记录一下比较厉害的数学科技。
群
若 \(G\) 为集合，且在 \(G\) 上有二元运算 \(\cdot\)，且满足如下性质，则称 \(\left(G,\cdot\right)\) 为一个群：
-
结合律：对于 \(\forall (a,b,c) \in G^3\)，有 \(abc=a(bc)\)
-
单位元：有唯一的 \(e\in G\)，满足 \(\forall a \in G，ae=ea=a\)
-
逆元：对于 \(\forall a\in G\)，存在唯一 \(a^{-1}\in G\)，\(a a^{-1}=e\)
满足 1 时，\((G,\cdot)\) 为半群。满足 2,3 时， \((G,\cdot)\) 为幺半群。
一些结论：
结论 1：若 \((a,b,c) \in G^3\)，且 \(ab=ac\)，有 \(b=c\)
证明：
\[\because G 为一个群 \]\[\therefore a^{-1}\in G \]\[\therefore a^{-1}ab=a^{-1}ac \]\[\therefore b=c \Box \]结论 2：若一个幺半群 \((G,\cdot)\) 满足 \(a\cdot a^{-1}=e\)，则 \(G\) 仍为一个群。
证明：
\[令 b=(a^{-1})^{-1} \]\[\therefore a^{-1}\cdot b=e \]\[\therefore a^{-1}a=a^{-1}ae=a^{-1}aa^{-1}b=a^{-1}b=e \Box \]结论 3: 对正整数 \(n\)，定义 \(a\in G\) 的 \(n\) 次幂为 \(a^n\)，且 \(a^0=e,(a^{-1})^n=a^{-n}\)，则有：
1. 对于 \(\forall n,m\), 有 \(a^{n+m}=a^{n}a^{m}\)
2. 对于 \(\forall n,m\), 有 \(a^{nm}=(a^n)^m\)
易证得。
子群与 Largrange 定理
子群的定义
若 \((G,\cdot)\) 为一个群，\((H,\cdot)\) 为一个群且 \(H \subseteq G\)，则 \(H\) 为 \(G\) 的子群。记作 \(H\le G\)。
子群判别定理
如果 \(G\) 是一个群，\(H\) 是 \(G\) 的非空子集，那么 \(H\) 是 \(G\) 的子群当且仅当对任意 \((a, b) \in H^2\)，都有 \(ab^{-1} \in H\)。
证明：
\[\because G为一个群 \]\[\therefore H 的运算仍然满足结合律 \]\[取 a\in H \subseteq G，则有 a\cdot a^{-1}=e，即 H 中有单位元 \]\[\therefore \forall a\in H, a^{-1}=e\cdot a^{-1}\in H \]\[又\because a\cdot b^{-1}\in H \]\[\therefore a\cdot (b^{-1})^{-1}=ab\in H \Box \]陪集
对于 \(G\) 的子集 \(H\)，若 \(H=xG\)，则 \(H\) 为 \(G\) 的左陪集；若 \(H=Gx\)，则 \(H\) 为 \(G\) 右陪集。
若 \(H\) 有限，则其左右陪集大小都与其相等。
Lagrange 定理
若 \(H\) 是有限群 \(G\) 的子群，则 \(H\) 的所有不同的左陪集（右陪集）将 \(G\) 划分为了多个大小一样的部
分，从而 \(|H|\) 整除 \(|G|\)，分成的部分总数为 \(|G|/|H|\). 定义 \(|G|/|H|\) 为 \(H\) 在 \(G\) 中的指数，记为
\([G : H]\)。
证明：
标签：cdot,多项式,群论,lya,子群,aH,forall,陪集,therefore From： https://www.cnblogs.com/caoshurui/p/18666763这里只对于左陪集证明该命题，右陪集的情况类似可证.
由于 \(a = ae \in aH\),故 \(H\) 所有的左陪集可以覆盖 \(G\),只需说明任意两个不同的左陪集都完全不相交
使用反证法, 如果 \(aH \neq bH\) 但是它们有相交的部分，取 \(g \in aH \cap bH\), 则存在 \(h_1\), \(h_2 \in H^2\) 使得 \(g = ah_1 = bh_2\)
注意到 \(aH = \left\{ah|h\in H\right\} = {b(h_2h_1^{-1}h) | h \in H}\)，而 \(h_2h^{-1}\in H\), 故 \(aH \subseteq bH\),同理可证 \(bH \subseteq aH\),从而 \(aH = bH\), 矛盾.\(\Box\)