数论函数集与狄利克雷卷积在群论上的证明

狄利克雷卷积

\((f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})\)。

数论函数集上的运算

将函数加法视为数论函数集上的加法，狄利克雷卷积视为乘法，则 \((G,+,*)\) 是一个整环。

\((G,+)\) 是阿贝尔群

封闭性、结合律、交换律是显然的。

单位元是常数函数 \(f(x)=0\)，逆元显然存在。

\((G,*)\) 是交换幺半群

封闭性、交换律显然。

单位元为 \(\varepsilon(x)=[x==1]\)。

结合律推推式子就行。

注意逆元存在当且仅当 \(f(1)\neq 0\)。

满足分配律

推推式子就行。