引入
如图\((1)\)，已知抛物线 \(y=x^2-2x+c\) 与 \(x\) 轴交 \(A\)，\(B\) 两点，与 \(y\) 轴交于 \(C\) 点，抛物线的顶点为 \(D\) 点，点 \(A\) 的坐标为 \((1,0)\)。
\((1)\) 求点 \(D\) 的坐标。
\((2)\) 若 \(M\) 为直线 \(BC\) 下方抛物线上一动点，当 \(\bigtriangleup MCB\) 面积最大时，求点 \(M\) 的坐标，并求出面积的最大值。
分析
前面的就不说了，\(y=x^2-2x-3\)，\(D(1,-4)\)。关键是第二问，感觉CPU直接炸了。
F1
首先我们要知道一个东西，如图：
\(\triangle ABC=\frac{1}{2}AD \times (x_B-x_C)\)
\(\text{满足} AD//y\)。
证明呢很简单，分别过 \(B,C\) 向 \(AD\) 作垂线再套面积公式就可以了。
所以就有了以下过程：
\(\text{设点} M(m,m^2-2m-3)\text{，过} M \text{作} MN//y \text{交} BC \text{于} N\)
\(l_{BC}:y=x-3\)
\(\therefore N(m,m-3),MN=(m-3)-(m^2-2m-3)=-m^2+3m\)
$\therefore S\triangle MCB=\frac{1}{2}(-m^2+3m)(x_B-x_C)=-\frac{3}{2} (m^2-3m) $
当 \(M=\frac{3}{2}\) 时取 \(\max\) 及 \(\max S\triangle MCB =-\frac{3}{2}(\frac{9}{4}-\frac{9}{2})=\frac{27}{8}\)
F2
当然了，这也不是绝对的。
我们可以想象到三角形面积最大值时的点 \(M\) 就是一条和抛物线相切的平行于 \(BC\) 的直线的切点。
通过这个我们就可以联立解方程。但需要强调一点：切点一般都不是抛物线的顶点。
于是就有了法 \(2\)：
\(\because l_{BC}:y=x-3\)
\(\text{作} l:y=x+b//BC \text{相切于抛物线}\)
\(\text{联立得}:\begin{Bmatrix}
y=x+b\\
y=x^2-2x-3
\end{Bmatrix}\)
\(\text{即}: x^2-3x-3-b=0\)
\(\because M \text{是切点，} \therefore \Delta =9+4(3+b)=0\)
\(\therefore b=-\frac{21}{4}\)
\(\therefore x^2-3x-\frac{33}{4}=0\)
\(\therefore x_{1,2}=\frac{3}{2}\)
\(\therefore M(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})\)
\(BC=3\sqrt 2\)
由点到直线距离公式得:\(M\) 离 \(BC\) 的距离 \(d\) 为 \(\frac{9\sqrt 2}{8}\)
$\therefore \max S\triangle MCB =\frac{1}{2} BC \cdot d=\frac{27}{8} $
如果你学得多一点的话，还有另一种解法：
\(\because y=x^2-2x-3\)
\(\therefore y'=2x-2\)
令 \(2x-2=1\)
\(\therefore x=\frac{3}{2}\)
\(\therefore M(\frac{3}{2},-\frac{15}{4})\)
\(\dots\)
总结
所以总的来说，就铅锤法和联立解方程法，但若是你导数学得够 \(6\)，也是可以轻松求解的。
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