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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019）]
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必修第二册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
定义
\(\alpha\cap\beta=\varnothing⟹\alpha|| \beta\).
判断
(1) \(\alpha\)内有无穷多条直线都与\(\beta\)平行 ( × )；
(2) \(\alpha\)内的任何一条直线都与\(\beta\)平行 ( √ ) .
判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行.
解释
(1) 符号表述：\(a\) ，\(b\subset\alpha\) ，\(a\cap b=O\) ，\(a || \beta\) ，\(b|| \beta⇒\alpha || \beta\) .
(2) 推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.
符号表述：\(a\) ，\(b\subset\alpha\) ，\(a\cap b=O\) ，\(a'\) ，\(b'\subset\beta\) ，\(a|| a'\) ，\(b ||b' ⇒\alpha|| \beta\).
面面平行的性质
(1) \(\left.\begin{array}{c}
a \subset \alpha \\
\alpha \| \beta
\end{array}\right\} \Rightarrow a \| \beta \quad \text { (面面平行 } \Rightarrow \text { 线面平行) }\)
(2) \(\left.\begin{array}{c}
\alpha \| \beta \\
\alpha \cap \gamma=a \\
\beta \cap \gamma=b
\end{array}\right\} \Rightarrow a \| b
(面面平行 \Rightarrow 线线平行)\)
证明 如下图，\(\because \alpha\cap\gamma=a\)，\(\beta\cap\gamma=b\)，
\(\therefore a\subset\alpha\)，\(b\subset\beta\)，
又\(\alpha || \beta\)，\(\therefore a\)，\(b\)没有公共点，
又\(a\)，\(b\)同在平面\(\gamma\)内，
\(\therefore a//b\).
(3) 夹在两个平行平面间的平行线段相等.
若\(\alpha || \beta\)，\(AB || CD\)，\(A∈\alpha\)，\(C∈\alpha\)，\(B\in \beta\)，\(D\in \beta\)，则\(AB=CD\).
证明面面平行的方法
① 定义法；
② 判定定理及推论(常用)
基本方法
【题型1】 面面平行的判定
【典题1】 \(\alpha\)，\(\beta\)是两个不重合的平面，下面说法正确的是( )
A．平面\(\alpha\)内有两条直线\(a\)，\(b\)都与平面\(\beta\)平行，那么\(\alpha∥\beta\)
B．平面\(\alpha\)内有无数条直线平行于平面\(\beta\)，那么\(\alpha∥\beta\)
C．若直线\(a\)与平面\(\alpha\)和平面\(\beta\)都平行，那么\(\alpha∥\beta\)
D．平面\(\alpha\)内所有的直线都与平面\(\beta\)平行，那么\(\alpha∥\beta\)
解析 \(A\)，\(B\)都不能保证\(\alpha\)，\(\beta\)无公共点，如图①；
\(C\)中当\(a∥\alpha\)，\(a∥\beta\)时，\(\alpha\)与\(\beta\)可能相交，如图②；
只有\(D\)说明\(\alpha\)，\(\beta\)一定无公共点．
【典题2】 如下图所示，在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(M\)，\(E\)，\(F\)，\(N\)分别是\(A_1 B_1\)，\(B_1 C_1\)，\(C_1 D_1\)，\(D_1 A_1\)的中点，求证：
(1)\(E\)，\(F\)，\(B\)，\(D\)四点共面；(2)平面\(MAN∥\)平面\(EFDB\)．
证明 (1)连接\(B_1 D_1\)，
\(\because E\)，\(F\)分别是边\(B_1 C_1\)和\(C_1 D_1\)的中点，\(\therefore EF∥B_1 D_1\)．
而\(BD∥B_1 D_1\)，\(\therefore BD∥EF\)．
\(\therefore E\)，\(F\)，\(B\)，\(D\)四点共面．
(2) \(\because MN//B_1 D_1\)，\(B_1 D_1//BD\)，\(\therefore MN∥BD\)．
而\(MN \not \subset\)平面\(EFDB\)，\(DB\subset\)平面\(EFDB\)，\(\therefore MN∥\)平面\(EFDB\)．
连接\(MF\)，\(\because\)点\(M\)，\(F\)分别是\(A_1 B_1\)与\(C_1 D_1\)的中点，
\(\therefore MF∥AD\)．\(\therefore\)四边形\(MFDA\)是平行四边形．\(\therefore AM∥DF\)．
\(\because AM \not \subset\)平面\(EFDB\)，\(\therefore AM∥\)平面\(EFDB\)．
又\(AM\cap MN=M\)，
\(\therefore\)平面\(AMN∥\)平面\(EFDB\)．
【巩固练习】
1.下列四个命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③平行于两条相交直线的两个平面平行；④与无数条直线都平行的两个平面平行．则其中正确命题的序号是\(\underline{\quad \quad}\) ．
2.如图，在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(O\)为底面\(ABCD\)的中心，\(P\)是\(DD_1\)的中点，设\(Q\)是\(CC_1\)上的点，当点\(Q\)在\(\underline{\quad \quad}\) 位置时，平面\(D_1 BQ∥\)平面\(PAO\)．
3.如图，已知四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为平行四边形，点\(M\)，\(N\)，\(Q\)分别是\(PA\)，\(BD\)，\(PD\)的中点上，
(1)求证：\(MN∥PC\)；\(\qquad \qquad\)(2)求证：平面\(MNQ∥\)平面\(PBC\)．
4.如图:正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)棱长为\(2\)，\(E\)，\(F\)分别为\(DD_1\)，\(BB_1\)的中点．
(1)求证:\(CF∥\)平面\(A_1 EC_1\)；
(2)过点\(D\)做正方体截面使其与平面\(A_1 EC_1\)平行，请给以证明并求出该截面的面积．
5.已知正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(P\)、\(Q\)分别为对角线\(BD\)、\(CD_1\)上的点，且\(\dfrac{C Q}{Q D}=\dfrac{B P}{P D}=\dfrac{2}{3}\).
(1)作出平面\(PQC\)和平面\(AA_1 D_1 D\)的交线(保留作图痕迹)，并求证:\(PQ∥\)平面\(A_1 D_1 DA\)；
(2)若\(R\)是\(AB\)上的点，当\(\dfrac{AR}{AB}\)的值为多少时，能使平面\(PQR∥\)平面\(A_1 D_1 DA\)？请给出证明．
参考答案
- 答案 ②③
解析 ①平行于同一直线的两个平面平行，不正确，如两相交平面，使直线与交线平行；
②平行于同一平面的两个平面平行，根据面面平行的性质可知正确；
③平行于两条相交直线的两个平面平行，根据面面平行的判定定理可知正确；
④与无数条直线都平行的两个平面平行，不正确，如无数直线是平行线就不正确了；
故答案为：②③ - 答案 \(CC_1\)的中点
解析 在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，
\(\because O\)为底面\(ABCD\)的中心，\(P\)是\(DD_1\)的中点，
\(\therefore PO∥BD_1\)，
设\(Q\)是\(CC_1\)上的点，当点\(Q\)在\(CC_1\)的中点位置时，
\(PQ//AB\)，\(\therefore\)四边形\(ABQP\)是平行四边形，
\(\therefore AP∥BQ\)，
\(\because AP\cap PO=P\)，\(BQ\cap BD_1=B\)，
\(AP\)、\(PO\subset\)平面\(APO\)，\(BQ\)、\(BD_1\subset\)平面\(BQD_1\)，
\(\therefore\)平面\(D_1 BQ∥\)平面\(PAO\)． - 证明 (1)由题意：\(P-ABCD\)是四棱锥，底面\(ABCD\)为平行四边形，
点\(M\)，\(N\)，\(Q\)分别是\(PA\)，\(BD\)，\(PD\)的中点上，连接\(AC\)，\(\therefore N\)是\(AC\)的中点．
\(\therefore MN\)是三角形\(ACP\)的中位线，
\(\therefore MN∥PC\)．
(2)由(1)可得\(MN∥PC\)．
\(\because M\)，\(Q\)分别在\(PA\)，\(PD\)的中点上，
\(\therefore MQ\)是三角形\(ADP\)的中位线，
\(\therefore MQ∥PB\)．
由\(MQ∥PB\)，\(MN∥PC\)，\(PB\subset\)平面\(PBC\)，\(PC\subset\)平面\(PBC\)，\(PB\cap PC=P\)，
同理\(MQ\subset\)平面\(MNQ\)，\(MN\subset\)平面\(MNQ\)，\(MQ\cap MN=M\)．
\(\therefore\)平面\(MNQ∥\)平面\(PBC\)．
- 答案 (1)略 (2) \(2\sqrt{6}\)．
解析 (1)证明:取\(CC_1\)中点\(M\)，连接\(ME\)，
由\(MC∥FB_1\)且\(MC=FB_1\)可得四边形\(MCFB_1\)为平行四边形，则\(FC∥MB_1\)
由\(ME∥A_1 B_1\)且\(ME=A_1 B_1\)可得四边形\(MEA_1 B_1\)为平行四边形，则\(A_1 E∥MB_1\)，
则\(A_1 E∥FC\)，又\(A_1 E\subset\)平面\(A_1 EC_1\)，\(CF \not \subset\)平面\(A_1 EC_1\)，则\(FC∥\)平面\(A_1 EC_1\)；
(2)解:取\(AA_1\)，\(CC_1\)中点\(G\)，\(H\)，连接\(DG\)，\(CB_1\)，\(B_1 H_1\)，\(HD\)，
\(\because\)四边形\(ADHF\)为平行四边形，\(\therefore AF∥DH\)，
\(\because\)四边形\(AFB_1 G\)为平行四边形，\(\therefore GB_1∥AF∥DH\)，
\(\therefore GDB_1 H\)即为过点\(D\)长方体截面，
证明如下:
\(\because DG∥A_1 E\)，\(A_1 E\subset\)平面\(AEC_1\)，\(DG \not \subset\)平面\(AEC_1\)，\(\therefore DG∥\)平面\(AEC_1\)，
\(\because DH∥C_1 E\)，\(C_1 E\subset\)平面\(AEC_1\)，\(DH \not \subset\)平面\(AEC_1\)，\(\therefore DH∥\)平面\(AEC_1\)，
又\(\because DH\cap DG=D\)，\(\therefore\)平面\(DHB_1 G∥\)平面\(AEC_1\)，
\(\therefore \mathrm{S}_{\mathrm{GDHB}_1}=\dfrac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{3}=2 \sqrt{6}\). - 答案 (1)略 (2) 当\(\dfrac{AR}{AB}\)的值为\(\dfrac{3}{5}\)时，能使平面\(PQR∥\)平面\(A_1 D_1 DA\)．
解析 (1)连结\(CP\)并延长与\(DA\)的延长线交于\(M\)点，
则平面\(PQC\)和平面\(AA_1 D_1 D\)的线为\(D_1 M\)，
因为四边形\(ABCD\)为正方形，所以\(BC∥AD\)，
故\(△PBC∽△PDM\)，所以\(\dfrac{C P}{P M}=\dfrac{B P}{P D}=\dfrac{2}{3}\)，
又因为\(\dfrac{C Q}{Q D_1}=\dfrac{B P}{P D}=\dfrac{2}{3}\)，所以\(\dfrac{C Q}{Q D_1}=\dfrac{C P}{P M}=\dfrac{2}{3}\)，所以\(PQ∥MD_1\)．
又\(MD_1\subset\)平面\(A_1 D_1 DA\)，\(PQ\)不在平面\(A_1 D_1 DA\)内，
故\(PQ∥\)平面\(A_1 D_1 DA\)．
(2)当\(\dfrac{AR}{AB}\)的值为\(\dfrac{3}{5}\)时，能使平面\(PQR∥\)平面\(A_1 D_1 DA\)．
证明:因为\(\dfrac{A R}{A B}=\dfrac{3}{5}\)，即\(\dfrac{B R}{R A}=\dfrac{2}{3}\)，
故\(\dfrac{B R}{R A}=\dfrac{B P}{P D}\)，所以\(PR∥DA\)．
又\(DA\subset\)平面\(A_1 D_1 DA\)，\(PR\)不在平面\(A_1 D_1 DA\)内，
所以\(PR∥\)平面\(A_1 D_1 DA\)，
又\(P Q \cap P R=P\)，\(PQ∥\)平面\(A_1 D_1 DA\)．
所以平面\(PQR∥\)平面\(A_1 D_1 DA\)．
【题型2】 面面平行的性质
【典题1】 已知两条直线\(a\)，\(b\)，两个平面\(\alpha\)，\(\beta\)，则下列结论中正确的是 ( )
A．若\(a\subset\beta\)，且\(\alpha∥\beta\)，则\(a∥\alpha\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．若\(b\subset\alpha\)，\(a∥b\)，则\(a∥\alpha\)
C．若\(a∥\beta\)，\(\alpha∥\beta\)，则\(a∥\alpha\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．若\(b∥\alpha\)，\(a∥b\)，则\(a∥\alpha\)
解析 \(A\): \(\because \alpha∥\beta\)，又\(a\subset\beta\)，\(\therefore a∥\alpha\)，故\(A\)正确；
\(B\):\(\because b\subset\alpha\)，\(a∥b\)，若\(a\subset\alpha\)，则\(a\)不可能与\(\alpha\)平行，故\(B\)错误；
\(C\): \(\because a∥\beta\)，\(\alpha∥\beta\)，若\(a\subset\alpha\)，则结论不成立，故\(C\)错误；
\(D\): \(\because b∥\alpha\)，\(a∥b\)，若\(a\subset\alpha\)，则结论不成立，故\(D\)错误；
故\(A\)正确.
点拨
① 线面的位置关系有三种：\(a∥\alpha\)、\(a\subset\alpha\)、\(a\cap \alpha=A\)；
② 证明某些选项是错只需要举个反例，比如选项\(C\)是怎么会想到“\(a\subset\alpha\)”这个反例的呢？
运用“运动的思想”，先由\(\alpha∥\beta\)固定两个平面\(\alpha\)、\(\beta\)，再由\(a∥\beta\)把线段\(a\)由上至下“运动”下来，则\(a\)、\(\alpha\)的关系有两种情况\(a\subset\alpha\)、\(a∥\alpha\).选项\(B\)、\(D\)也可类似.
【典题2】 如图所示，两条异面直线\(BA\)，\(DC\)与两平行平面\(\alpha\)，\(\beta\)分别交于\(B\)，\(A\)点和\(D\)，\(C\)点，\(M\)，\(N\)分别是\(AB\)，\(CD\)的中点．
求证：\(MN∥\)平面\(\alpha\)．
证明 过点\(A\)作\(AE∥CD\)交\(\alpha\)于\(E\)，取\(AE\)的中点\(P\)，连接\(MP\)，\(PN\)，\(BE\)，\(ED\)，\(AC\)．
\(\because AE∥CD\)，
\(\therefore AE\)，\(CD\)确定平面\(AEDC\)．
则平面\(AEDC\cap\)平面\(\alpha=DE\)，平面\(AEDC\cap\)平面\(\beta=AC\)，
\(\because \alpha∥\beta\)，\(\therefore AC∥DE\)．
又\(P\)，\(N\)分别为\(AE\)，\(CD\)的中点，\(\therefore PN∥DE\)．\(PN \not \subset\alpha\)，\(DE\subset\alpha\)，
\(\therefore PN∥\alpha\)．又\(M\)，\(P\)分别为\(AB\)，\(AE\)的中点，
\(\therefore MP∥BE\)，且\(MP \not \subset\alpha\)，\(BE\subset\alpha\)，
\(\therefore MP∥\alpha\)．\(\therefore\)平面\(MPN∥\)平面\(\alpha\)．
又\(MN\subset\)平面\(MPN\)，\(\therefore MN∥\alpha\)．
【巩固练习】
1.如图，在直三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中，点\(E\)，\(F\)分别是棱\(A_1 C_1\)，\(BC\)的中点，则下列结论中不正确的是( )
A．\(CC_1∥\)平面\(A_1 ABB_1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(AF∥\)平面\(A_1 B_1 C_1\)
C．\(EF∥\)平面\(A_1 ABB_1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(AE∥\)平面\(B_1 BCC_1\)
2.如图，各棱长均为\(1\)的正三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)，\(M\)，\(N\)分别为线段\(A_1 B\)，\(B_1 C\)上的动点，且\(MN∥\)平面\(ACC_1 A_1\)，则这样的\(MN\)有( )
A．\(1\)条 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．\(2\)条 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(3\)条 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．无数条
3.如图所示，\(S\)为矩形\(ABCD\)所在平面外一点，\(E\)、\(F\)分别是\(SD\)、\(BC\)上的点，且\(SE：ED=BF：FC\)，求证：\(EF∥\)平面\(SAB\)．
4.如图，已知\(\alpha∥\beta\)，点\(P\)是平面\(\alpha\)，\(\beta\)外的一点(不在\(\alpha\)与\(\beta\)之间)．直线\(PB\)，\(PD\)分别与\(\alpha\)，\(\beta\)相交于点\(A\)，\(B\)和\(C\)，\(D\)．
(1)求证：\(AC∥BD\)；
(2)已知\(PA=4 cm\)，\(AB=5 cm\)，\(PC=3 cm\)，求\(PD\)的长．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析在直三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中，可得\(CC_1∥AA_1\)，\(AA_1\subset\)平面\(A_1 ABB_1\)，
\(CC_1 \not \subset\)平面\(A_1 ABB_1\)，\(\therefore CC_1∥\)平面\(A_1 ABB_1\)，故\(A\)正确；
\(AF\subset\)平面\(ABC\)，在直三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中，可得平面\(ABC∥\)平面\(A_1 B_1 C_1\)，
所以\(AF∥\)平面\(A_1 B_1 C_1\)，故\(B\)正确；
取\(A_1 B_1\)中点\(N\)，又\(E\)是\(A_1 C_1\)中点，
所以\(NE∥C_1 B_1\)，且\(NE=\dfrac{1}{2}C_1 B_1\)，
又\(F\)是棱\(BC\)的中点，所以\(BF=\dfrac{1}{2}C_1 B_1\)，\(AF∥C_1 B_1\)，
\(\therefore BF∥NE\)，\(BF=NE\)，
所以四边形\(BFEN\)是平行四边形，
所以\(EF∥BN\)，\(BN\subset\)平面\(A_1 ABB_1\)，\(EF \not \subset\)平面\(A_1 ABB_1\)，
\(\therefore EF∥\)平面\(A_1 ABB_1\)，故
\(C\)正确；
因为\(EC_1∥AC\)，但\(EC_1≠AC\)，所以\(AE\)与\(CC_1\)相交，
从而有\(AE\)不平行于平面\(B_1 BCC_1\)，故\(D\)错误．
故选：\(D\)．
-
答案 \(D\)
解析 如图，任取线段\(A_1 B\)上一点\(M\)，过\(M\)作\(MH∥AA_1\)，交\(AB\)于\(H\)，过\(H\)作\(HG∥AC\)交\(BC\)于\(G\)，
过\(G\)作\(CC_1\)的平行线，与\(CB_1\)一定有交点\(N\)，且\(MN∥\)平面\(ACC_1 A_1\)，
则这样的\(MN\)有无数个．
故选：\(D\)．
-
证明 如图所示，在\(SC\)上取一点\(H\)，使\(SH：HC=SE：ED\)，则\(EH∥DC\)．
\(\because DC∥AB\)，\(\therefore EH∥AB\)，
\(\because EH \not \subset\)平面\(SAB\)，\(AB\subset\)平面\(SAB\)，\(\therefore EH∥\)平面\(SAB\)
\(\because SE：ED=BF：FC\)，\(EH∥DC\)，\(\therefore SH：HC=BF：FC\)，\(\therefore HF∥BS\)，
\(\because HF \not \subset\)平面\(SAB\)，\(BS\subset\)平面\(SAB\)，\(\therefore HF∥\)平面\(SAB\)
\(\because FH\cap HE=H\)．\(\therefore\)平面\(EHF∥\)平面\(SAB\)．
\(\because EF\subset\)平面\(EHF\)，\(\therefore EF∥\)平面\(SAB\)．
-
答案 (1)略 (2) \(\dfrac{27}{4} \mathrm{~cm}\)
解析 (1)证明：\(\because PB\cap PD=P\)，
\(\therefore\)直线\(PB\)和\(PD\)确定一个平面\(\gamma\)，则\(\alpha\cap \gamma=AC\)，\(\beta\cap \gamma=BD\)．
又\(\alpha∥\beta\)，\(\therefore AC∥BD\)．
(2)解：由(1)得\(AC∥BD\)， \(\therefore \dfrac{P A}{A B}=\dfrac{P C}{C D}\)，
\(\therefore \dfrac{4}{5}=\dfrac{3}{C D}\)， \(\therefore C D=\dfrac{15}{4}\)．
\(\therefore P D=P C+C D=\dfrac{27}{4}(\mathrm{~cm})\)．
【题型3】 综合应用
【典题1】 如图，在长方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(AD=DD_1=1\)，\(AB=\sqrt{3}\)，\(E\)，\(F\)，\(G\)分别为\(AB\)，\(BC\)，\(C_1 D_1\)的中点，点\(P\)在平面\(ABCD\)内，若直线\(D_1 P∥\)平面\(EFG\)，则\(D_1\)与满足题意的\(P\)构成的平面截正方体的截面面积为( )
A． \(\dfrac{2 \sqrt{2}}{3}\)\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．\(\dfrac{\sqrt{5}}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)
解析 \(\because E\)、\(F\)、\(G\)分别为\(AB\)，\(BC\)，\(C_1 D_1\)的中点，
\(\therefore AC∥EF\)，\(AD_1∥EG\)，
\(\because AC\subset\)面\(ACD_1\)，\(EF \not \subset\)面\(ACD_1\)，
\(\therefore EF∥\)面\(ACD_1\)，
同理可证\(EG∥\)面\(ACD_1\)，
又\(\because EF\subset\)面\(EFG\)，\(EG\subset\)面\(EFG\)，\(EF\cap EG=E\)，
\(\therefore 面ACD_1∥\)面\(EFG\)，
即点\(P\)在直线\(AC\)上，则\(D_1\)与满足题意的\(P\)构成的平面截正方体的截面为\(△ACD_1\)，
在\(△ACD_1\)中，有\(AD_1=\sqrt{2}\)，\(AC=2\)，\(CD_1=2\)，
\(\therefore S_{\triangle A C D_1}=\dfrac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\)，
故选：\(D\)．
【巩固练习】
1.已知平面\(\alpha∥\)平面\(\beta\)，\(P\)是\(\alpha\)，\(\beta\)外一点，过点\(P\)的直线\(m\)与\(\alpha\)，\(\beta\)分别交于点\(A\)，\(C\)，过点\(P\)的直线\(n\)与\(\alpha\)，\(\beta\)分别交于点\(B\)，\(D\)，且\(PA=6\)，\(AC=9\)，\(PD=8\)，则\(BD\)的长为( )
A．\(\dfrac{24}{5}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)B．\(\dfrac{12}{5}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(\dfrac{24}{5}\)或\(24\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(\dfrac{12}{5}\) 或\(12\)
2.如图，已知四棱锥\(P﹣ABCD\)的底面是平行四边形，\(AC\)交\(BD\)于点\(O\)，\(E\)为\(AD\)中点，\(F\)在\(PA\)上，\(AP=λAF\)，\(PC∥\)平面\(BEF\)，则\(λ\)的值为( )
A．\(1\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B． \(\dfrac{3}{2}\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．\(2\) \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．\(3\)
3.如图所示，\(P\)是三角形\(ABC\)所在平面外一点，平面\(\alpha∥\)平面\(ABC\)，\(\alpha\)分别交线段\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)于\(A'\)、\(B'\)、\(C'\)，若 \(P A^{\prime}: A A^{\prime}=3: 4\)，则 \(S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}: S_{\triangle A B C}=\) ．
参考答案
-
答案 \(C\)
解析 连接\(AB\)、\(CD\)；
①当点\(P\)在\(CA\)的延长线上，即\(P\)在平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)的同侧时，如图\(1\)；
\(\because \alpha∥\beta\)，平面\(PCD\cap \alpha=AB\)，平面\(PCD\cap \beta=CD\)，
\(\therefore AB∥CD\)， \(\therefore \dfrac{P A}{A C}=\dfrac{P B}{B D}\)；
\(\because PA=6\)，\(AC=9\)，\(PD=8\)，
\(\therefore \dfrac{6}{9}=\dfrac{8-B D}{B D}\)，解得 \(B D=\dfrac{24}{5}\)；
②当点\(P\)在线段\(CA\)上，即\(P\)在平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)之间时，如图\(2\)；
类似①的方法，可得 \(\dfrac{P A}{P C}=\dfrac{P B}{P D}\)，
\(\because PA=6\)，\(PC=AC-PA=9-6=3\)，\(PD=8\)，
\(\therefore \dfrac{6}{3}=\dfrac{P B}{8}\)，解得\(PB=16\)；
\(\therefore BD=PB+PD=24\)；
综上，\(BD\)的长为\(\dfrac{24}{5}\)或\(24\)．
故选：\(C\)．
-
答案 \(D\)
解析 设\(AO\)交\(BE\)于点\(G\)，连结\(FG\)，如图所示，
因为\(E\)为\(AD\)的中点，则\(AE=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}BO\)，
四边形\(ABCD\)是平行四边形，\(AD∥BC\)，则\(△AEG∽△CBG\)，
所以\(\dfrac{A G}{G C}=\dfrac{A E}{B C}=\dfrac{1}{2}\)，所以 \(\dfrac{A G}{A C}=\dfrac{1}{3}\)，
又因为\(PC∥\)平面\(BEF\)，\(PC\subset\)平面\(PAC\)，平面\(BEF\cap\) 平面\(PAC=GF\)，
所以\(GF∥PC\)，
所以 \(\lambda=\dfrac{A P}{A F}=\dfrac{A C}{A G}=3\)．
故选：\(D\)．
-
答案 \(9:49\)
解析 由题意:\(\because\)平面\(\alpha∥\)平面\(ABC\)，
\(\therefore A' B' || AB\)，\(B' C' || BC\)，\(A' C' || AC\)，
\(\therefore\)三角\(PA'B'\)相似于三角形\(PAB\)，三角形\(PB'C'\)相似于三角形\(PBC\)，三角形\(PA'C'\)相似于三角形\(PAC\)，
\(\therefore P A^{\prime}: P A=P B^{\prime}: P B=A^{\prime} B^{\prime}: A B\)，\(P B^{\prime}: P B=P C^{\prime}: P C=B^{\prime} C^{\prime}: B C\)，\(P C^{\prime}: P C=P A^{\prime}: P A=A^{\prime} C^{\prime}: A C\)，
\(\therefore A^{\prime} B^{\prime}: A B=B^{\prime} C^{\prime}: B C=A^{\prime} C^{\prime}: A C\)，
故得: \(S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}} \sim S_{\triangle A B C}\)．
\(\therefore S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}: S_{\triangle A B C}=A^{\prime} B^{\prime 2}: A B^2\)．
又 \(\because P A^{\prime}: A^{\prime} A=3: 4\)，
\(\therefore P A^{\prime}: P A=3: 7\)，\(A^{\prime} B^{\prime}: A B=3: 7\)，
所以得\(S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}: S_{\triangle A B C}=9: 49\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.已知直线\(a\subset\alpha\)，给出以下三个命题：
①若平面\(\alpha∥\)平面\(\beta\)，则直线\(a∥\)平面\(\beta\)；
②若直线\(a∥\)平面\(\beta\)，则平面\(\alpha∥\)平面\(\beta\)；
③若直线\(a\)不平行于平面\(\beta\)，则平面\(\alpha\)不平行于平面\(\beta\)．
其中正确的命题是( )
A．② \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．③ \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) C．①②\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．①③
2.如图在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，棱长为a，\(M\)，\(N\)分别为\(A_1 B\)、\(AC\)的中点，则\(MN\)与平面\(BB_1 C_1 C\)的位置关系是( )
A．相交 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) B．平行 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)C．垂直 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\) D．不能确定
3.如图，在多面体\(ABC﹣DEFG\)中，平面\(ABC∥\)平面\(DEFG\)，\(EF∥DG\)，且\(AB=DE\)，\(DG=2EF\)，则( )
A．\(BF∥\)平面\(ACGD\) \(\qquad \qquad\) B．\(CF∥\)平面\(ABED\)\(\qquad \qquad\)C．\(BC∥FG\) \(\qquad \qquad\) D．平面\(ABED∥\)平面\(CGF\)
4.如图，在正四棱锥\(S﹣ABCD\)中，\(E\)是\(BC\)的中点，\(P\)点在侧面\(△SCD\)内及其边界上运动，并且总是保持\(PE∥\)平面\(SBD\)．则动点\(P\)的轨迹与\(△SCD\)组成的相关图形最有可能是图中的( )
A．
\(\qquad \qquad\) B．
\(\qquad \qquad\)C．
\(\qquad \qquad\)D．
5.如图所示，在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(M\)，\(N\)，\(P\)分别是\(C_1 C\)，\(C_1 B_1\)，\(C_1 D_1\)的中点，点\(H\)在四边形\(A_1 ADD_1\)的边及其内部运动，则\(H\)满足条件 时，有\(BH∥\)平面\(MNP\)．
6.如图是一几何体的平面展开图，其中\(ABCD\)为正方形，\(E\)，\(F\)，\(G\)，\(B\)分别为\(PA\)，\(PD\)，\(PC\)，\(PB\)的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面\(EFGH∥\)平面\(ABCD\)；\(\qquad \qquad\)②直线\(PA∥\)平面\(BDG\)；
③直线\(EF∥\)平面\(PBC\)； \(\qquad \qquad\) ④直线\(EF∥\)平面\(BDG\)．
其中正确的序号是\(\underline{\quad \quad}\) ．
7.已知四棱锥\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)为平行四边形，点\(M\)，\(N\)，\(Q\)分别在\(PA\)，\(BD\)，\(PD\)上，且\(PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD\)．求证：平面\(MNQ∥\)平面\(PBC\)．
8.正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中．
(1)求证：平面\(A_1 BD∥\)平面\(B_1 D_1 C\)；
(2)若\(E\)、\(F\)分别是\(AA_1\)，\(CC_1\)的中点，求证：平面\(EB_1 D_1∥\)平面\(FBD\)．
9.如图所示，正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，侧面对角线\(AB_1\)，\(BC_1\)上分别有两点\(E\)，\(F\)，且\(B_1 E=C_1 F\).求证：\(EF∥\)平面\(ABCD\).
10.如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(\angle A B C=\angle A C D=90^{\circ}\) ，\(\angle B A C=\angle C A D=60^{\circ}\)，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(PA=2\)，\(AB=1\)．设\(M\)，\(N\)分别为\(PD\)，\(AD\)的中点．
(1)求证：平面\(CMN∥\)平面\(PAB\)；
(2)求三棱锥\(P-ABM\)的体积．
参考答案
-
答案 \(D\)
解析 ①若平面\(\alpha∥\)平面\(\beta\)，则直线\(a∥\)平面\(\beta\)；因为直线\(a\subset\alpha\)，平面\(\alpha∥\)平面\(\beta\)，
则\(\alpha\)内的每一条直线都平行平面\(\beta\)．显然正确．
②若直线\(a∥\)平面\(\beta\)，则平面\(\alpha∥\)平面\(\beta\)；因为当平面\(\alpha\)与平面\(\beta\)相加时候，仍然可以存在直线\(a\subset\alpha\)使直线\(a∥\)平面\(\beta\)．故错误．
③若直线\(a\)不平行于平面\(\beta\)，则平面\(\alpha\)不平行于平面\(\beta\)，平面内有一条直线不平行与令一个平面，两平面就不会平行．故显然正确．
故选\(D\)． -
答案 \(B\)
解析 连结\(A_1 C\)、\(BC\)，取\(A_1 C\)的中点\(Q\)，\(A_1 B\)的中点\(P\)，
连结\(NQ\)、\(PQ\)、\(MN\)，
\(\because\)在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，棱长为\(a\)，\(M\)、\(N\)分别为\(A_1 B\)、\(AC\)的中点，
\(\therefore NQ∥CC_1\)，\(PQ∥BC\)，
\(\because PQ\cap NQ=Q\)，\(CC_1\cap BC=C\)，\(PQ\)、\(NQ\subset\)平面\(PMN\)，\(CC_1\)，\(BC\subset\)平面\(A_1 BC_1\)，
\(\therefore\)平面\(PNQ∥\)平面\(A_1 BC_1\)，
\(\because MN\subset\)平面\(PNQ\)，\(\therefore MN∥\)平面\(BB_1 C_1 C\)．
故选:\(B\)．
-
答案 \(A\)
解析 取\(DG\)的中点为\(M\)，连结\(AM\)，如图所示，
因为\(EF∥DG\)，且\(DG=2EF\)，所以\(DM∥EF\)且\(DM=EF\)，
所以四边形\(DEFM\)是平行四边形，
所以\(DE∥FM\)，且\(DE=FM\)，
因为平面\(ABC∥\)平面\(DEFG\)，平面\(ABC\cap\)平面\(ADEB=AB\)，平面\(ADEB\cap\)平面\(DEFG=DE\)，
所以\(AB∥DE\)，所以\(AB∥FM\)，
又\(AB=DE\)，所以\(AB=FM\)，
所以四边形\(ABFM\)是平行四边形，即\(BF∥AM\)，
又\(BF \not \subset\)平面\(ACGD\)，\(AM\subset\)平面\(ACGD\)，
所以\(BF∥\)平面\(ACGD\)．故选项\(A\)正确，
而根据已知条件只能推出上面的关系，无法判断\(CF\)与平面\(ABED\)是否平行，故选项\(B\)错误；
没有任何关系可以推导\(BC∥FG\)，故选项\(C\)错误；
没有条件可以判断平面\(ABED\)与平面\(CGF\)是否平行，故选项\(D\)错误．
故选：\(A\)．
-
答案 \(A\)
解析 取\(CD\)，\(SC\)的中点\(M\)，\(N\)，连接\(MN\)，\(ME\)，\(NE\)，
\(\because E\)是\(BC\)的中点，
\(\therefore EM∥BD\)，\(EN∥SB\)，
\(\because EM\)，\(EN \not \subset\)面\(SBD\)，\(BD\)，\(SB\subset\)面\(SBD\)，
\(\therefore EM∥\)面\(SBD\)，\(EN∥\)面\(SBD\)，
又\(\because EM\cap EN=E\)，\(EM\)，\(EN\subset\)平面\(EMN\)，
\(\therefore\)面\(EMN∥\)面\(SBD\)，
\(\therefore\)当\(P\)在\(MN\)上移动时，\(PE\subset\)面\(EMN\)，
此时保持\(PE∥\)平面\(SBD\)，
故选：\(A\)．
-
答案 \(H\in\)线段\(AD_1\)
解析 连接\(CD_1\)，\(B_1 D_1\)，\(B_1 C\)，\(A_1 B\)，\(A_1 D\)，\(BD\)，
\(\because\)在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(M\)，\(N\)，\(P\)分别是\(C_1 C\)，\(C_1 B_1\)，\(C_1 D_1\)的中点，
点\(H\)在四边形\(A_1 ADD_1\)的边及其内部运动，
\(\therefore PN∥B_1 D_1\)，\(PM∥D_1 C\)，\(MN∥B_1 C\)，
又\(BD∥B_1 D_1\)，\(A_1 B∥D_1 C\)，\(A_1 D∥B_1 C\)，
\(\therefore PN∥BD\)，\(PM∥A_1 B\)，\(MN∥A_1 D\)，
\(\because PN\cap PM=P\)，\(A_1 B\cap BD=B\)，
\(\therefore\)平面\(A_1 BD∥\)平面\(PMN\)，
\(\therefore H\)满足条件\(H\in\) 线段\(AD_1\)时，有\(BH∥\)平面\(MNP\)．
-
答案 ①②③
解析 作出立体图形如图所示，连接\(E\)，\(F\)，\(G\)，\(H\)四点构成平面\(EFGH\)，
对于①，因为\(E\)，\(F\)分别是\(PA\)，\(PD\)的中点，所以\(EF∥AD\)，
又\(EF \not \subset\)平面\(ABCD\)，\(AD\subset\)平面\(ABCD\)，所以\(EF∥\)平面\(ABCD\)，
同理\(EH∥\)平面\(ABDC\)，又\(EH\cap EF=E\)，\(EF\)，\(EH\subset\)平面\(EFGH\)，
所以平面\(EFGH∥\)平面\(ABCD\)，故①正确；
对于②，连接\(AC\)，\(BD\)交于点\(M\)，连接\(DG\)，\(BG\)，则\(M\)为\(AC\)，\(BD\)的中点，
所以\(MG∥PA\)，又\(MG\subset\)平面\(BDG\)，\(PA \not \subset\)平面\(BDG\)，所以\(PA∥\)平面\(BDG\)，故②正确；
对于③，由①中的分析可知\(EF∥AD\)，\(AD∥BC\)，所以\(EF∥BC\)，
因为\(EF \not \subset\)平面\(PBC\)，\(BC\subset\)平面\(PBC\)，所以\(EF∥\)平面\(PBC\)，故③正确；
对于④，根据③中的分析可知，\(EF∥BC\)，再结合图形可得，\(BC\cap BD=B\)，则直线\(EF\)与平面\(BDG\)不平行，故④错误．
故答案为：①②③．
-
证明 \(\because PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD\)，\(\therefore MQ∥AD\)，\(NQ∥BP\)．
\(\because BP\subset\)平面\(PBC\)，\(NQ \not \subset\)平面\(PBC\)，
\(\therefore NQ∥\)平面\(PBC\)．又底面\(ABCD\)为平行四边形，\(\therefore BC∥AD\)，
\(\therefore MQ∥BC\)．\(\because BC\subset\)平面\(PBC\)，\(MQ \not \subset\)平面\(PBC\)，
\(\therefore MQ∥\)平面\(PBC\)．
又\(MQ\cap NQ=Q\)，根据平面与平面平行的判定定 理，得平面\(MNQ∥\)平面\(PBC\)． -
证明 (1)由\(B_1 B//DD_1\)，得四边形\(BB_1 D_1 D\)是平行四边形，\(\therefore B_1 D_1//BD\)，
又\(BD \not \subset\)平面\(B_1 D_1 C\)，\(B_1 D_1\subset\)平面\(B_1 D_1 C\)，
\(\therefore BD∥\)平面\(B_1 D_1 C\)．
同理\(A_1 D∥\)平面\(B_1 D_1 C\)．
而\(A_1 D\cap BD＝D\)，\(\therefore\)平面\(A_1 BD∥\)平面\(B_1 CD\)．
(2)由\(BD∥B_1 D_1\)，得\(BD∥\)平面\(EB_1 D_1\)．取\(BB_1\)中点\(G\)，\(\therefore AE∥B_1 G\)．
从而得\(B_1 E∥AG\)，同理\(GF∥AD\)．\(\therefore AG∥DF\)．\(\therefore B_1 E∥DF\)．
\(\therefore DF∥\)平面\(EB_1 D_1\)．
\(\therefore\)平面\(EB_1 D_1∥\)平面\(FBD\)． -
证明 过\(E\)作\(EG∥AB\)交\(BB_1\) 于\(G\)，
连接\(GF\)，则 \(\dfrac{B_1 E}{B_1 A}=\dfrac{B_1 G}{B_1 B}\)，
\(\because B_1 E=C_1 F\)，\(B_1 A=C_1 B\)，
\(\therefore \dfrac{C_1 F}{C_1 B}=\dfrac{B_1 G}{B_1 B}\)，\(\therefore FG∥B_1 C_1∥BC\)，
又\(EG\cap FG=G\)，\(AB\cap BC=B\)，
\(\therefore\)平面\(EFG∥\)平面\(ABCD\)，而\(EF\subset\)平面\(EFG\)，
\(\therefore EF∥\)平面\(ABCD\). -
答案 (1)略 (2) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
解析 (1)\(\because M\)，\(N\)分别为\(PD\)，\(AD\)的中点，
\(\therefore MN∥PA\)．
又\(\because MN \not \subset\)平面\(PAB\)，\(PA\subset\)平面\(PAB\)，
\(\therefore MN∥\)平面\(PAB\)．
在\(Rt△ACD\)中，\(∠CAD=60°\)，\(CN=AN\)，\(\therefore ∠ACN=60°\)．
又\(\because ∠BAC=60°\)，\(\therefore CN∥AB\)．
\(\because CN \not \subset\)平面\(PAB\)，\(AB\subset\)平面\(PAB\)，\(\therefore CN∥\)平面\(PAB\)．
又\(\because CN\cap MN=N\)，\(\therefore\)平面\(CMN∥\)平面\(PAB\)．
(2)由(1)知，平面\(CMN∥\)平面\(PAB\)，
\(\therefore\)点\(M\)到平面\(PAB\)的距离等于点\(C\)到平面\(PAB\)的距离．
由已知，\(AB=1\)，\(∠ABC=90°\)，\(∠BAC=60°\)，\(\therefore BC=\sqrt{3}\)，
\(\therefore\) 三棱锥\(P-ABM\)的体积：
\(V=V_{M-P A B}=V_{C-P A B}=V_{P-A B C}=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3} \times 2=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)．
【B组---提高题】
1.如图，已知平面\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)，且\(\alpha∥\beta∥\gamma\)，直线\(a\)，\(b\)分别与平面\(\alpha\)，\(\beta\)，\(\gamma\)交于点\(A\)，\(B\)，\(C\)和\(D\)，\(E\)，\(F\)，若\(AB=1\)，\(BC=2\)，\(DF=9\)，则\(EF=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
2.如图，在棱长为\(2\)的正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中，\(M\)是\(A_1 B_1\)的中点，点\(P\)是侧面\(CDD_1 C_1\)上的动点，且\(MP∥\)截面\(AB_1 C\)，则线段\(MP\)长度的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(6\)
解析 \(\because AB=1\)，\(BC=2\)，\(DF=9\)，
若\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)，\(F\)六点共面
由面面平行的性质定理可得\(AB∥CD∥EF\)
根据平行线分线段成比例定理可得：\(\dfrac{B C}{A C}=\dfrac{E F}{D F}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{E F}{9}\)，
\(\therefore EF=6\) ，
若\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)，\(E\)，\(F\)六点不共面，
连接\(AF\)，交\(\beta\)于\(M\)，连接\(BM\)、\(EM\)、\(BE\)．
\(\because \beta∥\gamma\)，平面\(ACF\)分别交\(\beta\)、\(\gamma\)于\(BM\)、\(CF\)，
\(\therefore BM∥CF\)． \(\therefore \dfrac{B C}{A C}=\dfrac{M F}{A F}\)，
同理 \(\dfrac{M F}{A F}=\dfrac{E F}{D F}\)．
\(\therefore \dfrac{B C}{A C}=\dfrac{E F}{D F}=\dfrac{2}{3}=\dfrac{E F}{9}\)， \(\therefore EF=6\)，
综上所述：\(EF=6\)，
故答案为：\(6\) -
答案 \([\sqrt{6}，2\sqrt{2}]\)
解析 取\(CD\)的中点\(N\)，\(CC_1\)的中点\(R\)，\(B_1 C_1\)的中点\(H\)，
则\(MN∥B_1 C∥HR\)，\(MH∥AC\)，
故平面\(MNRH∥\)平面\(AB_1 C\)，
\(MP\subset\)平面\(MNRH\)，线段\(MP\)扫过的图形是\(△MNR\)，
由\(AB=2\)，则\(MN=2\sqrt{2}\)，\(NR=\sqrt{2}\)，\(MR=\sqrt{6}\)，
\(\therefore M N^2=N R^2+M R^2\)，
\(\therefore ∠MRN\)是直角，
\(\therefore\)线段\(MP\)长度的取值范围是：\([MR，MN]\)，即：\([\sqrt{6}，2\sqrt{2}]\)．
【C组---拓展题】
1.已知正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)的棱长为\(2\)，\(P\)为正方形\(ABCD\)内的一动点(包含边界)，\(E\)、\(F\)分别是棱\(AA_1\)、棱\(A_1 D_1\)的中点．若\(D_1 P∥\)平面\(BEF\)，则\(AP\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案 \([0， \sqrt{5}]\)
解析 连接\(BC_1\)，\(AD_1\)，则\(EF∥AD_1∥BC_1\)，
又\(EF\subset\)平面\(BEF\)，
故\(AD_1∥\)平面\(BEF\)，
设\(M\)为\(BC\)的中点，连接\(AM\)，\(D_1 M\)，
由于\(F\)分别是棱\(A_1 D_1\)的中点，故\(D_1 F=BM\)，\(D_1 F∥BM\)，
则四边形\(D_1 FBM\)为平行四边形，故\(D_1 M∥FB\)，
\(FB\subset\)平面\(BEF\)，故\(D_1 M∥\)平面\(BEF\)，
又\(AD_1\cap D_1 M=D_1\)，\(AD_1\)，\(D_1 M\subset\)平面\(D_1 AM\)，
故平面\(D_1 AM∥\)平面\(BEF\)，
由于\(D_1 P∥\)平面\(BEF\)，故\(D_1 P\subset\)平面\(D_1 AM\)，
又因为\(P\)为正方形\(ABCD\)内的一动点，且平面\(D_1 AM\cap\)平面\(ABCD=AM\)，
故\(AM\)即为动点\(P\)的轨迹，
又\(A M=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}\)，
故\(AP\)的取值范围是 \([0， \sqrt{5}]\)．
