复旦大学2024--2025学年第一学期（24级）高等代数I期末考试第七大题解答

七、(10分)  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上的幂等线性变换, 满足 $\varphi\psi=\psi$ 且 $\mathrm{Ker}\varphi$ 是 $\psi$-不变子空间. 证明:

(1) $\mathrm{r}(\psi)\leq\mathrm{r}(\varphi)$;

(2) 若 $\mathrm{r}(\psi)=\mathrm{r}(\varphi)$, 则 $\psi=\varphi$.

评注  本题是一道中等难度的证明题, 下面将给出若干种不同的证明, 它们串联起了像空间、核空间以及幂等变换的诸多重要性质. 最后, 我们还将给出本题的一些推广.

(1) 我们给出两种不同的证法.

证法一  任取 $\alpha\in V$, 有 $\psi(\alpha)=\varphi\psi(\alpha)\in\mathrm{Im}\varphi$, 故 $\mathrm{Im}\psi\subseteq\mathrm{Im}\varphi$, 取维数后即得 $\mathrm{r}(\psi)\leq\mathrm{r}(\varphi)$.

证法二  任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi$, 由 $\mathrm{Ker}\varphi$ 是 $\psi$-不变子空间可得 $\psi(\alpha)\in\mathrm{Ker}\varphi$, 于是 $\psi(\alpha)=\varphi(\psi(\alpha))=0$, 即有 $\alpha\in\mathrm{Ker}\psi$. 因此 $\mathrm{Ker}\varphi\subseteq\mathrm{Ker}\psi$, 取维数可得 $n-\mathrm{r}(\varphi)\leq n-\mathrm{r}(\psi)$, 于是 $\mathrm{r}(\psi)\leq\mathrm{r}(\varphi)$.

(2) 我们给出四种不同的证法 (注意代数与几何之间的转化只算一种证法).

证法一  由 (1) 以及 $\mathrm{r}(\psi)=\mathrm{r}(\varphi)$ 可得 $\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$. 注意到 $\psi$ 是幂等变换, 故由高代白皮书例 4.54 可知 $V=\mathrm{Im}\psi\oplus\mathrm{Ker}\psi$. 任取 $\psi(\alpha)\in\mathrm{Im}\psi$, 则 $\varphi(\psi(\alpha))=\psi(\alpha)=\psi(\psi(\alpha))$, 即 $\psi,\varphi$ 在 $\mathrm{Im}\psi$ 上相等; 任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$, 则 $\varphi(\alpha)=0=\psi(\alpha)$, 即 $\psi,\varphi$ 在 $\mathrm{Ker}\psi$ 上相等. 因此 $\varphi,\psi$ 在两个直和分量 $\mathrm{Im}\psi,\mathrm{Ker}\psi$ 上分别相等, 由高代白皮书例 4.2 即得 $\varphi=\psi$.

证法二  由 (1) 以及 $\mathrm{r}(\psi)=\mathrm{r}(\varphi)$ 可得 $\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$. 注意到 $\psi$ 是幂等变换, 故由高代白皮书例 4.54 可知, 存在 $V$ 的一组基 $\{e_1,\cdots,e_r,e_{r+1},\cdots,e_n\}$, 使得 $\psi$ 在这组基下的表示阵为 $\mathrm{diag}\{I_r,O\}$, 即有 $\psi(e_i)=e_i\,(1\leq i\leq r)$, $\psi(e_j)=0\,(r+1\leq j\leq n)$, 于是 $e_j\in\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$, 从而 $\varphi(e_j)=0\,(r+1\leq j\leq n)$. 因此, $\varphi(e_i)=\varphi(\psi(e_i))=\psi(e_i)\,(1\leq i\leq r)$, $\varphi(e_j)=\psi(e_j)=0\,(r+1\leq j\leq n)$, 由线性扩张定理 (高代白皮书例 4.1) 即得 $\varphi=\psi$.

证法三  由 (1) 以及 $\mathrm{r}(\psi)=\mathrm{r}(\varphi)$ 可得 $\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$. 任取 $\alpha\in V$, 则由 $\psi$ 是幂等变换可知 $\psi(I_V-\psi)(\alpha)=0$, 于是 $(I_V-\psi)(\alpha)\in\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$, 从而 $\varphi(I_V-\psi)(\alpha)=0$, 即有 $\varphi(\alpha)=\varphi\psi(\alpha)=\psi(\alpha)$, 因此 $\varphi=\psi$.

证法四  由 (1) 以及 $\mathrm{r}(\psi)=\mathrm{r}(\varphi)$ 可得 $\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$. 由高代白皮书例 4.27 可知, 存在 $V$ 上的自同构 $\xi$, 使得 $\varphi=\xi\psi$, 于是 $\psi=\varphi\psi=\xi\psi^2=\xi\psi=\varphi$.  $\Box$

注意到在 (2) 的四种证法中, 并没有用到“$\varphi$ 是幂等变换”这个条件. 因此, 我们可以得到原题的第一个推广:

推广 1  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $\psi^2=\psi$, $\varphi\psi=\psi$ 且 $\mathrm{Ker}\varphi$ 是 $\psi$-不变子空间. 证明:

(1) $\mathrm{r}(\psi)\leq\mathrm{r}(\varphi)$;

(2) 若 $\mathrm{r}(\psi)=\mathrm{r}(\varphi)$, 则 $\psi=\varphi$.

注意到在 (2) 的四种证法中, 还可以得到结论 $\mathrm{Im}\psi=\mathrm{Im}\varphi$. 因此, 若 $\varphi,\psi$ 都是幂等变换, 则利用高代白皮书例 4.57 (1) 还能给出原题的其他证法, 这里不再赘述. 下面给出原题的第二个推广:

推广 2  设 $V$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上的幂等线性变换, 满足 $\varphi\psi=\psi$ 且 $\mathrm{Ker}\varphi$ 是 $\psi$-不变子空间. 证明:

(1) $\mathrm{r}(\psi)\leq\mathrm{r}(\varphi)$;

(2) 存在 $V$ 的一组基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$, 使得

$$\varphi(e_i)=e_i\,(1\leq i\leq\mathrm{r}(\varphi)),\,\,\varphi(e_j)=0\,(\mathrm{r}(\varphi)<j\leq n);$$

$$\psi(e_i)=e_i\,(1\leq i\leq\mathrm{r}(\psi)),\,\,\psi(e_j)=0\,(\mathrm{r}(\psi)<j\leq n).$$

我们把推论 2 的证明留给读者完成.