平面
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合，点 \(A\) 在平面 \(\alpha\) 内，记作 \(\alpha \in A\)；点 \(B\) 在平面 \(\alpha\) 外，记作 \(B \notin \alpha\)。
公理 \(1\)：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。符号表示：\(A \in l, B \in l\)，且 \(A \in \alpha, B \in a \Rightarrow l \subset \alpha\)。
公理 \(2\)：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理 \(3\)：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示：\(P \in \alpha \cap \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta = l\)，且 \(P \in l\)。
空间中直线与直线的位置关系
\[\begin{cases} 共面直线 \begin{cases} 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；\\ 平行直线：同一平面内，没有公共点；\\ \end{cases}\\ 异面直线：不同在任意一个平面内，没有公共点。\\ \end{cases} \]公理 \(4\)：平行于一条直线的两条直线平行（通常叫做空间平行线的传递性）。
定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
已知两条异面直线 \(a,b\)，经过空间任一点 \(O\) 作直线 \(a^\prime \parallel a, b^\prime \parallel b\)，我们把 \(a^\prime\) 与 \(b^\prime\) 所成的锐角（或直角）叫做异面直线 \(a\) 与 \(b\) 所成的角（或夹角）。为了简便，点 \(O\) 常取在两条异面直线中的一条上。
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直。两条互相垂直的异面直线 \(a,b\)，记作 \(a \bot b\)。
空间中直线与平面之间的位置关系
\[\begin {cases} 直线在平面外 \begin {cases} 直线在平面内——有无数个公共点； \\ 直线与平面相交——有且只有一个公共点； \\ \end {cases} \\ 直线与平面平行——没有个公共点 \\ \end {cases} \]直线 \(a\) 与平面 \(\alpha\) 相交于点 \(A\)，记作 \(a \cap \alpha = A\)；直线 \(a\) 与平面 \(\alpha\) 平行，记作 \(a \parallel \alpha\)。
平面与平面之间的位置关系
\[\begin {cases} 两个平面平行——没有公共点\\ 两个平面相交——有一条公共直线\\ \end {cases} \]平面 \(\alpha\) 与 平面 \(\beta\) 平行，记作 \(\alpha \parallel \beta\)。
直线、平面平行的判定及其性质
直线与平面平行的判定
定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。符号表示：\(a \not\subset \alpha, b \subset \alpha\)，且 \(a \parallel b \Rightarrow a \parallel \alpha\)。
平面与平面平行的判定
定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
直线与平面平行的性质
定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
平面与平面平行的性质
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
直线、平面垂直的判定及其性质
如果直线 \(l\) 与平面 \(\alpha\) 内任意一条直线都垂直，我们就说直线 \(l\) 与平面 \(\alpha\) 互相垂直，记作 \(l \perp \alpha\)。直线 \(l\) 叫做平面 \(\alpha\) 的垂线，平面 \(\alpha\) 叫做直线 \(l\) 的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 \(P\) 叫做垂足。
直线与平面垂直的判定
定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
平面与平面垂直的判定
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。棱为 \(AB\)，面分别为 \(\alpha, \beta\) 的二面角记作 \(\alpha-AB-\beta\)。
二面角的平面角。直二面角。
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
直线与平面垂直的性质
定理：垂直同一平面的两条直线平行。
平面与平面垂直的性质
定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
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