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8.5.1 直线与直线平行

时间:2023-05-05 22:13:34浏览次数:45  
标签:直线 AC 8.5 dfrac 平行 therefore qquad 四边形

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[ 【基础过关系列】高一数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019)]
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必修第二册同步巩固,难度2颗星!

基础知识

基本事实4

(1) 内容
平行与同一条直线的两条直线平行.这性质通常叫做平行线的传递性.
 
(2) 符号表述
\(a || b\) ,\(b || c⟹ a || c\).
 

等角定理

(1) 内容
如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
 
(2) 证明
若在空间中,\(AB||A'B'\),\(AC||A'C'\),证明在下图\(1\)中\(∠BAC=∠B' A' C'\),在下图\(2\)中\(∠BAC+∠B' A' C'=180^{\circ}\).

证明 分别在\(∠BAC\)和\(∠B' A' C'\)的两边上截取\(AD\),\(AE\)和\(AD'\),\(AE'\),使得\(AD=A' D'\),\(AE=A' E'\),
连接\(AA'\),\(DD'\),\(EE'\),\(DE\),\(D' E'\),
\(\because A D \| A^{\prime} D^{\prime}\),且\(\because A D = A^{\prime} D^{\prime}\),
\(\therefore\)四边形\(ADD' A'\)是平行四边形,\(\therefore AA'||DD'\),
同理可证\(AA'||EE'\),\(\therefore DD'||EE'\),
\(\therefore\) 四边形\(DD' E' E\)是平行四边形,\(\therefore DE=D' E'\),
\(\therefore △ADE≅△A' D' E'\),\(\therefore ∠BAC=∠B' A' C'\).
image.png
第二种情况类似证明.
 

基本方法

【题型1】 基本事实4

【典题1】如图,空间四边形\(ABCD\),\(E\)、\(H\)分别是\(AB\)、\(CD\)的中点,\(F\)、\(G\)分别是\(BC\)、\(CD\)上的点,且\(\dfrac{C F}{C B}=\dfrac{C G}{C D}\),求证: 直线\(EH\)与直线\(FG\)平行.
image.png
解析 \(\because E\)、\(H\)分别是\(AB\)、\(CD\)的中点,则\(EH∥BD\),
\(\because F\)、\(G\)分别是\(BC\)、\(CD\)上的点,且\(\dfrac{C F}{C B}=\dfrac{C G}{C D}\),\(∠C=∠C\),
\(\therefore ∆CFG∼∆CBD\),
\(\therefore ∠CFG=∠CBD\),\(\therefore FG∥BD\),
\(\therefore EH∥FG\),
故直线\(EH\)与直线\(FG\)平行.
点拨
1.通过中位线或相似三角形证明直线平行;
2.通过平行线的传递性证明直线平行,这是一种间接的方法.
 

【巩固练习】

1.若直线\(a∥b\),\(c\),\(d\)为不重合的两条直线,且\(a∥c\),\(b∥d\),则\(c\)与\(d\)的位置关系是\(\underline{\quad \quad}\) .
 

2.如图,空间四边形\(ABCD\)中,\(E\),\(F\),\(G\),\(H\)分别是\(AB\),\(BC\),\(CD\),\(DA\)的中点.
求证:四边形\(EFGH\)是平行四边形.
image.png
 

3.已知棱长为\(a\)的正方体\(ABCD-ABCD'\)中,\(M\),\(N\)分别为 \(CD\),\(AD\)的中点.
求证: 四边形\(MNAC\)是梯形.
image.png
 

参考答案

  1. 答案 平行
    解析 因为\(a∥b\)且\(a∥c\),
    根据平行线的传递性知\(b\),\(c\)平行或重合,
    又因为\(b∥d\),
    再次利用平行线的传递性知\(c\),\(d\)平行或重合
    因为\(c\),\(d\)为不重合的两条直线,所以\(c∥d\).

  2. 证明 连接\(BD\),因为\(EH\)是\(△ABD\)的中位线,
    image.png
    所以\(EH∥BD\),且\(EH=\dfrac{1}{2} BD\).
    同理\(FG∥BD\),且\(FG=\dfrac{1}{2} BD\).
    所以\(EH∥FG\),且\(EH=FG\).
    所以四边形\(EFGH\)是平行四边形.

  3. 证明 如图所示:
    image.png
    连接\(AC\),由正方体的性质可知\(AA'=CC'\),\(AA'∥CC'\),
    \(\therefore\)四边形\(AA' C' C\)为平行四边形,\(\therefore A' C'=AC\),\(A' C'∥AC\),
    又\(\because M\),\(N\)分别为 \(CD\),\(AD\)的中点,
    \(\therefore MN∥AC\),且\(MN=\dfrac{1}{2} AC\),
    \(\therefore MN∥A' C'\)且\(MN≠A' C'\),
    \(\therefore\)四边形\(MNA' C'\)是梯形.
     

【题型2】等角定理

【典题1】 如图,\(△ABC\)和\(△A' B' C'\)的对应顶点的连线\(AA'\),\(BB'\),\(CC'\)交于同一点\(O\),且\(\dfrac{A O}{O A^{\prime}}=\dfrac{B O}{O B^{\prime}}=\dfrac{C O}{O C^{\prime}}=\dfrac{2}{3}\).
image.png
  (1) 求证:\(A' B' ∥AB\),\(A' C' ∥AC\),\(B' C'∥BC\);
  (2) 求\(\dfrac{S_{\triangle A B C}}{S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}}\)的值.
解析 (1)\(\because AA'∩BB'=O\)且\(\dfrac{A O}{A^{\prime} O}=\dfrac{B O}{B^{\prime} O}=\dfrac{2}{3}\) ,
\(\therefore AB∥A' B'\), 同理,\(AC∥A' C'\),\(BC∥B' C'\) ."
(2)\(A' B'∥AB\),\(A' C'∥AC\),
由图知:\(AB\)和\(A' B'\),\(AC\)和\(A' C\)方向相反,
\(\therefore ∠BAC=∠B' A' C'\),
同理\(∠ABC=∠A' B' C'\), \(∠ACB=∠A' C' B'\),
\(\therefore △ABC∼△A' B' C'\),
\(\therefore \dfrac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\dfrac{A O}{O A^{\prime}}=\dfrac{2}{3}\),
\(\therefore \dfrac{S_{\triangle A B C}}{S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=\dfrac{4}{9}\).
 

【巩固练习】

1.已知\(∠BAC=30^{\circ}\),\(AB∥A'B'\),\(AC∥A'C'\),则\(∠B'A'C'=\)(   )
  A.\(30^{\circ}\) \(\qquad \qquad \qquad\) B.\(150^{\circ}\) \(\qquad \qquad \qquad\) C.\(30^{\circ}\)或\(150^{\circ}\) \(\qquad \qquad \qquad\) D.大小无法确定
 

2.不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行,则这两个三角形 ( )
  A.一定是全等三角形 \(\qquad \qquad \qquad\qquad\) B.一定是相似但不全等的三角形
  C.一定是相似或全等的三角形 \(\qquad \qquad \qquad\) D.可能不全等或相似
 

3.如图,三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中,\(M\),\(N\),\(P\)分别为\(AA_1\),\(BB_1\),\(CC_1\)的中点.
求证:\(∠MC_1 N=∠APB\).
image.png
 
 

4.长方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中,\(E\),\(F\)分别为棱\(AA_1\),\(CC_1\)的中点.
image.png
  (1) 求证: \(D_1 E||BF\);
  (2) 求证: \(∠B_1 BF=∠A_1 ED_1\).
 
 
 

参考答案

  1. 答案 \(C\)
    解析 已知\(∠BAC=30^{\circ}\),\(AB∥A'B'\),\(AC∥A'C'\),
    当角的方向相同时,\(∠B' A' C'=30^{\circ}\),
    当角的方向相反时,\(∠B' A' C'=150^{\circ}\),
    故选:\(C\).

  2. 答案 \(C\)
    解析 根据等角定理可知,这两个三角形的三个角,分别对应相等,所以这两个三角形一定相似或全等.故选: \(C\).

  3. 证明 因为\(N\),\(P\)分别是 \(BB_1\),\(CC_1\)的中点,
    所以\(BN||C_1 P\),\(BN=C_1 P\),所以四边形\(BPC_1 N\)为平行四边形,所以\(C_1 N||BP\).
    同理可证 \(C_1 M||AP\).
    又 \(∠MC_1 N\)与\(∠APB\)方向相同,所以\(∠MC_1 N=∠APB\).

  4. 证明 (1) 如图,取\(BB_1\)的中点\(M\),连接 \(EM\) ,\(C_1 M\)."
    image.png
    在矩形\(ABB_1 A_1\)中,易得\(EM||A_1 B_1\),\(EM=A_1 B_1\),
    因为\(A_1 B_1 ||C_1 D_1\),\(A_1 B_1=C_1 D_1\), 所以\(EM||C_1 D_1\),\(EM=C_1 D_1\),
    所以四边形\(EMC_1 D_1\)为平行四边形, 所以 \(D_1 E||MC_1\).
    在矩形 \(BCC_1 B_1\)中,易得\(MB||C_1 F\),\(MB=C_1 F\).
    所以四边形\(MBFC_1\)为平行四边形,
    所以\(BF||MC_1\), 所以 \(D_1 E||BF\).
    (2) 因为 \(D_1 E||BF\),\(BB_1 ||EA_1\) ,
    又\(∠B_1 BF\)与\(∠A_1 ED_1\)的对应边方向相同,
    所以\(∠B_1 BF=∠A_1 ED_1\).
     

分层练习

【A组---基础题】

1.已知直线\(a∥\)直线\(b\),直线\(b∥\)直线\(c\),直线\(c∥\)直线\(d\),则\(a\)与\(d\)的位置关系是(  )
  A.平行 \(\qquad \qquad \qquad\) B.相交 \(\qquad \qquad \qquad\) C. 异面 \(\qquad \qquad \qquad\) D.不确定
 

2.若\(∠AOB=∠A_1 O_1 B_1\),且\(OA∥O_1 A_1\),\(OA\)与\(O_1 A_1\)方向相同,则下列结论正确的有(  )
  A. \(OB∥O_1 B_1\)且方向相同 \(\qquad \qquad\) B. \(OB∥O_1 B_1\),方向可能不同
  C. \(OB\)与\(O_1 B_1\)不平行 \(\qquad \qquad\) D. \(OB\)与\(O_1 B_1\)不一定平行
 

3.空间中有三条线段\(AB\),\(BC\),\(CD\),且\(∠ABC=∠BCD\),那么直线\(AB\)与\(CD\)的位置关系是(  )
  A.平行 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) B.异面
  C.相交或平行 \(\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad\) D.平行或异面或相交均有可能
 

4.(多选)下列命题中,错误的结论有 (  )
  A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
  B. 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
  C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补
  D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
 

5.设\(∠A\)与\(∠B\)的两边分别平行,若\(∠A=45^{\circ}\),则\(∠B\)的大小为\(\underline{\quad \quad}\).
 

6.对角线互相垂直的空间四边形\(ABCD\)各边中点分别为\(M\)、\(N\)、\(P\)、\(Q\),则四边形\(MNPQ\)是\(\underline{\quad \quad}\).
 

7.如图所示,在空间四边形\(ABCD\)中,\(E\),\(H\)分别为\(AB\),\(AD\)的中点,\(F\),\(G\)分别是\(BC\),\(CD\)上的点,且\(\dfrac{C F}{C B}=\dfrac{C G}{C D}=\dfrac{2}{3}\),若\(BD=6cm\),梯形\(EFGH\)的面积为\(28 \mathrm{~cm}^2\),则平行线\(EH\),\(FG\)间的距离为\(\underline{\quad \quad}\) .
image.png
 

8.如图所示,在三棱柱\(ABC-A_1 B_1 C_1\)中,\(E\),\(F\),\(G\),\(H\)分别是\(AB\),\(AC\),\(A_1 B_1\),\(A_1 C_1\)的中点,求证:\(B\),\(C\),\(H\),\(G\)四点共面.
image.png
 

9.在如图所示的正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中,\(E\),\(F\),\(E_1\),\(F_1\)分别是棱\(AB\),\(AD\),\(B_1 C_1\),\(C_1 D_1\)的中点,
image.png
求证:(1) \(EF||E_1 F_1\)且\(EF=E_1 F_1\),\(\qquad \qquad\) (2)\(∠EA_1 F=∠E_1 CF_1\).
 
 
 

10.如图,在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中,\(M\),\(M_1\)分别是棱\(AD\)和\(A_1 D_1\)的中点.
image.png
  (1)求证:四边形\(BB_1 M_1 M\)为平行四边形;
  (2)求证:\(∠BMC=∠B_1 M_1 C_1\).
 
 
 

参考答案

  1. 答案 \(A\)
    解析 \(\because a∥b\),\(b∥c\),\(\therefore a∥c\).又\(c∥d\),\(\therefore a∥d\).故选: \(A\).

  2. 答案 \(D\)
    解析 如图,

    当\(∠AOB=∠A_1 O_1 B_1\)时,且\(OA∥O_1 A_1\),\(OA\)与\(O_1 A_1\)的方向相同,\(OB\)与 \(O_1 B_1\)是不一定平行,
    故选: \(D\)

  3. 答案 \(D\)
    解析 如图可知\(AB\),\(CD\)有相交,平行,异面三种情况,
    故选:\(D\).

  4. 答案 \(AC\)
    解析 对于选项\(A\):如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故选项\(A\)错误;
    对于选项\(B\):由等角定理可知\(B\)正确;
    对于选项\(C\): 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,这两个角的关系不确定,既可能相等也可能互补,也可能既不相等,也不互补.反例如图,在立方体中,\(∠A_1 D_1 C_1\)与\(∠A_1 BC_1\)满足\(A_1 D_1⊥A_1 B\),\(C_1 D_1⊥C_1 B\),但是\(\angle A_1 D_1 C_1=\dfrac{\pi}{2}\),\(\angle A_1 B C_1=\dfrac{\pi}{3}\),二者不相等也不互补.故选项\(C\)错误.
    image.png
    对于选项\(D\): 如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故选项\(D\)正确.
    故选:\(AC\).

  5. 答案 \(45^{\circ}\)或 \(135^{\circ}\)
    解析 \(\because ∠α\)的两边和\(∠β\)的两边分别平行,
    \(\therefore ∠α\)与\(∠β\)相等或互补,
    \(\because ∠α=45^{\circ}\),
    \(\therefore ∠β=45^{\circ}\)或\(\angle \beta=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}\).

  6. 答案 矩形
    解析 如图所示.
    \(\because\)点\(M\)、\(N\)、\(P\)、\(Q\)分别是四条边的中点,
    \(\therefore MN=\dfrac{1}{2} AC\)且\(MN|| AC\),\(PQ=\dfrac{1}{2} AC\)且\(PQ||\dfrac{1}{2} AC\),
    \(\therefore MN=PQ\)且\(MN|| PQ\),
    \(\therefore\)四边形\(MNPQ\)是平行四边形.
    又\(\because BD∥MQ\),\(AC⊥BD\),
    \(\therefore MN⊥MQ\),\(\therefore\)平行四边形\(MNPQ\)是矩形.
    故答案为:矩形.
    image.png

  7. 答案 \(8 cm\)
    解析 \(\because E\),\(H\)分别为\(AB\),\(AD\)的中点,\(F\),\(G\)分别是\(BC\),\(CD\)上的点,且\(\dfrac{C F}{C B}=\dfrac{C G}{C D}=\dfrac{2}{3}\),\(BD=6cm\),
    \(\therefore EH=3\), \(F G=6 \times \dfrac{2}{3}=4\)
    设\(EH\),\(FG\)间的距离为\(h\),
    则 \(S_{\text {梯形 } E F G H^{-}} \dfrac{(E H+F G) h}{2}=28\),得\(h=8(cm)\),
    故答案为\(8 cm\).

  8. 证明 \(\because G\),\(H\)分别是\(A_1 B_1\),\(A_1 C_1\)的中点,
    \(\therefore GH\)是\(△A_1 B_1 C_1\)的中位线,
    \(\therefore GH∥B_1 C_1\),
    又\(\because B_1 C_1∥BC\),\(\therefore GH∥B\)C,
    \(\therefore B\),\(C\),\(H\),\(G\)四点共面.

  9. 证明 (1)连接\(BD\),\(B_1 D_1\),在\(△ABD\)中,
    因为\(E_1\),\(F\)分别为\(AB\),\(AD\)的中点,
    所以\(EF=\dfrac{1}{2} BD\)且\(EF|| BD\),
    同理\(E_1 F_1=\dfrac{1}{2} B_1 D_1\)且\(E_1 F_1|| B_1 D_1\),
    在正方体\(ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1\)中,因为\(AA_1||DD_1\)且\(AA_1=DD_1\),\(AA_1||BB_1\)且\(AA_1=BB_1\),
    所以\(B_1 B||DD_1\) 且\(B_1 B=DD_1\),
    所以四边形\(BDD_1 B_1\)是平行四边形,所以\(BD||B_1 D_1\)且\(BD=B_1 D_1\),
    所以\(EF||E_1 F_1\)且\(EF=E_1 F_1\).
    (2)取\(A_1 B_1\)的中点\(M\),连接\(BM\),\(F_1 M\),
    因为\(MF_1||B_1 C_1\)且\(MF_1=B_1 C_1\),\(B_1 C_1||BC\)且\(B_1 C_1=BC\),
    所以\(MF_1||BC\)且\(MF_1=BC\),
    所以四边形\(BCF_1 M\)是平行四边形,所以\(MB||CF_1\),
    因为\(A_1 M||EB\),所以四边形\(EBMA_1\)是平行四边形,所以\(A_1 E||MB\) ,
    所以\(A_1 E||CF_1\),
    同理可证:\(A_1 F||E_1 C\),
    又\(∠EA_1 F\)与\(∠F_1 CE_1\)两边的方向均相反,
    所以\(∠EA_1 F=∠E_1 CF_1\).

  10. 证明 (1)在正方形\(ADD_1 A_1\)中,\(M\),\(M_1\)分别是棱\(AD\)和\(A_1 D_1\)的中点,
    \(\therefore MM_1∥AA_1\).又\(\because AA_1∥BB_1\),
    \(\therefore MM_1||BB_1\),且\(\therefore MM_1=BB_1\),
    \(\therefore\) 四边形\(BB_1 M_1 M\)为平行四边形.
    (2)由(1)知四边形\(BB_1 M_1 M\)为平行四边形,\(\therefore B_1 M_1∥BM\).
    同理可得四边形\(CC_1 M_1 M\)为平行四边形,\(\therefore C_1 M_1∥CM\).
    由平面几何知识可知,\(∠BMC\)和\(∠B_1 M_1 C_1\)都是锐角,
    \(\therefore ∠BMC=∠B_1 M_1 C_1\).

标签:直线,AC,8.5,dfrac,平行,therefore,qquad,四边形
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