原根学习笔记原根这是一个又臭又长的内容。拉格朗日定理：设\(p\)为素数，对于模\(p\)意义下的整系数多项式\[f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0(p\nmida_n)\]的同余方程\(f(x)\equiv0\pmodp\)在模\(p\)意义下至多有\(n\)个不同解。证明：使用归纳法，对于\(n=

七、(10分) 设$V$是$n$阶实矩阵全体构成的实线性空间, $A$是$n$阶正定实对称阵.对任意的$X,Y\inV$,定义二元函数$(X,Y)=\mathrm{tr}(XAY')$.(1)求证:$(-,-)$是$V$上的一个内积.(2)在上述内积下,$V$成为一个欧氏空间. 设$P,Q\inV$,$V$上的线性算子$

欧拉函数欧拉函数（写作\(\varphi(x)\)），表示\(i\in[1,x]且\gcd(i,x)=1\)的\(i\)的数量。乍一看好像很难求，但我们先考虑最简单的情况，即\(x\in\mathbb{P}\)（\(\mathbb{P}\)表示质数集）的情况。首先很容易看出\(\varphi(x)=x-1\)，因为\(x\in\mathbb{P}\)，所以\(\foralli

CahnHilliard方程,相场因为最近在学习用有限元求解CahnHilliard方程内容，所以我把我的汇报内容放在这里，希望可以和大家一起学习，交流。因为我实在是懒得翻译，就放的英文版，但是英语都不多，我的英语水平也有限。如果有什么问题的话，也希望大家可以提供给我建议。目标方程

0.更新upd2023.5.18更新了狄利克雷卷积新的一个性质，更新了常用结论的证明1.正文这玩意儿是这么说的：定义一个运算：$*$为狄利克雷卷积。他是干啥的呢？把两个数论函数进行一个运算。\[h(n)=(f*g)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})\]当\(f,g\)都是积性函数时，他们的狄利

文章目录二元分布满足要求边际分布条件概率例子1例子2二元分布满足要求连续情况下，φ(x,y

题意：给定\(k\)，求一个最小的\(n\)使得有恰好\(k\)个\(i\in[1,n]\)，满足对于所有\(j\in[1,n]\)，都有\(x\)满足\(ix=j\modn\)并且\(ix\len^2\)​。里面所有数都是正整数。Sol：我们考虑\(\gcd(x,n)>1\)的\(x\)。因为\(\gcd(x,n)>1\)，所以\(\operatorname{lcm}(x,n

前提情要：博主写这篇博客仅仅是为了加深对知识点的印象，如果读者仅仅是为了了解抽代学习内容的话建议出门左拐魏老师的https://www.cnblogs.com/alex-wei/p/18194469/Abstract_Algebra_Ring_Theory，因为本博客在创作过程中很大程度上借鉴了那篇博客。1.环1.1环的基本定义（chapte

引入在数学和抽象代数中，群论（GroupTheory）主要研究叫做「群」的代数结构。定义在数学中，群（group）是由一种集合以及一个二元运算所组成的，符合「群公理」的代数结构。一个群是一个集合\(G\)加上对\(G\)的二元运算。二元运算用\(\cdot\)表示，它结合了任意两个元素\(a\)和\(b

RingTheory4.8Definition:Aring\(R\)isasettogetherwithtwobinaryoperationtogetherwith"\(+\)"and"\(\times\)",obeying:\((R,+)\)isanAbeliangroup.\(\times\)isassociative:\((a\timesb)\timesc=a\ti

欧拉函数\(\varphi\)的定义，\(\varphi(i)\)表示从\([1,i]\)之间和\(i\)互质的数的数量（\(a\)和\(b\)互质即\(\gcd(a,b)=1\)）。欧拉函数是积性函数，例如\(a,b\)都为质数，那么\(φ(ab)=φ(a)\timesφ(b)\)，递推式为\[φ(ab)=\frac{φ(a)\timesφ(b)\times

莫比乌斯反演速通前言由于请假错过了讲课，所以莫反是我第一个需要自学的难度不小的数学知识。自学的过程的狼狈的，旁边也曾是自学的czn告诉我如果学会“狄利克雷卷积”就可以对“莫比乌斯反演”的理解进行“降维打击”。他还十分热心地带着我速通了一遍狄卷与莫反。一知半解，就

一、欧拉函数定义\([1,n]\)中与\(n\)互质的数的个数，称为欧拉函数，记为\(\varphi(n)\)。互质的定义：对于正整数\(a\)和\(b\)，若\(gcd(a,b)=1\)，则\(a\)和\(b\)互质。性质若\(p\)是质数，则\(\varphi(p)=p-1\)。证：因为\(p\)是质数，所以因数只有\(1\)和\(p\)。

7数论函数基础数论函数是数论中相当重要的一环，我们先来将一些基本的函数。7.1相关定义数论函数：定义域为正整数的函数称为数论函数。因其在所有正整数处均有定义，故可视作数列。OI中常见的数论函数的陪域（即可能的取值范围）为整数。加性函数：若对于任意\(a,b\in\mathbb

12奇妙筛法已开工。12.1杜教筛12.2Min-25筛Min_25筛可以在\(\mathcalO\left(\frac{n^{\frac34}}{\logn}\right)\)的时间复杂度内解决一类积性函数前缀和问题。说形象点就是\(1s\)能跑\(10^{10}\)，相当优秀。要求：\(f(p)\)是关于\(p\)的低阶多项式，

同步发表前言因为\(2025\)届暑假的时候tad疯狂的在讲课，而且用了很多高端的东西和证明导致我在暑假的时候数论板块几乎没有听懂，所以我决定写下这篇文章不让当时的悲剧重演。本篇文章都只讲结论，因为证明分复杂而且没有什么用，在暑假记住结论就好了，至于证明的坑后面会填。欧拉

欧拉函数欧拉函数（写作\(\varphi(x)\)），表示\(i\in[1,x]且\gcd(i,x)=1\)的\(i\)的数量。乍一看好像很难求，但我们先考虑最简单的情况，即\(x\in\mathbb{P}\)（\(\mathbb{P}\)表示质数集）的情况。首先很容易看出\(\varphi(x)=x-1\)，因为\(x\in\mathbb{P}\)，所以\(\foralli

eduction\[\begin{align}假设:F(u)是以x为自变量的复合函数\\\quadF^{\prime}(u)=f(u)\\\text{设:}u=\varphi(x)\\\Rightarrow\intf(u)dx=F^{\prime}(u)+C,\quad(式0.0.0)\\\\根据链式法则:\\F^{\prime}(u)=F^{\prime}(u)\cdot(u)^{\pr

阶与原根阶若正整数\(m,\a\)，满足\((a,m)=1\)，则使\(a^n\equiv1\pmodm\)的最小正整数\(n\)称为\(a\)模\(m\)的阶，记作\(\delta_m(a)\)。\(\delta_7(1)=1,\\delta_7(2)=3,\\delta_7(3)=6\)。原根若\(\delta_m(a)=\varphi(m)\)，则称\(a\)

1欧拉函数的定义和性质欧拉函数定义：\(\varphi(n)\)定义为不超过\(n\)且与\(n\)互质的正整数的个数。\[\varphi(n)=\sum\limits_{i=1}^n[gcd(n,i)=1]\]例如，\(n=4\)时，有\(1,3\)与\(4\)互质，因此\(\varphi(4)=2\)；\(n=9\)时，有\(1,2,4,5,7,8\)与\(9\)互质，因此\(\v

书接上回...我们知道，我们在使用FFT时，靠的是单位根\(\omega\)。数学家证明这是复数域中唯一符合条件的数。可是它的浮点误差和带来的巨大运算时间使我们有点不能接受。于是，我们想想能不能找个替代品替代掉\(\omega\)。于是，原根就出现了！原根的引入阶对于一个数\(x\)，在

C.最大公约数求\(\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{n}{gcd(i,n)}\)。先考虑用欧拉函数解决。考虑枚举\(d=\gcd(i,n)\)的取值。式子变成\(\sum\limits_{d\midn}\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(i,n)=d]\cdot\dfrac{n}{d}\)。对于\(\gcd(a,b)=d\)，有\(\gcd(\frac{a}{d},\frac{b}{d})=1

欧拉函数\(\varphi(x)\)表示求出\(1\ley\lex,\gcd(x,y)=1\)的\(y\)的数量。对于一个质数\(p\),\(\varphi(p)=p-1\)\(\varphi(p^2)=p^2-\frac{p^2}{p}=p^2-p\)\(\dots\)\(\varphi(p^i)=p^i-p^{i-1}=(p-1)\cdotp^{i-1}\)

2024.4.29【锦水汤汤，与君长诀！】Monday三月二十一数论专题同余oi.wiki!除法定理对于任何整数a,和正整数m，存在唯一整数q，r，使得满足\(0\ler<m,a=qm+r\)其中$$q=\lfloor\frac{a}{m}\rfloor$$为商，\(r=a\mod\m\)为余数余数将amodm记作余数同余如果\(a\mo

谨以此文，悼念我炸裂的危寄分欸二期中考试。下次不仅要带一个脑子做题，还得带一个脑子盯着它做题，不然第一个脑子容易跑偏刹不住车。得去黑市看一眼最近脑子市价如何，如果太贵还得卖点东西凑一凑。1.群1.1群的定义群，是一个由一个集合\(G\)和一种\(G\)上的二元运算\(\times\)