循环群 (medium)

循环群定义

群 \(G\) 中的元素都是某个元素 \(g\) 的幂，则 \(G\) 称为循环群。

\(g\) 是 \(G\) 的一个生成元， \(g\) 生成的循环群 \(G\) 记为 \((g)\) 或 \(<g>\) 。

循环群分类

• 无限循环群：

  \(\{...,g^{-2},g^{-1},g^{0},g^{1},g^{2},...\}\) ，其中 \(g^{0}=e\) 。

• 有限循环群：

  \(\{g^{0},g^{1},g^{2},...,g^{n-1}\}\) ，其中 \(g^{0}=e\) 。

有限循环群的阶 = 生成元的阶。

循环群性质

1. 循环群是交换群
2. \(n\) 阶循环群中有 \(g^{n}=e\)
3. \(\forall i,j \in Z\) ，若 \(\ i\equiv j(mod\ n)\) ，则 $ g^{i}=g,g^{i}$ 的逆元：\(g^{n-i}\)

一般的群的元素的阶

设 \(G\) 是一个一般群，\(a\) 是其中一个元素。

1. \(a\) 的幂两两不相等，\(a\) 生成的是无限循环群。\(a\) 是无限阶元素。
2. \(\forall i>j \in Z,s.t.\ a^{i}=a^{j}\) ，则 \(a^{i-j}=e\) 。令 \(k=i-j,a^{k}=e\) ，使 \(a^{k}=e\) 成立的最小正整数 \(n\) 为元素 \(a\) 的阶。

定理

1. 群 \(G\) 中任意元素 \(a\) 都能生成一个循环群，\((a)\) 是 \(G\) 的子群。

   若 \(a\) 是无限阶元素，\(a\) 生成无限循环群；若 \(a\) 是 \(n\) 阶元素，生成 \(n\) 阶循环群。

2. 对 \(n\) 阶元素 \(a\) ：

   1. \(a^{i}=1\Leftrightarrow n|i\)
   2. \(a^{k}\) 的阶为 \(\frac{n}{(k,n)}\)

3. 循环群的子群

   1. 循环群的子群是循环群，为 \(\{e\}\) 或由子群中具有最小正指数的元素生成。
   2. 无限循环群的子群除 \(\{e\}\) 外都是无限循环群。
   3. \(n\) 阶循环群的子群的阶是 \(n\) 的正因子，且对每个正因子 \(q\) ，有且仅有一个 \(q\) 阶子群。

剩余类群

概念

设 \(m\in N^{*},a=qm+r,0\le r<m,q=0,\pm 1,\pm 2,...\) 。

• 剩余类：模 \(m\) 同余的一类数
• 剩余/代表：剩余类中的每一个数
• 最小非负剩余： \(r\) 成为该剩余类的最小非负剩余
• 模 \(m\) 剩余类：全体整数按模 \(m\) 分成 \(m\) 个剩余类： \(\overline{0},\overline{1},...,\overline{m-1}\)
  • \(\overline{0} = \{0,\pm m,\pm 2m,...\}\)
  • \(\overline{1}= \{1,1+\pm m,1+\pm 2m,...\}\)
  • \(...\)
  • \(\overline{m-1}= \{(m-1),(m-1)+\pm m,(m-1)+\pm 2m,...\}\)
• 剩余类群：模 \(m\) 全体剩余类对于剩余类加法构成 \(m\) 阶循环群

性质

• 任意无限循环群与整数加群 \((Z,+)\) 同构；
• 任意 \(n\) 阶循环群与 \(n\) 阶剩余类加群同构。

子群的陪集

陪集定义

设： \(H\le G,\forall a\in G,h\in H\) ：

• 左陪集：\(aH=\{ah|a\in G,h\in H\}\)
• 右陪集：\(Ha=\{ha|a\in G,h\in H\}\)

对于交换群，左右陪集一致，称为陪集。

陪集性质

1. $aH=H\Leftrightarrow a\in H $ —— \(H\) 也是自己的一个左陪集（右陪集，以下省略）
2. \(b\in aH \Leftrightarrow aH=bH\) ——左陪集可由 \(aH\) 中任一元素 \(b\) 唯一确定；左陪集中任一元素可作为左陪集的代表元
3. \(aH=bH\Leftrightarrow a^{-1}b\in H\) ——两个左陪集相等的条件（ \(a\) ，\(b\) 在同一左陪集中）
4. \(\forall a,b\in G,aH=bH\) 或 $aH\cap bH=\varnothing $ —— \(G\) 可表示为若干不相交的左陪集的并集

指数

子群 \(H\) 在群 \(G\) 中的指数：\(H\) 互不相交的左陪集的个数。

（其中只有 \(H\) 自身有单位元，别的左陪集都不是群）

拉格朗日定理（point）

\(G\) 是有限群， \(H\le G\) ，则 \(|H|\mid|G|\)

推论：

1. 有限群 \(G\) 中每个元素的阶一定是 \(G\) 的阶的因子

   设 \(G\) 阶为 \(n\) ，\(\forall a\in G,a^{n}=e\)

2. 阶为素数的群一定为循环群

同构基本定理

若 \(f\) 是 \(G\rightarrow G'\) 的满同态映射，则 \(G/ker(f)\cong G'\)

（其中 \(G/ker(f)=\{gker(f)\mid g\in G\}\) ，即 \(G\) 关于 \(ker(f)\) 的陪集构成的集合）

正规子群、商群

正规子群定义

\(H\le G,\forall a,aH=Ha\) （ \(\Leftrightarrow H\) 的每一个左陪集也都是右陪集）\(\Rightarrow H\) 是 \(G\) 的正规子群（不变子群）。

\(Abel\) 群的所有子群都是正规子群，反之不一定成立。

正规子群四个等价命题

令 \(H\le G\)

1. \(H\) 是 \(G\) 的正规子群，\(\forall a,aH=Ha\)
2. \(\forall a\in G,aHa^{-1}=H\)
3. \(\forall a\in G,h\in H,aha^{-1}\subseteq H\)
4. \(\forall a\in G,aHa^{-1}\subseteq H\)

陪集的乘法

\(A,B\subseteq G\) ， \(A\) 和 \(B\) 的乘积 \(AB=\{ab\mid a\in A,b\in B\}\)

若 \(A\le G,b\in G\) ，令 \(B=\{b\}\) ，则 \(A\) 的左陪集 \(bA\) 可表示为 \(BA\) ——陪集的乘法

定理：

设 \(H\le G\) ， \(H\) 是正规子群 \(\Leftrightarrow\) 任意两个左陪集的乘积仍是左陪集

商群

\(H\) 是 \(G\) 的正规子群，则 \(H\) 的全体陪集 \(\{aH\mid a\in G\}\) （陪集个数为 \(\frac{|G|}{|H|}\) ）对于群子集的乘法构成群，称为 \(G\) 对正规子群 \(H\) 的商群，记为 \(G/H\)

性质：

• 令 \(f(a)=aH,G\overset{f}{\rightarrow} G/H,a\in G\) ，\(f\) 是 \(G\) 到 \(G/H\) 的满同态，称为自然同态。

• 任何群与它的商群同态。

（咕咕了好久，再不填坑22级都要开始学了）