6.矩阵的行列式-代数余子式6.1余子式和代数余子式设存在n阶行列式\(|A|\)，并存在\(|A|\)中的元素\(a_{ij}\)则\(|A|\)中，除去元素\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列所有元素后，剩下元素所形成的行列式称为\(a_{ij}\)的\(余子式\)，记为\(M_{ij}\)且存在\(A_{ij}=(-1)^{i+j}\cd

5.矩阵的行列式-相关性质若存在行列式：\[|A|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&...&a_{3n}\\&&......\\a_{n1}&

3.矩阵的行列式3.1二阶行列式定义：\[形如\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}的式子为二阶行列式，其中\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\]应用：设存在以下二元线性方程组：\[\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2

行列式行列式的定义1.n级排列，逆序，逆序数（决定奇偶性），对换2.（1）排列经过对换后，奇偶性改变（2）n个数有n!种排列，奇偶排列各一半3.n阶行列式\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\

本文部分内容来自《高等代数》。行列式定义对于一个\(n\)阶行列式\[A_{n\timesn}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_

1.[ARC173F]SelectandSplit分裂这个过程感觉很不自然，考虑倒过来做合并。经过简单的观察，可以发现一个集合的属性只和在\([1,A]\)内的元素个数和\([A+1,A+B]\)内的元素个数有关，分别设其为\(a_i,b_i\)。合并两个点的方案数是\(a_ib_j+a_jb_i\)。合并两个集合\(S,T\)的

MyBlogs[ARC173F]SelectandSplit在Kevin题解的基础上解释了一下。分裂这个过程感觉很不自然，考虑倒过来做合并。经过简单的观察，可以发现一个集合的属性只和在\([1,A]\)内的元素个数和\([A+1,A+B]\)内的元素个数有关，分别设其为\(a_i,b_i\)。合并两个点的方案数是\(a

2.N阶行列式数域K\textbf{K}K上的二元方程组{

风尘不能蒙蔽玫瑰花园的风采，乌云倒影也不会改变黑的清澈——简媜射影几何前置模组我们首先在原版高中数学中加一些模组：定义理想实数集$\overline{\mathbbR}=\mathbbR\cup{\infty}$切点弦如上图，TR就是圆的一个切点弦根据三角形射影定理可以知道\(|OT|^2=|OF|\cd

三点定圆已知三个不在同一直线上的点\((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\)。请确定过此三点的圆的圆心。设圆心为\((x,y)\)，半径为\(r\)，则圆的方程为\[(x_i-x)^2+(y_i-y)^2=r^2\]展开得到\[x_i^2-2x_ix+x^2+y_i^2-2y_iy+y^2=r^2\]我们并不需要现在得知\(r\)的具体值

定义行列式（Determinant）是对\(n\)阶方阵\(A\)定义的，是一个标量。\(A\)的\(n\)阶行列式\(\operatorname{det}(A)\)或\(|A|\)定义如下：\[\operatorname{det}(A)=\sum_p(-1)^{\operatorname{sgn}(p)}\prod_{i}A[i][p_i]\]这里将排列的奇偶性定义为了\(\operatorname{sgn

行列式基础概念\(n\)阶行列式\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\\\end{vmatrix}\]完全展开式$\sum_{

目录常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程例题常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程对于一阶非齐次线性微分方程\[y'+p(x)y=q(x)\]先用分离变量法求解对应的齐次方程\[\begin{aligned}&y'+p(x)y=0\\\Rightarrow&y=Ce

前置知识\(\sum\)为累加符号，\(\prod\)为累乘符号。上三角矩阵指只有对角线及其右上方有数值其余都是\(0\)的矩阵。如果一个矩阵的对角线全部为\(1\)那么这个矩阵为单位矩阵记作\(I\)。对于矩阵\(A_{n,m}\)和矩阵\(B_{m,n}\)满足\(A_{i,j}=B_{j,i}\)记作\(A=B^T

LGV引理行列式引出来的有趣的东西，是与图论的交界处。LGV引理大致内容为：对于一张有向无环图，每条边上都有一个权值\(w(e)\)，记\(weight(P)\)表示路径\(P\)上所有边的权值乘积，对于一个起点组成的集合\(A\)和终点组成的集合\(B\)，满足\(|A|=|B|\)，记\(e(i,j)\)表示所有\(

线性代数基础煎蛋的东西不再赘述。\(n\)个向量，若存在向量能被其他向量线性表示，则称这些向量线性相关，否则线性无关。矩阵的行秩，将矩阵看成若干个行向量，从这些向量中选取尽可能多的向量满足这些向量线性无关，选取的个数\(k\)即为矩阵的秩。矩阵的列秩同理，一般来说，矩阵的秩默认

LGV引理行列式引出来的有趣的东西，是与图论的交界处。LGV引理大致内容为：对于一张有向无环图，每条边上都有一个权值\(w(e)\)，记\(weight(P)\)表示路径\(P\)上所有边的权值乘积，对于一个起点组成的集合\(A\)和终点组成的集合\(B\)，满足\(|A|=|B|\)，记\(e(i,j)\)表示所有\(

[T050101]设\(A\)为\(n\timesn\)常数矩阵,\(\Phi(t)\)是方程组\(X'=AX\)的标准基解矩阵\((\Phi(0)=E)\),证明\(\Phi(t)\Phi^{-1}(t_0)=\Phi(t-t_0)\),其中\(t_0\)是常数.    证由题设可知\(\Phi'(t)=A\Phi(t)\),将\(t\)换为\(t-t_0\),则\(\Phi

不会线性代数。行列式定义对一个\(n\timesn\)的矩阵\(A\)，其\(n\)阶行列式写作\(\mathrm{det}(A)\)或\(|A|\)，定义为\[\mathrm{det}(A)=|A|=\sum_{p}(-1)^{\tau(p)}\prod_{i=1}^{n}a_{i,p_i}\]所有的\(p\)形成\(1\)到\(n\)的全排列，\(\tau(p)\)表示排列\(p\)

实际上，这是两个向量的叉积已经是其他题解说烂了的。这里只是给出一个容易记忆\(dim\le3\)的行列式的值的办法。我们以\(3\)维行列式为例子，假设为\[\begin{vmatrix}a&b&c\\i&j&k\\o&p&q\end{vmatrix}\]我们有一个神奇的方法来记忆这个行列式的求值。首

\[点不等于：\quad(c+d)\cdot2\neq1\tag{01}\]\[恒等于取模：\quad1\equiv1\quad5\bmod2\equiv1\tag{02}\]\[公式：\quadf(x)=x+1\tag{03}\]\[上下标：\quadg^2(x)=x_1^2+2\tag{04}\]\[根号分式：\quad\sqrt{2}+\sqrt{x^{\frac{x}{

目录仿射坐标系不共面向量基向量仿射标架（仿射坐标系）直角标架（直角坐标系）向量共线（共面）两向量共线三向量共面应用仿射标架下的三点共线条件线段的定比分点空间直线和平面仿射坐标系中的平面两平面的位置关系三平面交于一点参考仿射坐标系不共面向量定理1空间中任意给定三个不共

目录向量的外积定义几何意义外积的运算规律计算向量的外积外积的坐标计算外积的坐标表示向量的混合积定义几何意义常用性质计算向量的混合积混合积的坐标计算三向量（或四点）共面条件参考向量的外积定义定义12个向量\(\bm{a},\bm{b}\)的外积（记作\(\bm{a}\times\bm{b}\)）仍然是一