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一、向量

定义

有大小、有方向的量称为向量，记为 \(\overrightarrow{a}\) 或 \(\boldsymbol a\)，向量可以任意平移。向量以有向线段的方式表示，有向线段有三要素：起点，方向，长度。

有向线段 \(\overrightarrow{AB}\) 的长度称为它的模长，记为 \(|\overrightarrow{AB}|\)。特别的，当模长为 \(0\) 的时候，这个特殊向量称为零向量，零向量的方向是任意的，长度始终为 0。

若两个非零向量 \(\boldsymbol a ,\boldsymbol b\) 方向相同或相反，称这两个向量平行，记作 \(\boldsymbol a \parallel \boldsymbol b\)。对于多个互相平行的向量，我们可以找到一条直线，使得所有向量都能移动到该直线上，所以平行又可以称为共线。

若已知两个向量 \(\boldsymbol a,\boldsymbol b\)，做 \(\overrightarrow{OA}=\boldsymbol a,\overrightarrow{OB}=\boldsymbol b\)，\(\angle AOB\) 即为向量 \(\boldsymbol a, \boldsymbol b\) 的夹角，记作 \(\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle\)。特别的，当 \(\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle=0\) 的时候，两向量同向，当 \(\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle=\pi\) 的时候，两向量反向，当 \(\langle \boldsymbol a,\boldsymbol b\rangle=\frac \pi2\) 的时候，两向量垂直。

计算

对于向量的加法，我们可以类比力的合成，使用三角形公式与平行四边形公式进行计算。

1. 平行四边形公式，即若两个向量起点相同，则以两个向量为两边，做出一个平行四边形，他们的和的起点为两个向量的公共起点，终点为平行四边形内不与这两个向量相邻的端点。
2. 三角形公式，即对于两个首尾相接的向量，做出一个以两个向量为两边的三角形，它们的和即为第三边。

对于向量的减法，可以类比数的减法，即 \(\boldsymbol a - \boldsymbol b = \boldsymbol a + (-\boldsymbol b)\)。

二、线性代数简介

“线性”的来由

由于一次函数 \(y=kx\) 的函数图像是一条直线，故一次函数又称为线性函数。推广一下，所有类似这种 \(kx\) 乘法的变换都被称为线性变换。

域

简单来说，域是带有符合运算律的加减乘除运算的集合。要求有 \(0,1\)，倒数、相反数存在，加、乘满足交换律、结合律、分配律。如有理数域 \(\mathbb{Q}\)，实数域 \(\mathbb{R}\)。

域的判定

对于一个集合 \(F\) 和上述运算 \(+\)，\(\times\)，若 \((F,+,\times)\) 满足以下条件，则称其为一个域。

1. 满足交换律，即 \(\forall x,y\in F,x+y=y+x,x\times y = y \times x\)。
2. 满足结合律，即 \(\forall x,y,z\in F,x+y+z=x+(y+z),x\times y\times z = x \times (y\times z)\)。
3. 满足分配律，即 \(\forall x,y,z\in F,(x+y)\times z = x \times z + y \times z\)。
4. 有加法、乘法逆元，即 \(\forall x\in F,\exists (-x) \in F, x + (-x) = 0\)，\(\forall x\in F,\exists (x^{-1}),x\times (x^{-1}) = 1\)。
5. 有单位元，即 \(\exists 0,1\in F,\forall x \in F, 0+x = x,1\times x = x\)。

线性空间

一般的，一个线性空间 \(V\) 基于一个域 \(\mathbb{F}\) 定义，要求 \(V\) 内有加法运算，且 \(V\) 内的元素可以域 \(\mathbb{F}\) 内的元素相乘，并且满足运算律。