叉积Crossproduct叉积与两个初始向量正交。方向可由左右手定则判断(取决于左/右手坐标系)。用于构建三维坐标系。满足的性质不满足交换律叉积计算(笛卡尔坐标下)可写成矩阵叉积在图形学的应用确定在坐标轴的左/右。确定在三角形的内/外。(ABXAPBCXBPCAXC

下周这时候我就回家了啊。国庆后大概就得寒假再回去了，要连着在宿舍呆三个月。有点害怕国庆结束后万一撑不下去怎么办，不过应该不会那么脆弱吧。高代课感觉啥都没讲，就是很重要但太基础的东西嘛。我其实不太懂这些交换律结合律啊之类的东西，是直接背下来每个结构有啥样的性质，还是

自然数集前置芝士：皮亚诺公理。求证：\(\foralla,b\in\mathbb{N},\)都有\(a+b=b+a\)。（即代数结构\((\mathbb{N},+)\)为一个阿贝尔群。）证：先证明\(\foralla\in\mathbb{N}\)，都有\(0+a=a+0\)。显然\(0+0=0+0\)，若\(k\in\mathbb{N}\)，有\(0+k=k+0\)成立，由于等式性质

狄利克雷卷积\((f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})\)。数论函数集上的运算将函数加法视为数论函数集上的加法，狄利克雷卷积视为乘法，则\((G,+,*)\)是一个整环。\((G,+)\)是阿贝尔群封闭性、结合律、交换律是显然的。单位元是常数函数\(f(x)=0\)，逆元显然存在。

本节课主要讲了计算机图形学中要用到的线性代数知识，包括向量的点乘、叉乘以及矩阵的乘法，属于很基础的一节课。点乘点乘的性质如下:点乘满足交换律、结合律、分配律用途：1、点乘可以用于将一个向量投影到另一个向量上      2、点乘可以计算两个向量之间的角度，比

交换律：当式子具有交换律时，我们可以考虑序列颠倒做两遍，算多了整体除二，强制钦定顺序等手段，优雅的解决这类问题。https://codeforces.com/contest/1635/problem/F 结合律：当发现维护的内容，存在结合律时，可以考虑线段树维护（需要支持信息快速结合），静态问题可以考虑猫树 重复消去

1.异或:^①1^1=0  2^2=0 3^3=0 44=0...可以推出YY=0(Y是任意字符或者数)②0^Y=Y  ③满足交换律:xyx=xxy

亦或就是相同为0，不同为1若AxorB==C则：1、A xorC==BC xorA==BB xorA==CAxorB==CCxorB==ABxorC==A（满足类似于交换律的东西）2、(AxorB)xorC==0AxorBxorC==0(AxorC)xorB==0AxorCxorB==0(CxorB)xorA==0C xor B xorA==0 

1.公式： a⊕b=b⊕a(交换律）a⊕b⊕c=a⊕(b⊕c)(结合律）a⊕0=a(恒等率）a⊕a=0 2.应用场景：给出一些数字，这些数字里面只有一个是不重复的，请问怎么找到他？其实，就是用异或的交换律和结合律，把这些数字n1n2.....nk异或起来，会发现最终结

 狄利克雷卷积主要在杜教筛中应用，他的原式是：设f和g为算数函数，定义f和g的卷积为(f*g)(n)=sum(f(d)g(n/d))他符合三种运算律：第一种：交换律  f*g=g*f第二种：结合律  （f*g）*h=f*（g*h）第三种：分配律  f*（h+g）=（f*h）+（f*g）

目录运算律1.交换律2.结合律3.分配律4.对偶率运算律1.交换律\(A\capB=B\capA\)\(A\cupB=B\cupA\)2.结合律\((A\cupB)\cupC=A\cup(B\cupC)\)\((A\capB)\capC=A\cap(B\capC)\)3.分配律\((A\capB)\cupC=(A\cupC)\cap(B\cupC)\)\((A\cupB)

高维前缀和注意到求得是\(f_S=\sum_{T\inS}g_T\)，考虑压维直接做就好了。当然，我们在做这个东西的时候，只是用了加法的结合律、交换律。因此，取max,min这些运算显然也可

本文介绍\(\rmOI\)中常见两种线性基：异或线性基和实数线性基。前置知识：线性空间先给出群的定义（\(\text{fromOI-wiki}\)）：当一个集合关于某种运算封闭，满足结合律、单位

相关性质任何数和自己做异或运算，结果为0，即a⊕a=0a⊕a=0。任何数和0做异或运算，结果还是自己，即a⊕0=⊕a⊕0=⊕。异或运算中，满足交换律和结合律，也就是a⊕b⊕a=b⊕a⊕

矩阵的幂运算定义：设A为n阶矩阵，\(A^k=A*A*A...\)定义为A的k次方幂性质：1.\(A^k*A^l=A^{k+l}=A^l*A^k\)2.\((A^k)^l=A^{kl}\)3.\((AB)^k!=A^kB^k\)，矩阵乘法并不满足交换