一、最大公约数定义不全为\(0\)的整数\(a,b\)的最大公约数是指能够同时整除\(a\)和\(b\)的最大整数。欧几里得算法(gcd)gcd是用来求解两个整数的最大公约数定理1.2.1对于整数\(a,b,m,n\)，若\(c\mida，c\midb\)，则\(c\mid(ma+nb)\)证：\(\becausec\mida

裴蜀定理Definition设d=(a,b)则存在两个整数x,y,满足：\[ax+by=d\]Solution首先带入下数据（随便两个整数）例：1410不难看出，gcd(14,10)=2辗转相除法：(a,b)=(b,amodb)\(\cfrac{14}{10}=1...4\)\(\cfrac{10}4=2...2\)\(\cfrac42=2...0\)当(amodb)=0时，结束，取最后一次的商

模运算与逆元：取模定义：\[a\bmodn\begin{cases}a-\lfloor\frac{a}{n}\rfloor\timesn\\\\\a\geq0\\-(-a\bmodn)\\\a<0\end{cases}\]取模基本性质：设\(a_0=a\bmodn,b_0=b\bmodn\)\((a+b)\bmodn=((a\bmodn)+(b\bmodn))\bmodn\)

这个平面几何不是初中学的那个平面几何（笑）全等与相似托勒密定理在圆内接四边形\(ABCD\)中，\(|AC|~|BD|=|AB|~|CD|+|AD|~|BC|\)。几何法证明：取点\(E\inAC\)，使得\(\angle1=\angle2\).\(\because\angle3,\angle4\)是\(\overset{\frown}{BC}\)所对的圆周角\(\theref

d泄露可谓十分的有意思首先当 d泄露之后，我们自然可以解密所有加密的消息。但更让有趣的是，我们甚至可以通过d来暴力分解n！让我们先做一些概念学习：非平凡因子："非平凡因子"指的是一个数的除了1和其自身之外的因子。在RSA加密中，对于公钥n来说，p和q便是n的非平凡因子。phi_n：我们熟

​首先需要理解一个证明：​ 假设我们有三个点，前两个点价格为\(a_1,\a_2\)，距离为\(v_1,\v_2\)那么就有式子：\(\frac{a_1\timesv_1}{d}+\frac{a_2\timesv_2}{d}\式①\)，和式子\(\frac{a_1\timesv_1}{d}+\frac{a_1\timesv_2}{d}\式子②\)$\rightarrow\frac{1}{d}(

广州大学第十八届ACM大学生程序设计竞赛（同步赛）C题谈到拓展欧几里得算法，就要从欧几里得算法和裴蜀定理说起。欧几里得算法（辗转相除法）\(gcd(a,b)=gcd(b,a\modb)\)其中，当\(a=0\)时，\(\gcd(a,b)=\gcd(0,b)=b\)；\(b=0\)同理证明：\(gcd(a,b)=gcd(b,a-b)\)令\(a=b+c\),\(\gcd(a,b)

\(\because\sin(\alpha+\beta)=|CD|/|OC|,|OC|=1\)\(\therefore\sin(\alpha+\beta)=|CD|\)\(\because\angleOCE=\pi/2-\beta,\angleOCD=\pi/2-(\beta+\alpha)\)\(\therefore\angleDCE=\alpha\)\(\because|CD|=|CG|+|GD|=|C

1.辗转相减利用辗转相减法求最大公约数,即\(gcd(a,b)\)。假设\(a>b\),则gcd(a,b)=gcd(a−b,b),不断的利用大的数减去小的数，就能得到最大公约数。1.证:若\(n,m(n>m)\)互质，则$(n-m),m$互质若不互质,则设\(n-m=k*a,m=k*b\)\(\thereforen-k*b=k*a

说明角度除了有特殊说明，否则均用弧度制表示。内容来自HuangFuRen。圆周运动几个概念线速度\(v\)：弧长比时间，矢量。角速度\(\omega\)：圆心角比时间，矢量。周期\(T\)：转一圈的时间，标量。频率\(f\)：单位时间内转圈的次数，标量。转速\(n\)：单位时间内转圈的次

答案\(1-5\)\(CADCA\)\(6-8\)\(DBD\)\(9\)\(ABD\)\(10\)\(AC\)\(11\)\(ACD\)\(12.\)\({(\frac{\sqrt{6}}{3},\frac{\sqrt{6}}{3}),(-\frac{\sqrt{6}}{3},-\frac{\sqrt{6}}{3})}\)\(13.\)奇\(\pi\)\(14.\)\(4+\frac{

\(f(x)\)定义域在\((0,+\infty)\)，\(f(1)=1+e\)，满足\(x_2>x_1>0\)时\(x_2f(x_1)-x_1f(x_2)>x_2e^{x_1}-x_1e^{x_2}\)，求\(f(\lnx)>x+\lnx\)的解集。\[x_2(f(x_1)-e^{x_1})>x_1(f(x_2)-e^{x_2})\]\[\dfrac{f(x_1)-e^{x_1}}{x_1}>

前言数论分块我实际上在2021年的暑假就已经接触过了，当时是当成了定理来记，所以现在忘得也差不多了。最近决定重温（从零开始重修）数论分块，利用坐地铁的时间看了几篇关于数论分块的博客文章（源自《洛谷日报》），感觉有些讲得不是非常详细，质量参差不齐。有些往往只放几个性质，然后将结论直

隐圆问题的几种类型在中考的一些题目中明明没有圆，却要构造出圆进行解答，这些问题是隐圆问题.隐圆问题可以归纳为几种模型：定点定长，四点共圆，定角定线(直角所对的弦是直径、定弦定角、定角定中线、定角定角平分线、定角定高、定角定周长).模型一定点定长模型解释![image.png]

引入如图\((1)\)，已知抛物线\(y=x^2-2x+c\)与\(x\)轴交\(A\)，\(B\)两点，与\(y\)轴交于\(C\)点，抛物线的顶点为\(D\)点，点\(A\)的坐标为\((1,0)\)。\((1)\)求点\(D\)的坐标。\((2)\)若\(M\)为直线\(BC\)下方抛物线上一动点，当\(\bigtriangleupMCB\)面积最大

前言：没有前言（快累死了，不想写）。solution：题目传送门设$f_i$为第$i$句时最小的不协调度。\[f_i=f_j+\left|s_i-s_j+i-j-1-L\right|^P\]\[f_i=f_j+\left|s_i+i-(s_j+j)-(L+1)\right|^P\]令$w_{i,j}=(s_i+i)-(s_j+j)-(L+1)$。\[f_i=f_j+\left|w_{i,j}\righ

for龙湖区物理实验比赛实验主题：凸透镜成像之探究焦距、物距与像距之间的关系学校：龙湖实验中学班级：816班姓名：蔡沐喆、孙芮泽、马翊翔、江嘉慧、林东乐指导老师：李晓实验器材：光具座、凸透镜、光屏、“F”形LED灯原理：光的折射过程：1.探究成实像时的关系在1倍焦距以外反复移

[Violet5]樱花题解题意概括：题目意思很明白，输入一个\(int\)类型整数\(n\)(\(1<=n<=10^6\))求方程\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n!}\)(\(n!\)表示\(n\)的阶乘，即\(n!=1\times2\times3\times······\timesn\))解的个数题目分析：肯定是一个数论题(废话)，题

请求出\(f_n\)与\(f_m\)的最大公约数，即\(\gcd(f_n,f_m)\)，答案对\(10^8\)取模。结论：\(\gcd(f_n,f_m)=f_{\gcd(n,m)}\)证明如下：首先引理1：\[f_{n+m}=f_{n-1}\timesf_{m}+f_{n}\timesf_{m+1}\]运用归纳法，可以简单证明，此处略去。引理2：\[\gcd(f_n,f_

引入在求解\[\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\]时,我们可以很容易的想到用\(O(n)\)求解。但如果$n\leq10^9$甚至往上的时候，我们这么做就会超时，我们需要一种更高效的方法来计算，整除分块。原理比较容易发现，在\(i\)取某些值的时候，\(\lfloor\frac{n}{i}

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