【线性代数】抽丝剥茧系列之特征值

1.特征值的直观理解

特征值，表示一个矩阵的向量被拉伸或压缩的程度。

先从直观上理解，以索大哈哈大笑的图像为例，水平方向分量为$x_1$，垂直方向分量为$x_2$:

1. 图1 ——> 图2：图片垂直方向没变，水平方向压缩为原来的一半，即此过程水平方向的特征值缩小为原来的一半：$\lambda = 1/2$；
2. 图2 ——> 图3：图片水平方向没变，垂直方向变化同上，即：$\lambda = 1/2$；
3. 图3 ——> 图4：图片水平旋转了180度，即：$\lambda = -1$。

这里简单考虑了水平方向和垂直方向的简单变化。

这一过程的表达式为：$Ax = \lambda x$，即一个向量（或函数）被矩阵相乘，表示对这个向量做了一个线性变换。如果变换后还是这个向量本身乘以一个常数，这个常数就叫特征值。

接下来正式考虑矩阵的特征值。

2.投影矩阵的特征值

首先考虑投影矩阵，对投影矩阵$P$而言：

1. 对正处于投影平面的任意向量$x_1$而言有$Px_1=x_1$，即$\lambda=1$；
2. 对垂直于投影平面的任意向量$x_2$而言有$Px_2=0$，即$\lambda=0$。

综上即：即投影矩阵的特征值为0或者1。

3.特征值求法

如何求解$Ax = \lambda x$?

思想：转化为求解方程组的问题：$(\lambda E-A) x= 0$ 这里由于$x \neq 0$，所以矩阵$\lambda E- A$必须是奇异的（不可逆的），其对应的行列式$|\lambda E-A|=0$被称为特征（值）方程，而$\lambda E - A$则被称作特征多项式。

求矩阵$A =\begin{bmatrix}3&1\1&3\end{bmatrix}$的特征值和特征向量：

1. 首先构造特征方程： $\begin{vmatrix}\lambda-3&1\1&\lambda-3\end{vmatrix} = (\lambda -3)^2 - 1 = \lambda^2 -6\lambda + 8 = (\lambda-2)(\lambda -4)=0$

可以解得：$\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4$

而最终化简得到的关于$\lambda$的表达式中，其实6表示迹，8表示行列式的值。

特征值还有一点猫腻：

• 特征值之和等于迹 $\sum_{i=1}^n \lambda_{i} = \sum_{i}^n a_{ii}(即tr(A))$

• 特征值乘积等于对应方阵行列式的值 ，即$\prod_{i=1}^n \lambda_{i} = |A|$

2. 求解特征向量

即将$\lambda$ 重新待会特征多项式当中求解基础解系即可，此处不做阐述。

特征值的应用十分的广泛，后面会争取写一些实际运用的案例。