加法交换律的证明

自然数集

前置芝士：皮亚诺公理。

求证：\(\forall a,b \in \mathbb{N},\) 都有 \(a+b=b+a\)。（即代数结构 \((\mathbb{N},+)\) 为一个阿贝尔群。）

证：先证明 \(\forall a \in \mathbb{N}\)，都有 \(0+a=a+0\)。

显然 \(0 + 0=0 + 0\)，若 \(k\in\mathbb{N}\)，有 \(0+k=k+0\) 成立，由于等式性质，\(0+(k+1)=(k+1)+0\) 也同时成立。

由归纳公理，得证。

然后证明原命题，已知 \(\forall a \in \mathbb{N}，0+a=a+0\)，若 \(k\in \mathbb{N}\)，有 \(a+k=k+a\)，由等式的性质可得 \(a+(k+1)=(k+1)+a\) 也同时成立。

由归纳公理，原命题得证。

整数集同理。

有理数集

已知任意一个有理数 \(q\)，\(\exists a,b \in \mathbb{Z}\) 使得 \(q=\frac{a}{b}\)。

求证: \(\forall p,q\in\mathbb{Q}\)，都有 \(p+q=q+p\)。

证明：先证明 \(\forall a \in \mathbb{N^*}\)，都有 \(\frac{1}{a}+1=1+\frac{1}{a}\)。
显然 \(\frac{1}{1}+1=1+\frac{1}{1}\)，并且若 \(k\in\mathbb{N^*}\)，有 \(\frac{1}{k}+1=1+\frac{1}{k}\)，将等式两边同时乘以 \(\frac{k}{k+1}\) 得 \(\frac{1}{k+1}+1=1+\frac{1}{k+1}\)。
由归纳公理得证。

同理可证 \(\forall a,b \in \mathbb{N^*}\)，都有 \(\frac{b}{a}+1=1+\frac{b}{a}\)。

同理可证 \(\forall a,b,c \in \mathbb{N^*}\)，都有 \(\frac{b}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{c}+\frac{b}{a}\)。

同理可证 \(\forall a,b,c,d \in \mathbb{N^*}\)，都有 \(\frac{b}{a}+\frac{d}{c}=\frac{d}{c}+\frac{b}{a}\)。

当 \(a,b,c,d\in\mathbb{Z}\) 且 \(a\neq0,c\neq0\) 同理可得证。

对于原命题，若将 \(p,q\) 分别表示为既约分数 \(\frac{b}{a},\frac{d}{c}\)，则上文已证 \(\frac{b}{a}+\frac{d}{c}=\frac{d}{c}+\frac{b}{a}\)，即得 \(p+q=q+p\)。

实数集

笔者太菜了，不会证。Orz。