线性代数

第一章 行列式

高斯消元法永不过时。

1. 1 \(n\)阶行列式的定义及性质

线性性质

(1)\(\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} & ... & a_{1n} & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ ka_{i1}& ka_{i2} & ... & ka_{in} & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_{n1}&a_{n2} & ... & a_{nn} & \end{vmatrix}=k\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} & ... & a_{1n} & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_{i1}& a_{i2} & ... & a_{in} & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_{n1}&a_{n2} & ... & a_{nn} & \end{vmatrix}\)

(2)\(\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} & ... & a_{1n} & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_{i1}+b_{i1}& a_{i2}+b_{i2} & ... & a_{in}+b_{in} & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_{n1}&a_{n2} & ... & a_{nn} & \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} & ... & a_{1n} & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_{i1}& a_{i2} & ... & a_{in} & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_{n1}&a_{n2} & ... & a_{nn} & \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12} & ... & a_{1n} & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ b_{i1}& b_{i2} & ... & b_{in} & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a_{n1}&a_{n2} & ... & a_{nn} & \end{vmatrix}\)

行列式的三种变换

• 提出某一行公因子,记作:\(r_i\div k,(列的情形为c_i\div k)\)
• 把某⼀⾏的 \(k\) 倍加到另⼀⾏,记作:\(r_i+kr_j,(列的情形为c_i+kc_j)\)
• 互换某两⾏, 记作: \(r_i ↔ r_j (列的情形为 c_i ↔ c_j)\).

上下翻转矩阵

\(\begin{vmatrix} a_{11} & ... & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & ... & a_{nn} \end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\begin{vmatrix} a_{n1} & ... & a_{nn}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{11} & ... & a_{1n} \end{vmatrix}\)

一个小结论

\(\sum^{n}_{k=1}a_{ik}A_{jk}=\delta _{ij}D\ \ \ (\delta_{ij}为克罗内克记号,i=j时为1,i\ne j时为0)\)

1. 2 \(n\)阶行列式的计算

经典例题的四种解法

问题:计算 \(n\) 阶行列式

\(D_n=\begin{vmatrix} x&a & ... & a & \\ a& x & ... & a & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ a&a & ... & x & \end{vmatrix}\)

• 解法一:将将第⼀⾏乘以 (−1) 依次加到其余各⾏,然后爪子形直接算就行。

\(D_n=\begin{vmatrix} x&a &a & ... & a & \\ a-x& x-a&0 & ... & 0 & \\ a-x&0&x-a&...&0&\\ \vdots & \vdots & \vdots && \vdots & \\ a-x&0&0 & ... & x-a & \end{vmatrix}=[x+(n-1)a](x-a)^{n-1}\)

• 解法二:将各列都加到第⼀列。

\(\begin{align} D_n=\begin{vmatrix} x+(n-1)a&a & ... & a & \\ x+(n-1)a& x & ... & a & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ ax+(n-1)a&a & ... & x & \end{vmatrix}&=[x+(n-1)a]\begin{vmatrix} 1&a & ... & a & \\ 1& x & ... & a & \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \\ 1&a & ... & x & \end{vmatrix}\\ &=[x+(n-1)a]\begin{vmatrix} 1&a &a & ... & a & \\ 0& x-a&0 & ... & 0 & \\ 0&0&x-a&...&0&\\ \vdots & \vdots & \vdots& & \vdots & \\ 0&0 &0& ... & x-a & \end{vmatrix}\\ &=[x+(n-1)a](x-a)^{n-1} \end{align}\)

• 解法三:升阶法.

  \(D_{n}=\left|\begin{array}{c:cccc} 1 & a & a & \cdots & a \\ \hdashline 0 & x & a & \cdots & a \\ 0 & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a & a & \cdots & x \end{array}\right|_{(n+1)} \quad =\left|\begin{array}{ccccc} 1 & a & a & \cdots & a \\ -1 & x-a & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 0 & x-a & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ -1 & 0 & 0 & \cdots & x-a \end{array}\right|_{(n+1)}\)

• 解法四:将 \(D_n\) 的第 1 列拆开, 得：

  \(D_{n}=\left|\begin{array}{ccclc} x-a & a & a & \cdots & a \\ 0 & x & a & \cdots & a \\ 0 & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & a & a & \cdots & x \end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccccc} a & a & a & \cdots & a \\ a & x & a & \cdots & a \\ a & a & x & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a & a & a & \cdots & x \end{array}\right|=(x-a) D_{n-1}+a(x-a)^{n-1}\)

  此时有\(\left\{\begin{aligned} D_{n} &=(x-a) D_{n-1}+a(x-a)^{n-1} \\ (x-a) D_{n-1} &=(x-a)^{2} D_{n-2}+a(x-a)^{n-1} \\ &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ (x-a)^{n-2} D_{2} &=(x-a)^{n-1} D_{1}+a(x-a)^{n-1} \end{aligned}\right.\)

  则\(D_{n}=(x-a)^{n-1} x+(n-1) a(x-a)^{n-1}=(x+(n-1) a)(x-a)^{n-1}\)

范德蒙行列式

\(V_{n}=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & a_{3}^{2} & \cdots & a_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & a_{3}^{n-1} & \cdots & a_{n}^{n-1} \end{array}\right|\)

称为范德蒙行列式，有\(V_{n}=\prod_{1 \leqslant j<i \leqslant n}\left(a_{i}-a_{j}\right).\)

缺一行的范德蒙行列式

计算\(D=\begin{vmatrix} 1 & 1 &1 \\ x_1 & x_2 &x_3 \\ x_1^3 & x_2^3 &x_3^3 \end{vmatrix}\)

解:

构造\(D_{1} =\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & y \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & y^{2} \\ x_{1}^{3} & x_{2}^{3} & x_{3}^{3} & y^{3} \end{array}\right|\)

• 对行列式 \(D_1\) 按第四列展开

\(D_1=1\times A_{14}+yA_{24}+y^2A_{34}+y^3A_{34}\)

此时\(y^2\)系数为\((-1)^{(3+4)}D=-D\)

• 对\(D_1\)用范德蒙行列式公式有

\(D_1=(y-x_1)(y-x_2)(y-x_3)\prod_{1\leqslant j<i\leqslant 3}(x_i-x_j)\)

此时提取 \(y^2\) 系数，则 \(D=(x_1+x_2+x_3)\prod_{1\leqslant j<i\leqslant 3}(x_i-x_j)\)

1. 3 克拉默法则

齐次线性方程组有非零解的必要条件为 \(D=0\)

克拉默法则在理论研究中有重要意义，揭示了方程组的解和系数之间的关系。