映射的理解
我确信高中没学过（逃
定义
考虑集合 \(A,B\)，一个从 \(A\) 到 \(B\) 的映射被记作 \(\varphi:A\mapsto B\)， 满足：
\[\forall a \in A,\varphi(a)\in B \]其中 \(\forall a\in A,\varphi(a)\) 是唯一的。
\(a\) 叫 \(\varphi(a)\) 的原像（\(\text{preimage}\)），\(\varphi(a)\) 叫 \(a\) 的像（\(\text{image}\)）。
单射：\(\forall x,y\in A,x\neq y\to\varphi(x)\neq\varphi(y)\)。
满射：\(\forall b\in B,\exists a\in A,\varphi(a)=b\)。
双射：既是单射又是满射。对应直观上的一一对应。
例子
单射非满射：\(\varphi:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R},\varphi(x)=\exp x\)。
满射非单射：\(\varphi:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}^+\cup\{0\},\varphi(x)=x^2\)。
双射：\(\varphi:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R},\varphi(x)=114x + 514\)。
Group
代数结构
首先，定义集合的笛卡尔积：\(A\times B=\{(x,y)\mid\forall x\in A,y\in B\}\)，特殊地，简写 \(A\times A\) 为 \(A^2\)。
然后，我们明确一点，把 \(n\) 个元素放一起，然后就可以得到一个新元素，这个过程就是运算的定义。
显然，\(n\) 元运算可以看作映射 \(\varphi:A^n\mapsto B\)。
比如 \(\varphi(x):\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R},\varphi(x)=-x\) 是一个一元运算，\(\varphi(x, y):\mathbb{R}^2\mapsto\mathbb{R},\varphi(x, y)=xy\) 是一个二元运算。
代数结构就是给出集合 \(A\) 和作用在这个集合上的若干运算 \(f_1,f_2\cdots f_m\)（我们称 \(A\) 装备了这个运算）。
代数结构可以简写为 \((A,f_1,f_2,\cdots f_m)\)。
Magagroup
从简单的开始，我们考虑一个代数结构 \((A,\cdot)\)，为了书写方便，约定 \(ab=a\cdot b\)，约定默认从左到右运算，即 \(abc=(ab)c\)。
之前说：\(n\) 元运算可以看作映射 \(\varphi:A^n\mapsto B\)。如果 \(A=B\)，拿这一定是一种很特殊的情况，如果 \((A,\cdot)\) 满足 \(\forall x,y\in A,xy\in A\)（这个性质被称为封闭性），就称 \((A,\cdot)\) 为一个 \(\text{magagroup}\)（原群）。
Semigroup
只有封闭性的运算太 \(\text{trivial}\) 了，我们期望找到一个很基本，同时很重要的性质来约束这个代数结构。
经过经验积累，我们知道这个性质应该是结合律：\((ab)c=a(bc)\)。（直觉上交换律同样重要，但矩阵乘法告诉我们只有结合律比只有交换律有趣）
如果 \((A,\cdot)\) 满足结合律，那么它就是一个 \(\text{semigroup}\)（半群）。
Monoid
手玩几个 \(\text{semigroup}\) 的例子，比如 \((\mathbb{R},+),(\mathbb{R},\max),(\mathbb{R},f:f(a,b)=\min\{a+b,114\})\)。
不消说，最后一个 \(\text{semigroup}\) 和前两个画风不一样。
举个例子，我们在维护一颗线段树，查询的内容是上面 \(3\) 个例子中的运算，那么如果走到了空的子树，\((\mathbb{R},+)\) 只需要返回 \(0\)，\((\mathbb{R},\max)\) 只需要返回 \(-\infty\)，但是最后一个半群我们就不知道返回什么了。
因为总有 \(a+0=a,\max\{a,-\infty\}=a\)，但是 \(\not\exists e\in\mathbb{R},\forall a\in\mathbb{R},\min\{a+e,114\}=a\)。
这样和任意元素运算不改变其值的元素显然很特殊，于是我们给它一个名字单位元，或者幺元（\(\text{identical element}\)），一般用 \(e\) 或 \(1\) 表示，形式化的定义是：
\[\begin{align*} &\forall a\in A,ae=a&(1.1) \end{align*} \]当然，上面定义的叫右幺元（可以看到式子中的 \(e\) 在右边），我们记作 \(e_r\)，类似的右左幺元 \(e_l\)：
\[\begin{align*} &\forall a\in A,e_la=a&(1.2) \end{align*} \]但容易证明左右幺元等价：
\[\begin{align*} e_le_r&=e_l&\text{运用}(1.1)\\ &=e_r&\text{运用}(1.2) \end{align*} \]同理可证幺元唯一。
如果一个 \(\text{semigroup}\) 有 \(\text{identical element}\)，那么它就是一个 \(\text{monoid}\)（幺半群）。
Group
运用一点直觉，总有 \(x+(-x)=0\)，但不总有 \(x\cdot\frac1x=1\)，因为 \(0\) 不能作除数（当然，这个可以解释）。而 \(0\) 和 \(1\) 分别是 \(+\) 和 \(\cdot\) 的单位元。
于是引出逆元的定义：
\[x\in A,x\cdot x^{-1}=e \]那么称 \(x^{-1}\) 为 \(x\) 的逆元，这里跳过左右/唯一性等问题。
如果 \(\text{monoid}(G,\cdot)\) 中的每个元素都有逆元，那么 \((G,\cdot)\) 就是一个 \(\text{group}\)（群）。
后面书写时，默认 \(G=(G,\cdot)\) 是一个群，定义群的阶数为 \(G\) 的大小，记为 \(|G|\)。
可能用到的缩写
\(S_n\) 表示 \(n\) 阶置换构成的群。
奇置换指奇数次交换两个元素的置换，偶置换同理。
\(A_n\) 表示 \(n\) 阶交错群，即所有 \(n\) 阶偶置换构成的群。
\(\text{GL}_n(A)\) 表示每个元素都在 \(A\) 中的 \(n\times n\) 可逆矩阵构成的群。
单群（\(\text{single group}\)）表示子群只有自身和 \(\{e\}\) 的群。
消去律
\(\forall a,b,c\in G,ab=ac\to b=c\)
上面这个只是左消去律，对应还有右校区律，不过同理。
两边同时左乘 \(a^{-1}\) 即可。（可以注意到使用了群的所有性质，毕竟 \(\max\) 可以构成幺半群，但不能消去）
Subgroup
定义
对于群 \((G,\cdot)\)，如果 \(H\subset G\)，而且 \((H,\cdot)\) 也是一个群，那么可以写作 \((H,\cdot)\le(G,\cdot)\)（之后都采取简写 \(H\le G\)），称 \(H\) 为 \(G\) 的一个 \(\text{subgroup}\)（子群）。
注意到，\(G\le G\)，类比集合的知识可以定义真子群，把 \(H\le G\wedge H\ne G\) 简写为 \(H<G\)。
Cyclic group
如果一个群可以表示成 \((\{x^n\mid n\in\mathbb{N}^*,x\in G\},\cdot)=(G,\cdot)\)，那么它就是一个循环群。（想象用一个元素不断自乘就可以循环遍历所有元素）
这引出阶（\(\text{order}\)）的定义：如果有最小的正整数 \(k\) 使得 \(a^k=e\)，那么\(\text{ord}(a)=k\)。
Normal subgroup
如果 \(H\le G\) 并且满足：
\[\forall h\in H,g\in G,ghg^{-1}\in H \]那么就称 \(H\) 为 \(G\) 的 \(\text{normal subgroup}\)（正规子群），记作 \(H\triangleleft G\)。（这个结构在矩阵快速幂里出现过，属于用直觉观察出来的）
其实正规和交换的联系相当紧密，因为在群中显然有 \(ag=ga\to a=gag^{-1}\)。
正规性，也就是 \(\forall h\in H,g\in G,ghg^{-1}\in H\) 这一性质，有某些良好的性质，存在以下命题：
\(K\triangleleft G,H\le G,K\cap H\triangleleft H\)
首先，我们证明引理：
\(H,K\le G,H\cap K\le G\)
通俗的说就是子群的交还是子群。
不消说，\(e\in H,K,H\cap K\)，于是单位元就有了，然后运算的结合律也不会变。
封闭性：只需要注意到 \(x,y\in H\cap K\)，那么
\[\begin{align*} x,y\in H&\to xy\in H\\ x,y\in K&\to xy\in K\\ &\to xy\in H\cap K \end{align*} \]逆元：同理，\(a\in H\to a^{-1}\in H\)，\(a\in K\to a^{-1}\in K\)，当 \(a\) 同时在两个集合里时，自然也有 \(a^{-1}\in H\cap K\)。
引理得证。
运用引理，很快得到 \(H\cap K\le H\)。
然后验证正规性的思路差不多，首先我们根据 \(\text{normal group}\) 的定义知道 \(\forall h\in H\subset G,k\in K,hkh^{-1}\in K\)，再运用子群的定义，已知 \(k\in H\cap K\subset H,h,h^{-1}\in H\to hkh^{-1}\in H\)。综合上述两者就可以得到 \(H\cap K\) 的正规性。
最后，我们引入一个定义：\(\text{conjugate}\)（共轭），如果 \(\exists g\in G,a=gbg^{-1}\)，则称 \(a,b\) 是 \(\text{conjugate}\) 的。类似的可以定义集合的 \(\text{conjugate}\)。
The center of group
设 \(C(G)=\{a\in G\mid\forall g\in G,ag=ga\}\)，也就是 \(G\) 中满足交换律的那些元素。\(Z\) 这个函子就被称为 \(G\) 的 \(\text{center}\)（中心）。
这里引入一种简写，\(aG=\{ag\mid\forall g\in G\}\)，\(Ga\) 同理。
易知，\(e\in C(G)\)，所以 \(Z(G)\) 一定非空。存在如下命题：
\(C(G)\triangleleft G\)
首先，考虑证明 \(C(G)\le G\)。
先证封闭性，\(a,b\in C(G)\)，根据定义就有
\[(ab)G=a(bG)=a(Gb)=aGb=Gab=G(ab) \]然后结合律，幺元都是显然的。
最后证明逆元，即 \(a\in C(G)\to a^{-1}\in C(G)\)。其实也很简单，
\[ag=ga\to a^{-1}aga^{-1}=a^{-1}gaa^{-1}\to ga^{-1}=a^{-1}g \]于是就有 \(a^{-1}\in C(G)\)。
接下来证明 \(C(G)\triangleleft G\)，只需要注意到 \(\forall g\in G,a\in C(G),ag=ga\to a=gag^{-1}\in C(G)\) 即可。
这展示了一点正规和交换的关系。
值得一提的是，\(\text{normal subgroup}\) 不一定是 \(\text{Abel group}\)（也就是满足交换律的群），一个反例是 \(A_4\triangleleft S_4\)。
Normalizer and centralizer
考虑局部化正规和交换的性质，考虑 \(H\le G,X\subset G\)，定义 \(\text{normalizer}\)（正规化子）和 \(\text{centralizer}\)（中心化子）：
\[\begin{align*} N_G(H)&=\{a\in G\mid aHa^{-1}=H \}\\ C_G(X)&=\{a\in G\mid aX=Xa\} \end{align*} \]其中 \(N_G\) 是正规化子，\(C_G\) 是中心化子。
Homomorphism and isomorphsim
Category
这一部分理解不了不影响后续学习，但理解了会有帮助。第一次可以跳过。
Object and morphism
\(\text{Category}\) （范畴）最早是亚里士多德对现实世界的抽象，后来在二十世纪为了构建统一的数学体系被引入数学中。
一个 \(\text{category}\) 包括两个部分：\(\text{object}\) （对象）和 \(\text{morphism}\)（态射）。
\(\text{Object}\) 描述了一种“类型”，也就是有特定的结构的一种东西，比如在 \(\text{c++}\) 中我们写：
class MyObject{
int x, y;
double d;
};
MyObject 就是一种类型，MyObject 包含名为 \(x,y\) 的整型变量和名为 \(d\) 的浮点变量这一事实就是 MyObject 这一类型的特定结构。
\(\text{Morphism}\) 描述了 \(\text{object}\) 间的组合方式，满足以下两个性质：
首先，\(\text{morphism}\) 之间可以复合，比如存在 \(f:a\to b,g:b\to c\)，就存在 \(f\circ g:a\to c\)。\(f\circ g\) 表示 \(f,g\) 的复合。
其次，对于每个 \(\text{object }a\) 都有一个 \(\text{identity morphism:}I_a\)，满足 \(f\circ I_a=f\)。
虽然看上去很像，但实际上讨论 \(\text{morphism}\) 和 \(\text{mapping}\) 的区别是没有意义的，因为我们没有更基本的数学语言来定义它们。教科书上大部分严谨的 \(\text{category}\) 的定义也是基于 \(\text{ZFC}\) 公理体系的。
但值得注意的是，两者不能说是完全一样。比如我们考虑把 \(\mathbb{N}^*\) 当作 \(\text{object}\)，\(n\) 到 \(m\) 的 \(\text{morphism}\) 则定义为所有 \(n\times m\) 阶矩阵（这是和 \(\text{mapping}\) 的不同之处，\(\text{mapping}\) 不关心中间过程是什么），\(\text{morphism}\) 的复合则定义为矩阵乘法，容易发现这可以构成一个 \(\text{category}\)。
Functor
\(\text{Object}\) 间的关系由 \(\text{morphism}\) 描述，而 \(\text{category}\) 间的关系则由 \(\text{functor}\)（函子）描述。
\(\text{Functor}\) 和 \(\text{morphism}\) 最大的区别在于，\(\text{morphism}\) 只包含了 \(\text{object}\) 之间的关系，而 \(\text{functor}\) 由两部分组成：\(\text{objectA}\) 到 \(\text{objectB}\) 的 \(\text{morphism}\)，\(\text{morphismA}\) 到 \(\text{morphismB}\) 的 \(\text{morphism}\)。
比如考虑这样的 \(\text{c++}\) 代码：
template<typename T>
T add(T a, T b){
return a + b;
}
之前我们倾向于把“类型”理解为 \(\text{object}\)，但我们可以考虑每种类型支持的运算，这些运算其实构成了类型自己到自己的 \(\text{morphism}\)，所以在这里我们把代码力的数据类型理解为不同的 \(\text{category}\)，比如 \(\text{int category, string category}\)。
我们无需知道具体的数据类型，只需要调用 add 函数就可以执行“加法”，这就是 template 带来的抽象性，而这种抽象性实质上是一种 \(\text{functor}\)，对于本身 \(\text{morphism}\) 包含了 \(+\) 的 \(\text{category}\)，add 相当于一种到自己的 \(\text{functor}\)。
这个例子中，我们的 \(\text{functor}\) 看上去什么都没做，但实际上，\(\text{functor}\) 完成了“翻译”的工作，把一种语言（\(a+b\)）翻译为了另一种语言（\(add(a,b)\)）。（最早，\(\text{category}\) 的引入就是为了把拓扑语言翻译成代数语言）
Higher category
注意到，\(\text{morphism}\) 是单纯的 \(\text{object}\) 间的组合，\(\text{functor}\) 是 \(\text{morphism}\) 和 \(\text{object}\) 间的组合，那自然可以想到有没有 \(\text{functor,morphism,object}\) 间的组合呢？
这样的组合就被称为 \(\text{2-category}\)，类似地可以推广到 \(\text{n-category}\)。
Isomorphism
在讨论 \(\text{category}\) 时，我们一般不说 \(a\) 和 \(b\) 是相等的，而是说 \(a\) 和 \(b\) 是 \(\text{isomorphism}\) （同构）的。
\(\text{isomorphism}\) 就是相等，一样的意思。但我们不直接说相等，因为代数关注的是结构。结构相同的东西具体是完全相同的两个东西，还是不同对象组成的结构相同的东西，我们并不在意。
于是我们没有必要定义相等，只需要定义 \(\text{isomorphism}\)，我们写 \(a=b\)，就表示 \(a\) 和 \(b\) 是 \(\text{isomorphism}\) 的。
Group homomorphism
定义
前缀 \(\text{homo-}\) 源于希腊语，表示“相同”，所以 \(\text{homomorphism}\) 被译为“同态”。
程序员在实现自己的类时，往往希望可以和原本的内容看上去像：比如进行大量运算符重载，或者将函数名称定义得和标准库一样等。
这种看上去一样的性质会带来极大的方便。比如我定义一个类 code 表示某种编码，编码内部只有一个 int 变量，那么我写 code(int(x) + int(y)) 和 code(int(x)) + code(int(y)) 就是一样的。（这里只是做了一点编译器的工作，实际上写的时候能够直接把 code 当成 int 做运算显然很有好处）
上面这个例子就是 \(\text{homomorphism}\)。毕竟我们在讨论 \(\text{group theory}\)，下面给出 \(\text{group homomorphism}\) 的形式化定义：
\[\varphi:G\mapsto G^\prime,\varphi(a)\varphi(b)=\varphi(ab) \]其中 \(G,G^\prime\) 都是群。注意，内部和外部我们都省略了运算符，但内外的运算是不同的，一个装备在 \(G\) 上，一个装备在 \(G^\prime\) 上。当然，它们也可以是相同的。
比如在 \(\text{c++}\) 中 int 转 double 就是 \(\text{homomorphism}\)，但 int 转 string 就不是。
值得一提的是，\(\varphi(e)=e^\prime\)。其中 \(e\) 是 \(G\) 的单位元，\(e^\prime\) 是 \(G^\prime\) 的单位元。
Kernel and image
给出两个重要的定义：
\(\text{homomorphism}\) 的 \(\text{kernel}\)（同态核）和 \(\text{image}\)（像）：
\[\begin{align*} \text{Ker}\varphi&=\{g\mid\varphi(g)=e^\prime\}\\ \text{Im}\varphi&=\varphi(G)=\{\varphi(g)\mid g\in G\} \end{align*} \]因为 \(\varphi(a)\varphi(b)=\varphi(ab)\)，如果 \(a\in\text{Ker}\varphi\)，那么就有
\[\varphi(a)\varphi(b)=\varphi(b)=\varphi(ab) \]根据对应关系，我们可以知道 \(|\text{Ker}\varphi||\text{Im}\varphi|=|G|\)（后面所有的 \(||\) 符号不加解释时，均表示取集合的大小）。
这一点后续将引出群同态基本定理。
Endomorphism
如果 \(G=G^\prime\)，那么这种直接映射到直接的 \(\text{homomorphism }\varphi\) 就叫 \(\text{endomorphism}\)（自同态）。
\(G\) 的所有 \(\text{endomorphism}\) 被记作 \(\text{End(G)}\)。
比如 \(\mathbb{Z}_n=\{n\cdot z\mid z\in\mathbb{Z}\}\) 就是 \((\mathbb{Z},+)\) 的子群，\(\text{homomorphism }\varphi_n:z\to n\cdot z\) 就是 \((\mathbb{Z},+)\) 的一个 \(\text{endomorphism}\)。
关注上面这个例子，我们发现，整数和整数群的 \(\text{endomorphism}\) 一一对应！那么，我们应该先知道分配律还是先知道 \(\text{endomorphism}\) 呢？
Group action
当我们想定义一种二元运算的时候，我们实际上在定义一种映射 \(\varphi:A\times B\mapsto C\)。
考虑一种特殊的运算：\(\varphi:G\times\Omega\mapsto\Omega\)。其中 \(G\) 是群，\(\Omega\) 是集合。
我们把这种运算记为 \(g\in G,s\in\Omega,g.s=s^g\in\Omega\)。（有的地方也有写成 \(g(s)\) 的）
注意我们使用的是 \(.\) 而不是一般群运算的 \(\cdot\)。而 \(s^g\) 这种写法正好可以读作 \(g\) 作用在 \(s\) 上。
竟然约定了 \(G\) 是群，我们自然希望这种运算和群保持一定的统一性。
于是我们希望有如下性质：
\[\begin{align*} &1.\forall s\in\Omega,s^e=s\\ &2.\forall s\in\Omega,g_1,g_2\in G,g_1.(g_2.s)=(g_1g_2).s \end{align*} \]\(1\) 是足够自然的，我们当然期望单位元不造成影响。
这里的 \(2\) 其实也是 \(\text{homomorphism}\) 的思想的体现，有了 \(2\)，在保证运算顺序正确的情况下，我们可以把 \(.\) 和 \(\cdot\) 都省略。于是可以这样写：\(g_1.(g_2.s)=(g_1g_2).s=g_1g_2s\)。
至此，我们就可以把 \(\Omega\) 称为一个 \(G\text{ - set}\)，\(G\) 称为一个 \(\Omega\) 上的 \(\text{group action}\)（群作用）。
常见的 \(\text{group action}\) 有左平移（\(\rho:G\times G\mapsto G,(g,x)\to gx\)）、右平移（\(\tau:G\times G\mapsto G,(g,x)\to xg^{-1}\)）、共轭（\(\pi:G\times G\mapsto G,(g,x)\to gxg^{-1}\)）。
Ring
现在回看之前的问题：乘法其实是群自同态的简写。
考虑 \(n\leftrightarrow\varphi_n\)，于是可以把 \(\varphi_n(z)\) 简写为 \(n\times z\)。
而 \(\varphi_n\in\text{End}(G)\) 其实是一个群作用 \(\varphi_n:G\times G\mapsto G\)。像 \(\mathbb{Z}\) 这样每个元素都存在通过变成一个 \(\text{group action}\) 的方式来变成一个 \(\text{endomorphism}\) 的 \(\text{morphism}\) 的群显然有优秀的性质，形式化地
\[\forall g\in G,g\leftrightarrow\varphi_g,\varphi_g\in\text{End}(G) \]我们依然可以简写 \(\varphi_g(a)=g\times a\)（聪明的同学会意识到左作用和右作用的区别，但这不太重要）。
之前说过，群作用是一种运算，于是这个代数结构上就装备了两种运算：一个是原本的群运算，一个是刚刚定义的群作用 \(\varphi_g(a)=g\times a\)。
为了和 \(\mathbb{Z}\) 的形式一致，我们用 \(+\) 表示原本的群运算。这样就得到了代数结构 \((G,+,\times)\)。
不难发现，上面定义的 \(\times\) 是分配的。这自然地引出了 \(\text{ring}\) （环）的定义：
\((R,+,\times)\) 是一个环，当且仅当：
\(1.\) \((R,+)\) 是一个群；
\(2.\) \(\times\) 存在一个单位元，且结合（注意到这就是群作用的定义）；
\(3.\) \(\times\) 对 \(+\) 分配，即 \(a\times(b+c)=a\times b+a\times c,(a+b)\times c=a\times c+b\times c\)（来自自同态的约束）。
一个书写上的问题是 \(+\) 和 \(\times\) 的单位元往往不同，于是我们一般都把它们写出来（这也是为什么单位元叫 \(\text{identical element}\) 的原因）：\(R=(R,+,\times)=(R,+,0,\times,1)\)，含义和整数上相同。
Ring homomorphism and module
一个 \(\text{ring homomorphism}\) 首先得是 \((R,+)\) 的一个 \(\text{group homomorphism}\)，其次还得维护乘法的结构，即 \(\varphi(r_1)\times\varphi(r_2)=\varphi(r_1\times r_2)\)，注意内外的 \(\times\) 含义可以不同。
这时，一种黑暗深邃的想法击中了我们，为什么不考虑 \(\text{ring endomorphism}\) 呢？
这样的结构叫 \(\text{module}\)（模）。但这里一般不交换了，在左边就叫左模，右边就叫右模。
因为这个系列暂时涉及不到 \(\text{module}\)，所以挂个链接就逃。
Group isomorphism and automorphism
\(\text{isomorphism}\) 是比 \(\text{homomorphism}\) 更强的一致，一个 \(\text{group isomorphism }\varphi\) 在是 \(\text{homomorphism}\) 的条件下还要求 \(\varphi\) 是双射。
也就是说，存在一种一一对应的方式使得 \(G\) 和 \(G^\prime\) 保持一致。
比如考虑群 \((\mathbb{Z},+)\) 和 \((\{0,1\},\text{xor})\)，可以构造 \(\varphi:\mathbb{Z}\mapsto\{0,1\},\varphi(z)=z\bmod 2\)。
当我们知道 \(3+5=8\) 时，我们就知道 \(\varphi(3)\text{ xor }\varphi(5)=\varphi(3+5)\to 1\text{ xor }1=0\)。
如果存在 \(G,G^\prime\) 间的同构，就记为 \(G\cong G^\prime\)。
特别的，如果 \(\varphi\) 使得 \(G\cong G\)，那么 \(\varphi\) 就是一个 \(\text{automorphism}\)（自同构），给一个群的所有 \(\text{automorphism}\) 构成的群一个记号 \(\text{Aut}(G)\)（一个 \(\text{automorphism}\) 可以自然地视作一个群作用，\(\text{Aut}(G)\) 上装备的运算就是群作用的复合）。
\(\text{Conjugate}\) 可以用来构造 \(\text{automorphism}\)，考虑 \(\forall a\in G,\varphi_a:G\mapsto G,\varphi_a(g)=aga^{-1}\)。
首先我们证明 \(\varphi_a\) 是一个 \(\text{homomorphism}\)：
\[\begin{align*} \varphi_a(g_1)\varphi_a(g_2)&=ag_1a^{-1}aga^{-1}\\ &=a(g_1g_2)a^{-1}\\ &=\varphi_a(g_1g_2) \end{align*} \]再证明 \(\varphi_a\) 是一个双射。
单射：
\[x\ne y,\varphi_a(x)\ne\varphi(y) \]运用消去律是显然的。
满射：
有了单射就是显然的。（因为一个原像也只有一个像）
于是就得证。
这种构造得到的 \(\text{automorphism}\) 被称为 \(\text{inner automorphism}\)（内自同构，因为是用群内部的元素构造的），构成的群被记为 \(\text{Inn}(G)\)。
最后举一个例子来说明 \(\text{isomorphism}\) 有什么意义。（之前好像忘记说了，群的阶就是群中元素的个数）
考虑 \(\text{cyclic group }G\)，
\[G\cong\begin{cases} &\mathbb{Z} & |G|=\infty\\ &\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} & |G|=n \end{cases}\]
证明是显然的。
Cayley theorem
\(|G|=n,G\cong s_n\le S_n\)
感性理解一下是显然的，学一下怎么形式化书写的。
设 \(G=\{g_1,g_2\cdots g_n\},\Gamma=\{\sigma_g| g\in G\}\)。
其中 \(\sigma_g\) 是一个 \(\text{group action}\)，满足 \(\sigma:G\times G\mapsto G,g_k^{\sigma_g}=gg_k\)，也就是用群运算作为群作用。
现在考虑 \(\Sigma_g=g.G=\{h^{\sigma_g}|h\in G\}\)，我们的思路是证明 \(\Sigma_g\) 是 \(G\) 的一个排列，再证明 \(G\cong \Gamma\cong s_n\le S_n\)。
根据群的封闭性，我们只需要证明 \(\sigma_g\) 是一个双射，然后这个群作用显然有逆，于是就是双射。至此也就证明了 \(\Sigma_g\) 是 \(G\) 的一个排列。
接下来证明 \(G\cong\Gamma\)，考虑 \(\varphi:G\mapsto\Gamma,g\to \Sigma_g\)，这个显然是同构。
最后我们使用名为 \(\text{relabeling}\) 的技巧，把 \(g_k\) 改写为 \(k\)，就证完了233。和感性理解好像没有什么区别。
标签：mathbb,Group,Theory,cdot,text,varphi,times,forall From： https://www.cnblogs.com/efX-bk/p/18414331/group_theory_I