群论小记

1.群

1.1.群的定义

定义集合 \(G\) 的作用于集合 \(G\) 的运算符 \(\times\)，若满足一下己个性质则称之为一个群（\({\text{Group}}\)），记为 \((G,\times)\)：

1.封闭性

若满足 \(a,b \in G\)，则有 \(a\times b \in G\)。

2.结合律

若满足对于任意的 \(a,b,c\) 都有 \(a \times (b \times c) = (a \times b) \times c\)。

3.单位元

对于所有的 \(a \in G\)，都有 \(e \times a = a \times e = a\)。

4.逆元

对于所有的 \(a \in G\)，都有 \(a^{-1} \times a = 1\)。

1.2.群的简单性质

• 一个群的单位元唯一。

• 如果 \(a \times x_1 = e\)，那么我们说 \(x_1\) 为 \(a\) 的右逆元，\(x_2 \times a = e\)，那么我们说 \(x_2\) 是 \(a\) 的左逆元。那么左逆元等于逆元。

• 一个群中 \(x\) 的逆元为 \(1\)。

• 群中有消去律存在。

1.3.子群和其衍生

1.3.1.定义

子群： 对于一个群 \(G(S,\times)\)，若有 \(T \subseteq S\)，并且 \(H(T,\times)\) 也是一个群，那么我们称之为 \(H\) 是 \(G\) 的子群，记作 \(H \le G\)。

生成子群： 对于 \(S\) 的一个子集 \(T\)，我们求出所有的 \(G\) 的所有使 \(T \subseteq T^`\) 的子群 \((T^`,\times)\) 的交 \(G^`\)，我们称 \(G^`\) 为 \(T\) 的生成子群，同时 \(T\) 也是 \(G^`\) 的生成集合，记作 \(\langle T\rangle\)，当 \(T = \{x\}\) 时，也记作 \(\langle x\rangle\)。

循环群：可由一个元素生成的群。

陪集：对于一个群 \(G\) 的子群 \(H\)。

• 如果 \(H \le G\)，对于 \(a \in G\)，定义 \(H\) 的一个左陪集 为 \(_aH=\{ah\arrowvert h\in H\}\)

• 如果 \(H \le G\)，对于 \(a \in G\)，定义 \(H\) 的一个右陪集 为 \(H_a=\{ha\arrowvert h\in H\}\)

注意陪集不一定是一个群，因为陪集显然可能没有单位元。

1.3.2.陪集的性质

这是一些有关于陪集的性质，这里只讨论右陪集。

• \(\forall a \in G,|H| = |H_a|\)。

• \(\forall a\in G,a\in H_a\)。

• \(H_a=H \Leftrightarrow a\in H\)。

• \(H_a = H_b \Leftrightarrow ab^{-1} \in H\)。

• \(H_a\cap H_b\neq \varnothing \Rightarrow H_a=H_b\)。

1.3.3.拉格朗日定理

若 \(H \le G\)，那么有：

其中 \([G : H]\) 表示 \(G\) 中 \(H\) 不同的陪集个数。