风尘不能蒙蔽玫瑰花园的风采，乌云倒影也不会改变黑的清澈——简媜

射影几何

前置模组

我们首先在原版高中数学中加一些模组：

1. 定义理想实数集 $\overline{\mathbb R} = \mathbb R \cup {\infty} $
2. 切点弦

如上图，TR就是圆的一个切点弦

根据三角形射影定理可以知道\(|OT|^2 =|OF|\cdot|OP|\)

根据圆幂定理可以知道\(|OA|\cdot |OP| =|TP|^2 = |OP|^2-|OT|^2\) 等等

3. 行列式

   \(\begin{vmatrix} a & b\\ c&d \end{vmatrix}=ad-bc\)

\(\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{vmatrix}=a\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}-b\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}\)

4. 叉乘

   \(\vec a \times \vec b = |\vec a|\cdot|\vec b|\sin {<\vec a,\vec b>}\)

望向无穷远

无穷远点会，不写了

曲线系

对于给定两直线$L_1 =0 ,L_2=0 $ ,

我们观察一下方程 \(\lambda L_1 +\mu L_2 = 0\) 表达什么含义

首先当其中一个参数为0的时候，很显然这个方程表示其中一条直线，

当两个参数都不为零的时候，我们发现方程的唯一一对解\((x_0,y_0)\) 恰好是\(L_1 ,L_2\)的交点

因此我们可以发现，这样的方程好像是把两条直线当成两个“基底”来表示过交点的所有直线，

这样的线性组合方式似乎对应着对两条直线取 交集

值得一提的是，为了方便我们经常把一个式子中某一项前面的参数归一，从而减少参数数量，但是这样就要注意只有在无穷大情况才能表示这一项(后面有例子)

对于所谓的斜截式，实际上就是\(k(x-0) -(y-0)=0\) 只有当\(k=\infty\) 才能表示\(y=0\)

对于所谓的点斜式，实际上就是\(k(x-x_0) -(y-y_0)=0\) 只有当\(k=\infty\) 才能表示\(y=y_0\)

对于所谓的两点式，实际上就是\(\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}(x-x_2) -(y-y_2)=0\)

如果我们把两条直线的方程直接相乘，也就是\(L_1 L_2 =0\),就表示一条 二次曲线 原因的话之后再揭晓吧。

不过你应该能感受到这样的操作相当于对两条直线取 并集

下面我们看一些这样的混合运算

$C_2 = \lambda C_1 +\mu L_1 L_2 $ 表示过两条直线和另一曲线\(C_1\) 4个交点的二次曲线

$C = \lambda L_1 L_2 + \mu L_3 L_4 $ 表示过两对直线交于的四点的二次曲线

设\(L_1,L_4,L_3\) 共点，$C=\lambda L_1L_3+\mu L_2L_4 $ 表示过两对直线交于的三点，且与\(L_4\) 相切的二次曲线