我突然意识到也许知道上极限和下极限再来血这个会容易一点。QwQ符号约定\(\mathbb{N,Z,Q,R}\)在之前已经构造了，应该不存在问题。\(\logn\)表示\(n\)取自然对数（也就是国内用的\(\ln\)）。历史遗留问题在[[分析基础I]]中提到不同定义下的\(\mathbb{R}\)是\(\text{i

映射的理解我确信高中没学过（逃定义考虑集合\(A,B\)，一个从\(A\)到\(B\)的映射被记作\(\varphi:A\mapstoB\)，满足：\[\foralla\inA,\varphi(a)\inB\]其中\(\foralla\inA,\varphi(a)\)是唯一的。\(a\)叫\(\varphi(a)\)的原像（\(\text{preimage}\)），\(\varphi(a)

借助这道题目，讲一下所有最大流建模的思路对于原问题的解集\(S\)和我们建模之后的网络的可行流集合\(T\)，我们需要证明\(\foralls∈S,\existst∈T,|s|=|t|\)（前面一个绝对值符号表示\(s\)的值，后面一个绝对值符号表示\(t\)的最大流）且\(\forallt∈T,\existss∈S,|s|=|t|\)（其实上面

9.1闲话做题纪要9.2闲话做题纪要牛客NC278007WakeyWakey手摸一下长度为\(2\)的区间发现只有两个数均相等才合法，进一步扩展可知当且仅当\(a_{1}=a_{2}=\dots=a_{n}\)才合法。故\(m\bmodp\)即为所求。点击查看代码intmain(){intt,n,m,p,i;

在\(sort\)的时候,我们的\(cmp\)函数应该满足\(<\)可什么是小于它需要满足什么性质才能等价于小于?序理论给出了严格的定义二元关系集合\(X\)和集合\(Y\)上的一个二元关系,\(G(R)\subseteqX\timesY=\{(x,y);x\inX,y\inY\}\)\(xRy\)成立当且仅当\((x,y

这个人太菜了，轻喷。数列极限定义数列的概念自变量为正整数的函数\(u_n=f(n)\)，其中\(n=1,2,3\cdots\)，将其函数值按自变量从小到大排成一列数\(u_1,u_2\cdotsu_n\cdots\)，称为数列，将其简记为\(\{u_n\}\)。其中\(u_n\)称为数列的通项或者一般项。、数列极限的定义（\(\eps

自然数集前置芝士：皮亚诺公理。求证：\(\foralla,b\in\mathbb{N},\)都有\(a+b=b+a\)。（即代数结构\((\mathbb{N},+)\)为一个阿贝尔群。）证：先证明\(\foralla\in\mathbb{N}\)，都有\(0+a=a+0\)。显然\(0+0=0+0\)，若\(k\in\mathbb{N}\)，有\(0+k=k+0\)成立，由于等式性质

加训一下。1.[ARC181E]MinandMaxattheedge场上没人过的神题。（大概是搬运的官方题解）先考虑如何chk一个图是否存在好生成树。观察好生成树的限制，发现其对于非树边的限制是在生成树上连接两点的路径有关。而Kruskal的证明就是对于每条非树边，其边权大于所有其路径上的树

https://www.luogu.com.cn/training/168096CF1359ELemma:\(\forallx\in\mathbb{N},\x\bmoda\bmodb=x\bmodb\bmoda\iffa\midb\(a<b)\)Proof:因为\(a<b\)，所以\(x\bmoda\bmodb=x\bmoda\)。设\(x=pb+q\)，其中\(0<q<b

群的基本概念给定一个集合\(\text{G}=\{a,b,c,\cdots\}\)以及一个运算符*，满足以下性质：封闭性：\(\foralla,b\in\text{G},\existsc\in\text{G},a*b=c\)结合律：\(\foralla,b,c\in\text{G},(a*b)*c=a*(b*c)\)单位元：\(\existse\in\text{G},\foralla\in\text{

一：字符数据处理1：字符关系字符比较是按ASCII码值的大小进行比较的。排列的基本规则是：空格字符最小，数字比字母小，大写字母比小写字母小。字符型数据比较遵循：（1）单个字符按ASCII比较（2）两个相同长度的字符串的比较是将字符串的字符从左到右逐个比较，以第一对不同字符的比较结果为准

函数(function)题目描述Mr.Az学习了函数的知识，知道了函数只要输入一个值就会返回一个值。但他觉得这些函数太死板了，于是他想：如果存在一个函数能让我操控它的对应关系就好了，比如说让\(f(3)=2,f(15)=65,f(114514)=1919810\)等等。Mr.Az想控制函数其中的\(n\)对关系，每对关

幽夜默示录解析没有爱就看不见P1直接构造前件为真，后件为假的情况即可。比如可令\(P(x,y)\)永真、\(Q(x,y)\)永假。P2构造时满足「对于任意的\(y\)」存在「不同的\(x\)」满足\(P(x,y)\)即可。比如\[P=\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\right)\]P3注

T1用等值演算、构造指派等方式判断公式的永真性(1)判断永真性：\((\forallxP(x)\rightarrow\existxQ(x))\rightarrow\existx(P(x)\rightarrowQ(x))\)首先尝试转化前束范式\[\begin{aligned}&(\forallxP(x)\rightarrow\existxQ(x))\rightarrow\existx(P(x)

T1用等值演算、构造指派等方式判断公式的永真性(1)\[(\forallxP(x)\rightarrow\existxQ(x))\rightarrow\existx(P(x)\rightarrowQ(x))\](2)\[(\forallxP(x)\rightarrow\forallxQ(x))\rightarrow\forallx(P(x)\rightarrowQ(x))\]T2以下哪一步出现错误？

陪集(Coset)在Cayley定理的证明中，以及在证明对称群中奇置换与偶置换数量相等时，我们都用到了群的这样一个性质：如果以群\(G\)中的任意一个特定元素\(g\inG\)来产生一个映射\(G\toG:f(x)=g\circx\)，则\(f\)一定是单射。这本质上缘于群具有“消去律”的性质：如果\(g\circx_1=g\circ

1.餐巾计划问题建图跑费用流即可：\((S,1,\inf,p)\);\(\foralli\in[1,N],(i,i+N,r_i,0)\);\(\foralli\in[1,N],(S,i+N,r_i,0)\);\(\foralli\in[1,N],(i,T,r_i,0)\);\(\foralli\in[1,N),(i,i+1,\inf,0)\);\(\foralli\in[1,N-n],(i+N,i+n,\inf,f)\);\

T1今有一逻辑表达式\(F_0\)为：\[(p\rightarrowr)\rightarrow((q\rightarrowr)\rightarrow(p\lorq)\land\negr)\]其中的联结词运算优先级与命题逻辑合式公式完全相同。观察\(F_0\)的形式，完成以下两个题目(1)补全真值表pqr\(p\rightarrowr\)\(q\rightarrowr\)

T1代换式、替换式求代换式\((P\rightarrow(P\rightarrowQ))[P/P\rightarrowR]\)求替换式\((P\lorR\rightarrowP\lorR\landS)[(P\lorR)/(P\landR)]\)已知\(P,Q,R,S\)是命题逻辑合式公式，\(P\)是\(Q\)的子公式，\(R\)不是\(Q\)的子公式，用\(Q^1\equivQ[P/R]\)和「替

感谢lcw学长的blog，讲的很清晰，受益匪浅。本文使用大量非正式语言，如有需要可以去看原论文。定义称形如\(f(x_1,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^na_ix_i\)的函数为线性函数。称\(f(x_1,\cdots,x_n)\geb,f(x_1,\cdots,x_n)=b,f(x_1,\cdots,x_n)\leb\)为线性约束。称满

海亮02/19杂题个人题单T5link题意设一个数组\(a_{1,2,\dots,l}\)是平衡的，当且仅当\(\existsk\in[1,\frac{l-1}{2}],\foralli\in[1,l-2\timesk],a_{i}+a_{i+2\timesk}=2\timesa_{i+k}\)。现在给你一个数组\(a\)，你需要对\(\foralll\in[1,n]\)求出子序列

§1.1域§1.2矩阵的基本运算§1.3\(\text{Gauß}\)消元与矩阵的相抵标准型第一节域定义：一个群是指一个集合\(G(|G|\ge2)\)与二元运算\(*\)，满足：封闭性：\(\foralla,b\inG,a*b\inG;\)结合律：\(\foralla,b,c\inG,(a*b)*c=a*(b*c);\)存在恒元：\(\existse\inG.

§1.1域§1.2矩阵的基本运算§1.3\(\text{Gauß}\)消元与矩阵的相抵标准型第一节域定义：一个群是指一个集合\(G(|G|\ge2)\)与二元运算\(*\)，满足：封闭性：\(\foralla,b\inG,a*b\inG;\)结合律：\(\foralla,b,c\inG,(a*b)*c=a*(b*c);\)存在恒元：\(\existse\inG.\fo

$$\color{indigo}\large\text{[王崧-数论01]从自然数到算数基本定理}$$ $\large\mathbb{Part\01}\text{自然数,归纳和最小数原理}$$\text{1.1自然数}$$\mathbb{N_1=\{1,2,3,...\}}$$\mathbb{N_0=\{0,1,2,...\}}$$\mathbb{Z=\{0,\pm1,\pm2,\pm3...\}}$$\text{“道生一,一

霍尔定理前置芝士/约定：应用在二分图匹配中，设当前二分图的两部为\(A,B\)部。现在任意从\(A\)中选出一个子集\(S\)，并且把所有\(S\)中的点连接的，\(B\)部中的点放进集合\(T\)。完美匹配指\(A\)中的所有点都可以被匹配。参考博客（带证明）定理1若对于\(\forall