一些必要trick推式子，先提\(\sum\)和\(\Pi\)到最前面，然后从后往前合并，必要时考虑更改\(\sum\)的取值看到次方变为斯特林数，\(x^n=\sum\limits_{i=0}^{n}{n\bracei}{x\choosei}i!=\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{i=1}^m{(-1)^{m-i}\frac{i^n}{(m-i)!}}{x\choose

有些比较浅显易懂的就偷懒没写了。数论-质数欧拉筛线性筛数论-因数倍数（upd：25/1/20）\(a,b\)最大公因数记为\(\gcd(a,b)\)，无歧义时可记为\((a,b)\)。\(a,b\)最小公倍数记为\(\text{lcm}(a,b)\)，无歧义时可记为\([a,b]\)。\(a\)是\(b\)的倍数\(=\)\(b\)是\(a\)的

1阶1.1定义由欧拉定理可知，对于\(a\in\mathbb{Z},m\in\mathbb{N}^+\)，如果\(\gcd(a,m)=1\)，则\(a^{\varphi(m)}\equiv1\pmodm\)。因此满足同余式\(a^n\equiv1\pmodm\)的最小正整数\(n\)存在，这个\(n\)就被称为\(a\)模\(m\)的阶，记作\(\delta_m(a)\)。1.2性质

引言：由于dsfz的集训老师讲的跟**一样太快了，蒟蒻前去听了洛谷网校@disangan233大佬的讲解，在此重构线性筛Euler函数的证明及代码。关于Euler函数\(Euler\)函数，同时被称为欧拉函数，定义：\(\varphi(n)\)表示\(\len\)且与\(n\)互质的数的个数我们规定：\(\varphi(1)=1\)Eu

没错，本文的一切还是为了它——\(\varphi\)。欧拉定理内容若\(a,n\)互质，则有\(a^{\varphi(n)}\equiv1\pmodn\)。证明设小于\(n\)且与\(n\)互质的自然数集合（即\(n\)的剩余系）为：\(X:x_1,x_2,x_3,\dots,x_{\varphi(n)},P:p_1=a\timesx_1,p_2=a\timesx_2,\dots,p_

学原根发现拔山盖世算法忘光了，干脆一块儿写了吧。\(BSGS\)算法\(BSGS\)算法，又名拔山盖世算法、北上广深算法。他解决的问题如下：求解最小的可行的\(k\)，满足\(a^k\equivb(\bmodp)\)，其中保证\(\gcd(a,p)=1\)。容易想到暴力枚举，时间复杂度\(O(p)\)，但是巨劣，考虑优化。

数论函数及定理积性函数附OIWiki链接。定义对于函数\(f(x)\)，满足\(f(1)=1\)且\(\forall\gcd(a,b)=1,f(ab)=f(a)f(b)\)。则\(f(x)\)是积性函数。如果对所有\(a,b\)都成立，\(f(x)\)就是完全积性函数。例子欧拉函数\(\varphi(x)\)是积性函数。欧拉函数定义

可能是不知道什么学习笔记捏阶使得\(a^x\equiv1\pmodm\)的最小正整数\(x\)被称为\(a\)模\(m\)的阶，记作\(\delta_m(a)\)。由欧拉定理可知，\(a\perpm\)是\(\delta_m(a)\)存在的充要条件。证明充分性：若\(a\perpm\)，根据欧拉定理，\(x=\varphi(m)\)就是一个解，所以

提示：代码还没写（但感觉不难写）。抄一下https://www.luogu.com.cn/article/n32presk，写的非常好。下面是要把问题转化为一个群论问题。定义拓扑空间：全集\(X\)和它的一个子集族\(T\)，使得\(\varnothing,X\inT\)，且任意有限个元素的交在\(T\)中，任意元素（不要求有限或可数）的并在

数学。数学。串串。A\(\varphi(n)=n\cdot\prod\frac{p_i-1}{p_i}\)。又因为每次迭代的\(k\)不变，所以最终答案的质因子只有初始\(n,k\)可达的质因子。知周所众，\(\varphi\)函数迭代是\(O(\logn)\)次降为\(1\)的。所以\(n\)造成的影响在\(O(\logn)\)次之后

七、(10分) 设$V$是数域$\mathbb{K}$上的$n$维线性空间,$\varphi,\psi$是$V$上的幂等线性变换, 满足$\varphi\psi=\psi$且$\mathrm{Ker}\varphi$是$\psi$-不变子空间.证明:(1)$\mathrm{r}(\psi)\leq\mathrm{r}(\varphi)$;(2)若$\mathrm{r}(\psi)=\mathrm{

现在是1月5日，八点零二分。高等线性代数，一章没看。明天早九考试，何如？行列式\(|A|\)为行列式，\(M_{i,j}\)为余子式，\(A_{i,j}\)为代数余子式，有\((-1)^{i+j}\)可按照任意行或列展开：\(|A|=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{r,i}A_{r,i}\)行列式的组合定义：\(|A|=\sum_P(-1)^{\tau(P

Let\(G=\{(a,b)\mida,b\in\mathbbR,~a\neq0\}\)with\((a,b)(c,d)=(ac,ad+b)\)beagroup,\(K=\{(1,b)\midb\in\mathbbR\}\).Showthat\(G/K\cong\mathbbR^*\).Proof:Let\[\begin{aligned}\varphi:\quadG&\to\mathbbR^*\\

Findoutallpossiblehomomorphismfrom\(\mathbbZ_7\to\mathbbZ_{12}\).Solution:Let\(\varphi\)besuchahomomorphism.Since\(\mathbbZ_7\)isacyclicgroup,so\(\varphi\)isspecifiedby\(\varphi(\bar1)\).Since\(o(\bar1)=7

数论四大定理：包括威尔逊定理、欧拉定理、孙子定理（中国剩余定理）、费马小定理同余同余：对于任意整数a，b，对指定的整数m(m>1)进行整除，若余数相同，则称a和b模m同余，记作\(a\equivb(mod\quadm)\)例如：\(3\equiv10(mod\quad7)\)通过整数m对任意整数进行分类，同余（模m）为一类，即剩余类

一线性筛主要讲下思想，埃氏筛法就是用所有质数标记所有倍数，这样的时间复杂度是\(O(n\logn\logn)\)，有两只\(\log\)。可是我不想要\(\log\)，于是欧拉筛：改进：存下质数表。对于每一个数，只标记自己与不超过自己最小质因子的数的乘积，对于质数表\(2,3,5\)，循环到\(i=6\)时，只筛去\(

1.CW信号  CW可以叫做等幅电报，它通过电键控制发信机产生短信号"."（点）和长信号"--"（划），并利用其不同组合表示不同的字符，从而组成单词和句子。  CW信号可以看作一种幅度调制信号，类似于幅移键控（2ASK信号）其携带的信息保存在其幅度中，通过改变载波的幅度来实现基带数据的传输。其函

这个系列用于记录学习省选知识点的过程中做题的笔记，系列名就是这样因为省选的知识点真的是又多又杂，题单也是又难又长，不排除同时多个题单一起开工的情况，所以如果这一部分完成了就是[done]的前缀，做中就是[working]可能会跳过一些lxl题2024.12.15基本完成，剩下一些零散知识

【每日一题】已知复数\(z\)在复平面内对应的点位于第四象限，且满足\(|z|=\sqrt{3}\)，\(|z^2+2z-3|=2\sqrt{6}\)，则\(z=\)________.已知函数\(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi)(A>0,0<\varphi<2\pi)\)的部分图象如图所示，则下列命题正确的为_________（写出所有正确命题的编号）．①.

我们知道，扩展欧拉定理的内容如下：\[a^b\equiv\begin{cases}a^b&b<\varphi(m)\\a^{(b\bmod\varphi(m)+\varphi(m))}&b\ge\varphi(m)\end{cases}\pmodm\]但是又有多少人会它的证明呢？也许大佬们一看到就会证了，但是我刚刚才会，不得不说oi-wiki上的证明是真屎。首先第一种情况

定义1有理映射设\(X\subseteq\mathbb{A}^n,Y\subseteq\mathbb{A}^m\)都是仿射代数簇，一个有理“映射”\(\psi:X\dashrightarrowY\),由\(\psi_1,\cdots,\psi_m\inK(X)\)给出，定义域\(Dom(\psi)=\bigcap_{i=1}^mDom(\psi_i)\not={\varnothing}\)(这是由于非空开集的稠

更新日志2024/12/04：添加线性筛法求欧拉函数完整证明以及模板前言一些话以及借鉴感谢[点击展开]从这里开始重写（学）数论，从头开始，就不搬运原博客了。欧拉函数部分借鉴这一篇博客，线性筛算法证明借鉴这一篇博客，在此一并感谢。线性筛法模板改自原博客，感觉当初的证明很神秘，使用

1.DSB调制过程​ DSB信号是一种双边带调幅调制信号，又叫双边带调幅，通过改变载波的振幅来实现基带数据的传输。其函数表达式如下：\[s(t)=m(t)*cos(2\pift+\varphi)\]其中：m(t):表示基带信号。\(cos(2\pift+\varphi)\):表示载波信号。2.DSB的数字正交解调​ 以下介

喵喵喵~众所周知：$a^b\equiv\begin{cases}a^b&b<\varphi(m)\a^{b\bmod\varphi(m)+\varphi(m)}&b\ge\varphi(m)\end{cases}\pmodm$。同时，当$n>2$时，有$2\mid\varphi(n)$以及$\varphi(2kn)=2\varphi(n)\le\dfrac{\varphi(n)}2(2\nmidn)$。