全描述了函数值的整个变化，称为全改变量，记为\(\Delta f\)；第一部分\(f'(x_0)h\)与自变量的变化量呈线性关系，称为改变量的线性部分，我们把用以刻画其线性特征的记号\(d\)置于对应的函数前，记为\(df\)；第二部分是高阶无穷小，仍记为\(o(h)\)。
所以一切函数的变化都可以表示为\(\Delta f=df+o(h)\)，我们将会看到，线性改变量就是我们说的“微分改变量”，简称“微分”。
我们考虑函数\(f(x) \equiv x\)。此时也有\(\Delta f = df + o(h)\)，只不过\(\Delta f\)就等于\(h\)，\(df\)也等于\(h\)，因此\(o(h)\)这一项就是0了。所以\(h\)就可以同时被写成\(\Delta x\)或者\(dx\)。因此我们可以写出\(df=f'dx\)，也就是\(\dfrac{df}{dx}=f'\)，它揭示了导数和函数线性改变量（微分）的直接联系。
由此可见，\(df,dx\)这些“微分”的记号没有任何神秘的东西，它们都只是“代表”了某些普通的量。