基础群给定一个集合\(G\)和集合上的二元运算\(\times\)，满足：封闭性，若\(a,b\inG\)，则\(a\timesb\inG\)。结合律，对于任意\(a,b,c\inG\)，则\((a\timesb)\timesc=a\times(b\timesc)\)。存在单位元，\(e[x]=x\)。存在逆元。则称\(G\)在运算\(\times\)下是一个群

一、重要性1.1领域意义群论是数学的一个分支，主要研究代数结构中的群、环、域等。尽管它看似抽象，但在编程领域，群论有着广泛的应用和深刻的意义。算法设计与优化：群论在算法设计中发挥着重要作用。例如，在密码学中，群论被用于设计安全的加密算法，如椭圆曲线密码学，它依赖于椭圆曲线

1.群1.1.群的定义定义集合\(G\)的作用于集合\(G\)的运算符\(\times\)，若满足一下己个性质则称之为一个群（\({\text{Group}}\)），记为\((G,\times)\)：1.封闭性若满足\(a,b\inG\)，则有\(a\timesb\inG\)。2.结合律若满足对于任意的\(a,b,c\)都有\(a\times(b\tim

注意：博客园渲染不等号有点问题，如果你看到一个等号右下方飘着一根杠的话，那玩意其实是不等号，就像这样：\(\neq\)。群论/Burnside引理/Polya定理学习笔记。这是真的边学边记抄，根本记不住，看得昏昏欲睡的。我现在知道有什么东西是比062还抽象的了，抽象代数你抽象死我了。群

陪集(Coset)在Cayley定理的证明中，以及在证明对称群中奇置换与偶置换数量相等时，我们都用到了群的这样一个性质：如果以群\(G\)中的任意一个特定元素\(g\inG\)来产生一个映射\(G\toG:f(x)=g\circx\)，则\(f\)一定是单射。这本质上缘于群具有“消去律”的性质：如果\(g\circx_1=g\circ

陪集在Cayley定理的证明中，以及在证明对称群中奇置换与偶置换数量相等时，我们都用到了群的这样一个性质：如果以群\(G\)中的任意一个特定元素\(g\inG\)来产生一个映射\(G\toG:f(x)=g\circx\)，则\(f\)一定是单射。这本质上缘于群具有“消去律”的性质。如果\(G\)是有限的，我们进一步

循环群(medium)循环群定义群\(G\)中的元素都是某个元素\(g\)的幂，则\(G\)称为循环群。\(g\)是\(G\)的一个生成元，\(g\)生成的循环群\(G\)记为\((g)\)或\(<g>\)。循环群分类无限循环群：\(\{...,g^{-2},g^{-1},g^{0},g^{1},g^{2},...\}\)，其中\(g^{0}=e\)

模拟赛的时候一看T4，哦旋转，哦本质不同，哦群论啊，我不会啊，然后就被区分了，于是痛定思痛来学习一下尝试入门很多次但是失败了的群论。这篇文章以我的方式理清楚了Burnside引理的证明过程，有些认为不重要的就跳了，有些重要的也跳了。群群的定义我们称一个集合\(G\)和二元运算\(\t

Part0群§0.0群的基本定义一个集合\(S\)，再加上一个二元运算\(\times\).（不一定是真的乘法）如果满足下面的这条性质：\(\forallx,y\inS,x\timesy\inS\)（封闭律）我们称这个集合和这个运算的整体\((S,\times)\)构成一个代数系统。如果进一步满足这个性质：\(\forall

定义群：\((S,\circ)\)，集合\(S\)和二元运算\(\circ\)，其中\(\cdot\)满足：封闭性；结合律；存在单位元\(e\)；任意元素\(a\)存在逆元\(a^{-1}\)．若仅满足存在左单位元和左逆元，可证左右单位元/逆元唯一且相等。交换群/阿贝尔群：满足交换律的群。半群：运算仅要求封闭性和结合律。

#群的定义##群若集合$G$和其上的运算$*$满足一下四个条件，则称二元组$(G,*)$构成**群**。1.**封闭性**：$\forallf,g\inG,f*g\inG$。2.**结合律**：$\forallf,g,h

#五、群论入门####群的定义可以理解为：$群G(S,*)=集合（S）+运算（*）$群的4个条件：在运算$*$作用下：1.封闭性2.存在单位元3.逆元存在4.$*$运算满足结合律 ####