标签：frac text 笔记 therefore 圆周运动 theta aligned omega 物理

说明

角度除了有特殊说明，否则均用弧度制表示。
内容来自 HuangFuRen。

圆周运动

几个概念

线速度 \(v\)：弧长比时间，矢量。
角速度 \(\omega\)：圆心角比时间，矢量。
周期 \(T\)：转一圈的时间，标量。
频率 \(f\)：单位时间内转圈的次数，标量。
转速 \(n\)：单位时间内转圈的次数，标量。

\(fT=1\)。
向心力 \(F_\text{向}\)：合外力沿法向分解的分外力，矢量。
向心加速度 \(a_\text{向}\)：物体加速度沿法向分解的分加速度，矢量。

匀速圆周运动

基础公式

设圆心角为 \(\theta\)。

\[\begin{aligned} v&=\frac{\frac{\theta}{2\pi}\cdot2\pi r}{t}=\frac{\theta r}{t}\\ \omega&=\frac{\theta}{t}\\ v&=r\omega \end{aligned} \]

\[T=\frac{2\pi r}{v}= \left\{ \begin{aligned} \frac{2\pi r}{\frac{\theta r}{t}}=\frac{2\pi t}{\theta}\\\\ \frac{2\pi r}{r\omega}=\frac{2\pi}{\omega} \end{aligned} \right. \]

\[n=f=\frac{1}{T} \]

\[\begin{aligned} a_\text{向}&=\frac{v^2}{r}=\omega^2r=v\omega\\ F_\text{向}&=ma_\text{向}=\frac{mv^2}{r}=m\omega^2r=mv\omega \end{aligned} \]

证明

首先易知：对于圆周运动，我们能把合加速度分解为向心加速度和切向加速度。向心加速度只会改变速度方向，法向加速度只会改变速度大小。在这里我们只研究向心加速度，故这里我们研究匀速圆周运动。

考虑一段极短的时间 \(\Delta t\)。

\[\begin{aligned} &\ \ \ \ \Delta v=2\cdot v\sin\frac{\theta}{2}\\ &\because \lim\limits_{x\to0}\ \frac{\sin x}{x}=1\\ &\therefore \lim\limits_{\theta\to0}\ \sin\frac{\theta}{2}=\frac{\theta}{2}\\ &\therefore \Delta v=v\theta=v\omega \Delta t\\ &\therefore a_{向}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v\omega \Delta t}{\Delta t}=v\omega \end{aligned} \]

参考：https://www.zhihu.com/question/273429434/answer/2470484238

性质

同轴转动（例：门）
设 \(r_a<r_b\)，则 \(\omega_a=\omega_b\) 且 \(v_a<v_b\)。（注意：此时 \(r\) 指的是研究的点到轴的距离）
共线转动（例：齿轮）
设 \(r_a<r_b\)，则 \(v_a=v_b\) 且 \(\omega_a>\omega_b\)。（注意：此时 \(r\) 指的是共线转动的物体最外围的点与该物体几何中心的距离）
当且仅当作匀速圆周运动时，物体所受的合外力等于其所受的向心力。

题型

注：下文中 \(a\) 除特殊说明外，均指向心加速度。

多点物理量比值问题

适用：传动装置、多个点的若干物理量的比值。

\(r_A:r_B:r_C:r_D=1:2:3:1\)，求：

\(\omega_A:\omega_B:\omega_C:\omega_D\)
\(v_A:v_B:v_C:v_D\)
\(a_A:a_B:a_C:a_D\)
\(T_A:T_B:T_C:T_D\)

步骤：

传动装置中几个物体，就画几列。
\(4\) 行依次是 \(r,\omega,v,a\)。
找相同 \(\omega\) 的点设为 \(1\)。
根据 \(v\) 相同推得其它量。

	\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(D\)
\(r\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(1\)
\(\omega\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(2\)
\(v\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(2\)
\(a\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(T\)	\(\frac{1}{1}\)	\(\frac{1}{1}\)	\(\frac{1}{1}\)	\(\frac{1}{2}\)

注意：\(T\propto\frac{1}{\omega}\)。

碰钉子问题

一小球被细线拴住，向左摆动的过程中被一钉子阻挡后，下半部分仍继续向左摆动。求在被钉子阻挡的一瞬间 \(a\) 与 \(\omega\) 的变化情况（不计能量损失）。

解：

不计能量损失 \(\Rightarrow\ v\) 不变。

碰到钉子 \(\Rightarrow\ r\) 变小。

\(\because a=\Large\frac{v^2}{r}\normalsize,\omega=\Large\frac{v}{r}\normalsize\ ;\ v\rightarrow,r\downarrow\)

\(\therefore a,\omega\uparrow\).

匀速圆周运动的牛二问题

步骤：

受力分析将合外力正交分解（沿法向分解）。
向心力等于合外力。
套向心力公式。

圆锥摆

绳长 \(L\)，倾角 \(\theta\)，求角速度 \(\omega\)。

解：

由题意得：

\[\left\{ \begin{aligned} X(\text{竖直方向}):mg&=T\cdot\cos\theta\\ Y(\text{法向}):F_{合}&=T\cdot\sin\theta\\ r&=L\sin\theta\\ F_{合}&=F_{向} \end{aligned} \right. \]

联立得：\(T\cdot\sin\theta=m\omega^2r\)

\(\therefore mg\tan\theta=T\sin\theta=m\omega^2L\sin\theta\)

\(\therefore \omega=\large\sqrt\frac{g\tan\theta}{L\sin\theta}\normalsize=\large\sqrt\frac{g}{L\cos\theta}\).

可见正交分解时另外一个方向不一定是切向。

同角不同面

一漏斗内壁上有两个质量分别为 \(m_a,m_b(m_a>m_b)\) 的小球 \(A,B\)，漏斗内壁光滑。现在 \(A,B\) 沿漏斗内壁作匀速圆周运动，比较 \(A,B\) 的：\(\omega,a,v,F_N\)。

解：

正交分解可得：

\[\begin{aligned} &\left\{ \begin{aligned} X(\text{竖直方向}):mg&=F_N\cdot\sin\theta\\ Y(\text{法向}):F_{合}&=F_N\cdot\cos\theta\\ F_{合}&=F_{向}\\ \end{aligned} \right.\\ \therefore &\ a=\frac{F_n\cdot\cos\theta}{m}=\frac{mg\cdot\cos\theta}{\sin\theta\cdot m}=\frac{g}{\tan\theta}\\ \therefore &\ a_A=a_B\\ \because &\ \omega=\sqrt{\frac{a}{r}},\ v=\sqrt{ar},\ r_A>r_B\\ \therefore &\ \omega_A<\omega_B,\ v_A>v_B\\ \because &\ F_N=\frac{mg}{\sin\theta}\\ \therefore &\ F_{NA}>F_{NB} \end{aligned} \]

同面不同角

如图，两个质量相等的小球 \(A,B\) 通过两根绳子系在同一顶点 \(O\) 上，绳子的长度分别为 \(l_A,l_B\)，绳子倾角分别为 \(\alpha,\beta(\alpha>\beta)\)。现在，\(A,B\) 在竖直方向上与点 \(O\) 距离为 \(h\) 的平面上作匀速圆周运动。

比较 \(A,B\) 的：\(a,v,F_\text{绳}\)。

解：

根据圆锥摆可得：

\[\begin{aligned} &\ \omega=\sqrt{\frac{g}{L\cos\theta}}=\sqrt{\frac{g}{h}}\\ \therefore &\ \omega_A=\omega_B\\ \because &\ r=l\sin\theta,\ \alpha>\beta,\ a=\omega^2r,\ v=\omega r\\ \therefore &\ r_A>r_B,\ a_A>a_B,\ v_A>v_B\\ \because &\ F_\text{绳}=\frac{mg}{\cos\theta},\ \alpha>\beta\\ \therefore &\ F_{\text{绳}A}>F_{\text{绳}B} \end{aligned} \]

圆锥摆临界问题

直接用分离时的一瞬间的受力状态分析即可。

向心与离心运动

一物体放在一粗糙的圆盘上一起作匀速圆周运动，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当 \(\omega\) 增大时，

\(\because f=F_\text{合}=F_{向}=m\omega^2r;\ \omega\uparrow;\ m,r\rightarrow\)

\(\therefore f\uparrow\)

显然，\(f\) 不能无限制增大，有最大值 \(f_\text{滑}\)。当 \(m\omega^2r>f_\text{滑}\) 时，

\(\because f\) 的方向指向圆心，\(F_\text{向}>F_{合}\)

\(\therefore\) 物体会作远离圆心的运动。

我们称这种运动叫做离心运动。

类似的，当 \(F_\text{合}>F_\text{向}\)，物体会做向心运动。

\[\left\{ \begin{aligned} F_\text{向}>F_\text{合}\Rightarrow\text{离心运动}\\ F_\text{向}<F_\text{合}\Rightarrow\text{向心运动}\\ \end{aligned} \right. \]

多物体相对滑动顺序

一粗糙圆盘上放置两个质量分别为 \(m_A,m_B\) 的物块 \(A,B\)，已知 \(A,B\) 与圆盘的动摩擦因数分别为 \(\mu_A,\mu_B\) 。现在圆盘开始转动，若 \(\omega\) 逐渐增大，问 \(A,B\) 谁先开始滑动？

解：

设 \(\omega\) 为物块开始发生相对滑动时的最小 \(\omega\)，则有：

\[\begin{aligned} \because &\ f=\mu mg=m\omega^2r\\ \therefore &\ \omega=\sqrt{\frac{\mu g}{r}}\\ \therefore &\ \omega_A=\sqrt{\frac{\mu_Ag}{r_A}},\ \omega_B=\sqrt{\frac{\mu_Bg}{r_B}}\\ \end{aligned} \]

所以只需要比较 \(\omega_A\) 与 \(\omega_B\) 的大小即可，较小者先发生相对滑动。

圆盘同侧连接体

一粗糙圆盘上放置两个质量分别为 \(m_A,m_B\) 的物块 \(A,B\)，\(A,B\) 之间用一轻绳连接，已知 \(A,B\) 与圆盘的动摩擦因数均为 \(\mu\)。现在圆盘开始转动，若 \(\omega\) 逐渐增大，问：

当 \(\omega\) 等于多少时，绳子拉力开始出现？
当 \(\omega\) 等于多少时，\(A,B\) 一起相对滑动？
当 \(A,B\) 开始相对滑动的瞬间，将绳子剪断，\(A,B\) 将如何运动？

解：

从零开始分析。

如果没有绳子，\(\because \mu_A=\mu_B,r_A>r_B\)，所以 \(A\) 会比 \(B\) 先发生相对滑动。

当 \(\omega=0\) 时：\(A,B\) 均只受重力与支持力。

当 \(\omega\) 开始增大时：

当 \(f_A<f_\text{滑}\) 时：\(A,B\) 均只受重力、支持力以及指向圆心的摩擦力。
当 \(f_A\geq f_\text{滑}\) 时：绳子拉力开始产生且逐渐增大。此时 \(\omega=\omega_A=\large\sqrt{\frac{\mu g}{r_A}}\)，\(A,B\) 的受力分析如下（略去重力与支持力）：

当 \(f_B=f_\text{滑}\) 时：\(A,B\) 开始一起相对滑动。此时：

\[\begin{aligned} &\left\{ \begin{aligned} &A: T+\mu m_Ag=m_A\ \omega^2r_A\\ &B: \mu m_Bg-T=m_B\ \omega^2r_A\\ \end{aligned} \right.\\ \therefore &\ \mu g(m_A+m_B)=\omega^2(m_Ar_A+m_Br_B)\\ \therefore &\ \omega=\sqrt{\frac{\mu g(m_A+m_B)}{m_Ar_A+m_Br_B}} \end{aligned} \]

若此时剪断绳子，则可直接用此时的 \(\omega\) 与 \(\omega_A,\omega_B\) 比较来分别判断 \(A\) 与 \(B\) 的运动方式。

圆盘异侧连接体

一粗糙圆盘上放置两个质量分别为 \(m_A,m_B\) 的物块 \(A,B\)，\(A,B\) 之间用一轻绳连接，已知 \(A,B\) 与圆盘的动摩擦因数均为 \(\mu\)，\(A,B\) 与圆盘圆心的距离分别为 \(r_A,r_B (r_A>r_B)\)。现在圆盘开始转动，若 \(\omega\) 逐渐增大，问：

当 \(\omega\) 等于多少时，绳子拉力开始出现？
当 \(\omega\) 等于多少时，\(B\) 不受摩擦力？
当 \(\omega\) 等于多少时，\(A,B\) 一起相对滑动？

解：

注：下文所提到的“保持向心力”是指物体保持当前瞬间的向心力不发生突变。

同圆盘同侧，当 \(\omega=\omega_A=\large\sqrt{\frac{\mu g}{r_A}}\) 时，绳子开始出现拉力且逐渐增大。

受力分析如下：

由于 \(B\) 需要保持向心力，所以当 \(T\uparrow\) 时，\(f_B\downarrow\) 。

当 \(f_B=0\) 时，则：

\[\begin{aligned} &\left\{ \begin{aligned} &A: T+\mu m_Ag=m_A\ \omega^2r_A\\ &B: T=m_B\ \omega^2r_B \end{aligned} \right.\\ \therefore &\ \mu m_Ag=\omega^2(m_Ar_A-m_Br_B)\\ \therefore &\ \omega=\sqrt{\frac{\mu m_Ag}{m_Ar_A-m_Br_B}} \end{aligned} \]

当 \(T>m_B\ \omega^2r_B\) 时，\(B\) 为了保持向心力不变，所以会产生向外的摩擦力 \(f_B\) 且摩擦力逐渐增大。

此时受力分析如下：

当 \(f_B=f_\text{滑}\) 时，\(f_B\) 达到最大值，此时 \(A,B\) 会一起相对滑动。此时有：

\[\begin{aligned} &\left\{ \begin{aligned} &A: T+\mu m_Ag=m_A\ \omega^2r_A\\ &B: T-\mu m_Bg=m_B\ \omega^2r_B\\ \end{aligned} \right.\\ \therefore &\ \mu g(m_A+m_B)=\omega^2(m_Ar_A-m_Br_B)\\ \therefore &\ \omega=\sqrt{\frac{\mu g(m_A+m_B)}{m_Ar_A-m_Br_B}} \end{aligned} \]

火车拐弯

图片来源：乐乐课堂

若两轨在同一水平面时，当火车拐弯时，火车会受到向心力。由于此力指向圆心，所以只能由外轨的内侧对轮缘施加压力提供，因此会产生磨损。

为了减少损耗，故外轨需要比内轨高。

图片来源：乐乐课堂

此时火车只收到重力与斜面给予的支持力，其中斜面的支持力的竖直分力与重力平衡，向心力又斜面的支持力的水平分力提供。所以此时：

\[\begin{aligned} &\left\{ \begin{aligned} &X(\text{竖直方向}):mg=F_N\cdot\cos\theta\\ &Y(\text{法向}):F_\text{合}=F_N\cdot\sin\theta\\ &F_\text{合}=F_\text{向}\\ \end{aligned} \right.\\ \therefore &\ m\omega^2r=F_N\cdot\sin\theta=\frac{mg}{\cos\theta}\cdot\sin\theta=mg\tan\theta\\ \therefore &\ \omega=\sqrt{\frac{g\tan\theta}{r}},\ v=\omega r=\sqrt{gr\tan\theta} \end{aligned} \]

若此时 \(v\uparrow\)，则 \(F_\text{向}\uparrow\)，但是 \(F_N\rightarrow\)，所以只能由外轨对轮缘进行挤压产生向心力。

同理，若 \(v\downarrow\)，则内轨会对轮缘产生弹力。

非匀速圆周运动的两个模型

绳模型

如图，小球由一根轻绳与一定点相连接，若小球在竖直平面内要作圆周运动，则小球在最高点时，其速度的最小值为？

解：

在最高点对小球受力分析可得：小球此时受重力，同时可能受绳子的拉力。

\(\therefore mg+T=m\Large\frac{v^2}{r}\)

所以当 \(T\) 取最小值为 \(0\) 时，\(v\) 有最小值 \(\sqrt{gr}\)。

杆模型

如图，小球由一根轻杆与一定点相连接，若小球在竖直平面内要作圆周运动，则小球在最高点时，其速度的最小值为？

解：

在最高点对小球受力分析可得：小球此时受重力，同时可能受杆的 拉力或支持力。

\(\therefore mg+T=m\Large\frac{v^2}{r}\)

所以当 \(T\) 取最小值为 \(-mg\) 时（即杆对小球的作用力向上），\(v\) 有最小值 \(0\)。

若 \(T=0\) 时，情况等价于绳模型，此时 \(v_0=\sqrt{gr}\)。

分类讨论：

\[\left\{ \begin{aligned} &v<v_0\Rightarrow T\uparrow\text{压力}\\ &v=v_0\Rightarrow T(\text{X})\\ &v>v_0\Rightarrow T\downarrow\text{拉力}\\ \end{aligned} \right. \]

注：此时的箭头表示杆对球的作用力方向（X 表示不存在）。

两种模型的变形

上图左图表示一个球在一个竖直圆形轨道内滚动，右图表示一个球在一个竖直圆环轨道内滚动。

左图等价于绳模型，右图等价于杆模型，区别在于能否给小球提供两种方向的作用力。

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From： https://www.cnblogs.com/osfly/p/18020467

【物理笔记】圆周运动

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