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一、整式
1. 同底数幂的乘法
公式： a m ∗ a n = a m + n a^m * a^n = a^{m+n} am∗an=am+n
例：
a
3
∗
a
2
=
a
3
+
2
=
a
5
a^3 * a^2 = a^{3+2}=a^5
a3∗a2=a3+2=a5
2. 幂的乘方
公式： ( a m ) n = a m ∗ n (a^m)^n= a^{m*n} (am)n=am∗n
例：
(
a
2
)
6
=
a
2
∗
6
=
a
12
(a^2)^6= a^{2*6}=a^{12}
(a2)6=a2∗6=a12
3. 积的乘方
公式： ( a b ) n = a n ∗ b n = a n b n (ab)^n=a^n * b^n = a^nb^n (ab)n=an∗bn=anbn
例：
(
a
b
)
5
=
a
5
∗
b
5
=
a
5
b
5
(ab)^5=a^5 * b^5 = a^5b^5
(ab)5=a5∗b5=a5b5
4. 乘法分配律
公式： a ∗ ( b + c ) = a b + a c a*(b+c)=ab+ac a∗(b+c)=ab+ac
例：
2
x
∗
(
3
x
+
y
)
=
2
x
∗
3
x
+
2
x
∗
y
=
6
x
2
+
2
x
y
2x*(3x+y) = 2x*3x + 2x * y = 6x^2+2xy
2x∗(3x+y)=2x∗3x+2x∗y=6x2+2xy
5. 同底数幂的除法
公式： a m ÷ a n = a m − n a^m \div a^n = a^{m-n} am÷an=am−n
例：
6
a
4
b
2
c
÷
2
a
2
b
=
3
a
4
−
2
b
2
−
1
c
1
−
0
=
3
a
2
b
c
6a^4b^2c \div 2a^2b = 3a^{4-2}b^{2-1}c^{1-0}=3a^2bc
6a4b2c÷2a2b=3a4−2b2−1c1−0=3a2bc
二、分式
1. 分式的乘法
公式： b a ∗ d c = b ∗ d a ∗ c \frac ba * \frac dc = \frac {b * d}{a * c} ab∗cd=a∗cb∗d
例：
1
3
∗
2
3
=
1
∗
2
3
∗
3
=
2
9
\frac 13 * \frac 23 = \frac {1 * 2}{3 * 3}=\frac 29
31∗32=3∗31∗2=92
2. 分式的除法
公式： b a ÷ d c = b a ∗ c d \frac ba \div \frac dc = \frac ba * \frac cd ab÷cd=ab∗dc
例：
1
3
÷
2
3
=
1
3
∗
3
2
=
3
6
=
1
2
\frac 13 \div \frac 23 = \frac 13 * \frac 32 =\frac 36 = \frac 12
31÷32=31∗23=63=21
3. 分式的乘方
公式： ( b a ) n = b n a n (\frac ba)^n = \frac {b^n}{a^n} (ab)n=anbn
例：
(
2
3
)
2
=
2
2
3
2
=
4
9
(\frac 23)^2 = \frac {2^2}{3^2}=\frac 49
(32)2=3222=94
4. 分式的最简公分母
最简公分母就是找到多个分式间的公分母，在分式加减和分式方程化简时会使用。
分式加减时，当异分母相加减时，需要先找到最简公分母进行通分，然后在进行分子的加减
分式方程化简时，需要先找到最简公分母，然后对分式进行化简，也就是利用最简公分母去掉分式的分母，最后再计算
找到最简公分母的规则：
1. 当所有分式都是单项式时：
(1) 找到所有分式的分母中的单项式的系数，然后取它们的最小公倍数
(2) 将所有分式的分母中的单项式的字母都罗列出来，当有字母相同时，留下次数高的
(3) 将最小公倍数和留下的字母进行拼接，就是最简公分母
2. 当分式中有多项式时，先判断多项式能否因式分解，能分解则先分解，不能分解就把整个多项式想象成单项式中的一个字母，然后再按照单项式的规则找到最简公分母
下面分别用单项式和多项式举例：
单项式，分式加法，例：
1
3
a
2
b
c
+
1
2
a
b
2
=
两个分式中分母的系数分别是
3
和
2
，所以它们的最小公倍数是
6
=
两个分式中分母的字母有：
a
、
b
、
c
，遇见相同字母留下最高次数的字母，所以是
a
2
b
2
c
=
将最小公倍数和留下的字母进行拼接，得到最简公分母：
6
a
2
b
2
c
=
然后让两个分式的分母都变成
6
a
2
b
2
c
=
1
3
a
2
b
c
∗
2
b
2
b
=
2
b
6
a
2
b
2
c
=
1
2
a
b
2
∗
3
a
c
3
a
c
=
3
a
c
6
a
2
b
2
c
=
2
b
6
a
2
b
2
c
+
3
a
c
6
a
2
b
2
c
=
2
b
+
3
a
c
6
a
2
b
2
c
\frac {1} {3a^2bc} + \frac {1} {2ab^2}\\ =两个分式中分母的系数分别是3和2，所以它们的最小公倍数是 6\\ =两个分式中分母的字母有：a、b、c，遇见相同字母留下最高次数的字母，所以是a^2b^2c\\ =将最小公倍数和留下的字母进行拼接，得到最简公分母：6a^2b^2c\\ =然后让两个分式的分母都变成6a^2b^2c\\ =\frac {1} {3a^2bc} * \frac {2b}{2b}= \frac {2b}{6a^2b^2c}\\ =\frac {1} {2ab^2} * \frac {3ac}{3ac}= \frac {3ac}{6a^2b^2c}\\ =\frac {2b}{6a^2b^2c} + \frac {3ac}{6a^2b^2c} = \frac {2b + 3ac}{6a^2b^2c}
3a2bc1+2ab21=两个分式中分母的系数分别是3和2，所以它们的最小公倍数是6=两个分式中分母的字母有：a、b、c，遇见相同字母留下最高次数的字母，所以是a2b2c=将最小公倍数和留下的字母进行拼接，得到最简公分母：6a2b2c=然后让两个分式的分母都变成6a2b2c=3a2bc1∗2b2b=6a2b2c2b=2ab21∗3ac3ac=6a2b2c3ac=6a2b2c2b+6a2b2c3ac=6a2b2c2b+3ac
多项式，分式方程化简，例：
2
∗
8000
x
=
17600
x
+
4
=
两个分式的分母分别是单项式
x
和多项式
x
+
4
，先判断
x
+
4
能否分解
=
x
+
4
不能分解，那么就把
x
+
4
想象成单项式中的一个字母，然后套用单项式的规则找到最简公分母
=
两个分式中分母
x
和
x
+
4
的系数都是
1
，所以最小公倍数就是
1
=
两个分式中分母的字母有：
x
、
x
+
4
，并且没有相同的字母，所以留下
x
和
x
+
4
=
将最小公倍数和留下的字母进行拼接，得到最简公分母：
1
(
x
)
(
x
+
4
)
=
x
(
x
+
4
)
=
得到最简公分母后就可以对分式方程进行化简
=
8000
x
∗
x
(
x
+
4
)
=
8000
(
x
+
4
)
=
17600
x
+
4
∗
x
(
x
+
4
)
=
17600
x
=
将两个化简后的分式带回到方程中
=
2
∗
8000
(
x
+
4
)
=
17600
x
=
16000
(
x
+
4
)
=
17600
x
=
16000
x
+
64000
=
17600
x
=
x
=
40
2 * \frac {8000}{x}=\frac {17600}{x+4}\\ =两个分式的分母分别是单项式x和多项式x +4 ，先判断 x + 4 能否分解\\ =x + 4不能分解，那么就把 x + 4 想象成单项式中的一个字母，然后套用单项式的规则找到最简公分母\\ =两个分式中分母x和x+4的系数都是1，所以最小公倍数就是1\\ =两个分式中分母的字母有：x、x+4，并且没有相同的字母，所以留下x和x+4\\ =将最小公倍数和留下的字母进行拼接，得到最简公分母：1(x)(x+4) = x(x+4)\\ =得到最简公分母后就可以对分式方程进行化简\\ =\frac {8000} {x} * x(x+4) = 8000(x+4)\\ =\frac {17600} {x+4} * x(x+4) = 17600x\\ =将两个化简后的分式带回到方程中\\ =2 * 8000(x+4) = 17600x\\ =16000(x+4)=17600x\\ =16000x + 64000 = 17600x\\ =x=40
2∗x8000=x+417600=两个分式的分母分别是单项式x和多项式x+4，先判断x+4能否分解=x+4不能分解，那么就把x+4想象成单项式中的一个字母，然后套用单项式的规则找到最简公分母=两个分式中分母x和x+4的系数都是1，所以最小公倍数就是1=两个分式中分母的字母有：x、x+4，并且没有相同的字母，所以留下x和x+4=将最小公倍数和留下的字母进行拼接，得到最简公分母：1(x)(x+4)=x(x+4)=得到最简公分母后就可以对分式方程进行化简=x8000∗x(x+4)=8000(x+4)=x+417600∗x(x+4)=17600x=将两个化简后的分式带回到方程中=2∗8000(x+4)=17600x=16000(x+4)=17600x=16000x+64000=17600x=x=40
5. 负指数幂
公式： n − m = 1 m n n^{-m} = \frac {1} {m^n} n−m=mn1
例：
5
−
5
=
1
5
5
5^{-5} = \frac {1} {5^5}
5−5=551
6. 比例变形
公式： b a = d c 可变形为 c b = a d ，同理 c b = a d 也可变形为 b a = d c \frac {b} {a} = \frac {d} {c} 可变形为 cb=ad，同理 cb=ad 也可变形为\frac {b} {a} = \frac {d} {c} ab=cd可变形为cb=ad，同理cb=ad也可变形为ab=cd
例： x y = 3 2 ， 2 x = 3 y \frac {x} {y} = \frac {3} {2}，2x = 3y yx=23，2x=3y
公式： a ÷ b ÷ c = a b c a \div b \div c = \frac {a} {bc} a÷b÷c=bca
例：
6
÷
3
÷
2
=
6
2
∗
3
6 \div 3 \div 2 = \frac {6} {2 * 3}
6÷3÷2=2∗36
7. 分离常数法
用拆项使分式的分子为常数
例：
x + 2 x + 1 = x + 1 + 1 x + 1 = x + 1 x + 1 + 1 x + 1 = 1 + 1 x + 1 \frac {x + 2} {x + 1} = \frac {x +1 + 1}{x + 1}=\frac {x + 1}{ x + 1} + \frac {1} {x + 1} = 1 + \frac {1} {x + 1} x+1x+2=x+1x+1+1=x+1x+1+x+11=1+x+11
三、二次根式
0. 平方根和算数平方根的重要概念
一个数小于 0 0 0 时，它没有平方根，算式是错误的，不成立，没意义。
一个数等于 0 0 0 时，它只有一个平方根，就是 0 0 0
一个数大于
0
0
0 时，它有两个平方根，分别是
x
\sqrt x
x
和
−
x
-\sqrt x
−x
，其中
x
\sqrt x
x
叫做
x
x
x 的算数平方根
如果题中是求 a 的平方根，这个时候
a
a
a 是有两个平方根的，分别是
a
\sqrt a
a
和
−
a
-\sqrt a
−a
，这两个叫做
a
a
a 的平方根。如果题中是求
a
\sqrt a
a
，这时候其实只要求出
a
\sqrt a
a
就可以，这个叫做算术平方根，千万千万不要弄混，例如： 如果题目是求
9
9
9 的平方根，那么 9 有两个平方根，分别是
9
\sqrt 9
9
和
−
9
-\sqrt 9
−9
，结果是
±
3
\pm 3
±3。如果题目是求
9
\sqrt 9
9
，这时候让求的不是 9 的平方根，而是 9 的算术平方根，结果就是 3
1. 乘方去根号
a 2 = a ， a 2 = ∣ a ∣ \sqrt a^2 = a，\sqrt {a^2} = \vert a \vert a 2=a，a2 =∣a∣
例：
3
2
=
3
，
−
3
2
=
∣
−
3
∣
\sqrt 3^2 = 3，\sqrt {-3^2} = \vert -3 \vert
3
2=3，−32
=∣−3∣
2. 二次根式的加减
二次根式的加减需要满足两个根式是同类二次根式，也就是根号下的数值必须是一样的
减法： 3 a − 2 a = a 3\sqrt a - 2\sqrt a = \sqrt a 3a −2a =a
加法： a + a = 2 a \sqrt a + \sqrt a = 2\sqrt a a +a =2a
例：
3
+
3
=
2
3
\sqrt 3 + \sqrt 3 = 2\sqrt 3
3
+3
=23
3. 二次根式的乘法
a ∗ b = a ∗ b \sqrt a * \sqrt b= \sqrt {a *b } a ∗b =a∗b
例：
2
∗
3
=
2
∗
3
=
6
\sqrt 2 * \sqrt 3= \sqrt {2 * 3 } = \sqrt 6
2
∗3
=2∗3
=6
4. 二次根式的除法
a b = a ÷ b = a b \frac {\sqrt a} {\sqrt b}= \sqrt a \div \sqrt b=\sqrt {\frac {a} {b}} b a =a ÷b =ba
例：
2
3
=
2
÷
3
=
2
3
\frac {\sqrt 2} {\sqrt 3}= \sqrt 2 \div \sqrt 3= \sqrt {\frac {2} {3}}
3
2
=2
÷3
=32
5. 二次根式的化简
二次根式的化简有二个原则：
-
能开出来的，必须开出来
找到根号下数值的所有自身以外的因数，判断因数能否开根，能开根则就要对这个二次根式进行化简
例：
6 ，其自身以外的因数是 2 ∗ 3 ， 2 、 3 都不能开根，所以 6 无法化简 \sqrt 6，其自身以外的因数是 2 * 3， \sqrt 2、\sqrt 3 都不能开根，所以\sqrt 6无法化简 6 ，其自身以外的因数是2∗3，2 、3 都不能开根，所以6 无法化简
18 ，其自身以外的因数有 3 ∗ 6 和 2 ∗ 9 ， 3 、 6 不能开根， 所以就得试另一组因数 2 、 9 ，因为 9 可以被开根，其开根后的算数平方根是 3 ， 所以 18 是可以被化简的，其化简后为 2 ∗ 9 = 2 ∗ 9 = 3 2 \sqrt {18}，其自身以外的因数有3 * 6和2 * 9，\sqrt 3、\sqrt 6 不能开根，\\ 所以就得试另一组因数 \sqrt 2、\sqrt 9，因为\sqrt 9可以被开根，其开根后的算数平方根是3，\\所以\sqrt {18}是可以被化简的，其化简后为\sqrt {2*9}=\sqrt 2 * \sqrt 9=3\sqrt2 18 ，其自身以外的因数有3∗6和2∗9，3 、6 不能开根，所以就得试另一组因数2 、9 ，因为9 可以被开根，其开根后的算数平方根是3，所以18 是可以被化简的，其化简后为2∗9 =2 ∗9 =32 -
根号里不能有分母，分母里不能有分号
公式：
b a → b a ∗ a a = b ∗ a a ∗ a = a b a 2 = a b a \sqrt \frac b a → \sqrt \frac b a * \sqrt \frac a a = \frac {\sqrt b * \sqrt a}{\sqrt a * \sqrt a}=\frac {\sqrt {ab}}{\sqrt {a^2}}=\frac {\sqrt {ab}}{a} ab →ab ∗aa =a ∗a b ∗a =a2 ab =aab 例：
2 3 → 2 3 ∗ 3 3 = 2 ∗ 3 3 ∗ 3 = 6 9 = 6 3 \sqrt \frac 2 3 → \sqrt \frac 2 3 * \sqrt \frac 3 3 = \frac {\sqrt 2 * \sqrt 3}{\sqrt 3 * \sqrt 3}=\frac {\sqrt {6}}{\sqrt 9}=\frac {\sqrt {6}}{3} 32 →32 ∗33 =3 ∗3 2 ∗3 =9 6 =36
6. 有理化
有理化是在一些特定场合中，需要将式子中无法直接化简的根号去掉，以便于计算，需要多刷题才能有感觉
举个代入式的例子：
x
=
4
+
3
5
2
，求
8
x
(
x
−
4
)
得多少？
移项：
2
x
=
4
+
3
5
移项：
2
x
−
4
=
3
5
有理化：
(
2
x
−
4
)
2
=
(
3
5
)
2
左边的式子利用平方差公式后为：
4
x
2
−
16
x
+
16
=
45
左边的式子再提取公因式为：
4
x
(
x
−
4
)
=
29
然后带入到要求的式子里：
8
x
(
x
−
4
)
=
2
∗
4
x
(
x
−
4
)
=
29
∗
2
=
58
x = \frac {4 + 3 \sqrt 5}{2} ，求 8x(x - 4) 得多少？\\ 移项： 2x=4+3 \sqrt 5\\ 移项：2x-4=3 \sqrt 5\\ 有理化：(2x-4)^2=(3 \sqrt 5)^2\\ 左边的式子利用平方差公式后为： 4x^2 - 16x + 16 = 45\\ 左边的式子再提取公因式为：4x(x - 4) = 29\\ 然后带入到要求的式子里：8x(x - 4) = 2 * 4x(x - 4) = 29 * 2 = 58
x=24+35
，求8x(x−4)得多少？移项：2x=4+35
移项：2x−4=35
有理化：(2x−4)2=(35
)2左边的式子利用平方差公式后为：4x2−16x+16=45左边的式子再提取公因式为：4x(x−4)=29然后带入到要求的式子里：8x(x−4)=2∗4x(x−4)=29∗2=58
再举个分母有理化的例子：
1
3
−
2
想让分母不包含根式，我们需要对分母进行乘方，
(
1
)
2
(
3
−
2
)
2
，然后利用完全平方公式展开，
1
3
−
2
6
+
2
，会发现结果还有根式
所以这里不适合对整个分母进行乘方，可以让其分别乘方，变成
3
2
−
2
2
，
仔细观察这就是平方差公式，所以：
1
∗
(
3
+
2
)
(
3
−
2
)
(
3
+
2
)
=
3
+
2
3
2
−
2
2
=
3
+
2
\frac {1}{\sqrt 3 - \sqrt 2}\\ 想让分母不包含根式，我们需要对分母进行乘方，\\ \frac {(1)^2} {(\sqrt 3 - \sqrt 2)^2}，然后利用完全平方公式展开，\frac {1} {3 - 2 \sqrt 6 + 2}，会发现结果还有根式\\ 所以这里不适合对整个分母进行乘方，可以让其分别乘方，变成 \sqrt 3^2 - \sqrt 2^2，\\ 仔细观察这就是平方差公式，所以：\\ \frac {1 * (\sqrt 3 + \sqrt2)} {(\sqrt 3 - \sqrt2)(\sqrt 3 + \sqrt2)} = \frac {\sqrt 3 + \sqrt 2}{\sqrt 3^2 - \sqrt 2^2} = \sqrt 3 + \sqrt 2
3
−2
1想让分母不包含根式，我们需要对分母进行乘方，(3
−2
)2(1)2，然后利用完全平方公式展开，3−26
+21，会发现结果还有根式所以这里不适合对整个分母进行乘方，可以让其分别乘方，变成3
2−2
2，仔细观察这就是平方差公式，所以：(3
−2
)(3
+2
)1∗(3
+2
)=3
2−2
23
+2
=3
+2
四、因式分解和解一元二次方程的相关内容
因式分解公式：提取公因式、平方差公式、立方和公式、立方差公式、完全平方公式、首一十字相乘、非首一十字相乘
解一元二次方程的公式：配方法、直接开平方、公式法
因式分解的本意是将多项式变为整式乘积的一个过程，但是这个过程中可以解开一些一元二次方程，所以因式分解的这些公式，有时候也可以用来解一元二次方程
1. 提取公因式
找到多项式中公共的因式并提取出来，公式： a ∗ b + a ∗ c = a ∗ ( b + c ) a * b + a * c = a * ( b + c ) a∗b+a∗c=a∗(b+c)
例：
2
x
2
y
+
6
x
y
2
=
2
x
y
∗
(
x
+
3
y
)
2x^2y + 6xy^2 = 2xy * (x + 3y)
2x2y+6xy2=2xy∗(x+3y)，两个多项式的公共因式：
2
x
y
2xy
2xy
2. 平方差公式
公式： a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) a^2 - b^2=(a + b)(a - b) a2−b2=(a+b)(a−b)
例：
a
x
2
−
9
a
=
a
∗
(
x
2
−
9
)
（先用提取公因式的方式，提取两个多项式的公共因式
a
）
=
a
∗
(
x
2
−
3
2
)
（
x
2
−
3
2
满足平方差公式的条件）
=
a
∗
(
x
+
3
)
(
x
−
3
)
（使用平方差公式，因式分解完成）
ax^2 - 9a\\ =a * ( x^2 - 9 ) （先用提取公因式的方式，提取两个多项式的公共因式 a ）\\ =a * ( x^2 - 3^2 )（x^2 - 3^2 满足平方差公式的条件）\\ =a * ( x + 3 ) ( x - 3)（使用平方差公式，因式分解完成）
ax2−9a=a∗(x2−9)（先用提取公因式的方式，提取两个多项式的公共因式a）=a∗(x2−32)（x2−32满足平方差公式的条件）=a∗(x+3)(x−3)（使用平方差公式，因式分解完成）
3. 立方和公式
公式： a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 ) a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
例：
3
3
+
2
3
=
(
3
+
2
)
∗
(
3
2
−
3
∗
2
+
2
2
)
=
35
3^3 + 2^3 = (3 + 2) * (3^2 - 3 * 2 + 2^2) = 35
33+23=(3+2)∗(32−3∗2+22)=35
4. 立方差公式
公式： a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
例：
3
3
−
2
3
=
(
3
−
2
)
∗
(
3
2
+
3
∗
2
+
2
2
)
=
19
3^3 - 2^3 = (3 - 2) * (3^2 + 3 * 2 + 2^2) = 19
33−23=(3−2)∗(32+3∗2+22)=19
5. 完全平方公式
公式： a 2 ± 2 a b + b 2 = ( a ± b ) 2 a^2 \pm 2ab + b^2=(a \pm b)^2 a2±2ab+b2=(a±b)2
例：
m
a
2
−
4
m
a
+
4
m
=
m
∗
(
a
2
−
4
a
+
4
)
（先用提取公因式的方式，提取三个多项式的公共因式
m
）
=
m
∗
(
a
2
−
(
2
∗
a
∗
2
)
+
2
2
)
（
a
2
−
(
2
∗
a
∗
2
)
+
2
2
满足完全平方公式的条件）
=
m
∗
(
a
−
2
)
2
（使用完全平方公式，因式分解完成）
ma^2 - 4ma + 4m\\ =m * ( a^2 - 4a + 4 ) （先用提取公因式的方式，提取三个多项式的公共因式 m ）\\ =m * (a^2 - (2 * a * 2) + 2 ^2 ) （a^2 - (2 * a * 2) + 2 ^2 满足完全平方公式的条件）\\ =m * ( a - 2 )^2（使用完全平方公式，因式分解完成）
ma2−4ma+4m=m∗(a2−4a+4)（先用提取公因式的方式，提取三个多项式的公共因式m）=m∗(a2−(2∗a∗2)+22)（a2−(2∗a∗2)+22满足完全平方公式的条件）=m∗(a−2)2（使用完全平方公式，因式分解完成）
6. 首一十字相乘
公式： x 2 + ( a + b ) x + a b = ( x + a ) ( x + b ) x^2 +( a + b )x+ ab=( x + a )( x + b ) x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
例：
x
2
−
x
−
12
=
x
2
+
(
−
1
)
x
−
12
=
先找到和是
−
1
并且乘积是
12
的两个数，分别为
−
4
和
3
=
(
x
+
3
)
(
x
−
4
)
（直接将
−
4
和
3
套入十字相乘公式，因式分解完成）
x^2 - x - 12\\ =x^2 + (-1)x - 12\\ =先找到和是 -1并且乘积是12 的两个数，分别为 -4 和 3 \\ =(x + 3)(x - 4)（直接将 -4和3套入十字相乘公式，因式分解完成）
x2−x−12=x2+(−1)x−12=先找到和是−1并且乘积是12的两个数，分别为−4和3=(x+3)(x−4)（直接将−4和3套入十字相乘公式，因式分解完成）
7. 非首一十字相乘
公式： a x 2 + b x + c = ( a 1 x + c 1 ) ( a 2 x + c 2 ) a = a 1 ∗ a 2 c = c 1 ∗ c 2 b = a 1 c 2 + a 2 c 1 ax^2 + bx + c = ( a_1x + c_1 )( a_2x + c_2 )\\ a=a_1*a_2\\ c=c_1*c_2\\ b=a_1c_2 + a_2c_1 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)a=a1∗a2c=c1∗c2b=a1c2+a2c1
例：
8
a
2
+
46
a
b
+
63
b
2
=
找到
8
a
2
系数的因数，（
a
1
=
1
,
a
2
=
8
）、（
a
1
=
8
,
a
2
=
1
）、（
a
1
=
2
,
a
2
=
4
）、（
a
1
=
4
,
a
2
=
2
）
=
找到
63
b
2
系数的因数，（
c
1
=
1
,
c
2
=
63
）、（
c
1
=
63
,
c
2
=
1
）、（
c
1
=
3
,
c
2
=
21
）、（
c
1
=
21
,
c
2
=
3
）、（
c
1
=
7
,
c
2
=
9
）、（
c
1
=
9
,
c
2
=
7
）
=
分别交叉试验
8
a
2
和
63
b
2
的因数，让（
a
1
c
2
+
a
2
c
1
）
=
46
=
先试（
a
1
=
1
,
a
2
=
8
）和（
c
1
=
1
,
c
2
=
63
）交叉相乘，
1
∗
8
+
1
∗
63
不等于
46
=
再试（
a
1
=
2
,
a
2
=
4
）和（
c
1
=
7
,
c
2
=
9
）交叉相乘，
7
∗
4
+
9
∗
2
=
46
，满足非首一十字相乘的条件
=
所以
(
a
1
x
+
c
1
)
(
a
2
x
+
c
2
)
=
(
2
a
+
7
b
)
(
4
a
+
9
b
)
8a^2+46ab+63b^2\\ =找到8a^2系数的因数，（a_1=1,a_2=8）、（a_1=8,a_2=1）、（a_1=2,a_2=4）、（a_1=4,a_2=2）\\ =找到63b^2系数的因数，（c_1=1,c_2=63）、（c_1=63,c_2=1）、（c_1=3,c_2=21）、（c_1=21,c_2=3）、（c_1=7,c_2=9）、（c_1=9,c_2=7）\\ =分别交叉试验8a^2和63b^2的因数，让（a_1c_2 + a_2c_1）=46\\ =先试（a_1=1,a_2=8）和（c_1=1,c_2=63）交叉相乘，1 * 8 + 1 * 63 不等于 46\\ =再试（a_1=2,a_2=4）和（c_1=7,c_2=9）交叉相乘，7 * 4 + 9 * 2 = 46，满足非首一十字相乘的条件\\ =所以( a_1x + c_1 )( a_2x + c_2 )=(2a+7b)(4a+9b)
8a2+46ab+63b2=找到8a2系数的因数，（a1=1,a2=8）、（a1=8,a2=1）、（a1=2,a2=4）、（a1=4,a2=2）=找到63b2系数的因数，（c1=1,c2=63）、（c1=63,c2=1）、（c1=3,c2=21）、（c1=21,c2=3）、（c1=7,c2=9）、（c1=9,c2=7）=分别交叉试验8a2和63b2的因数，让（a1c2+a2c1）=46=先试（a1=1,a2=8）和（c1=1,c2=63）交叉相乘，1∗8+1∗63不等于46=再试（a1=2,a2=4）和（c1=7,c2=9）交叉相乘，7∗4+9∗2=46，满足非首一十字相乘的条件=所以(a1x+c1)(a2x+c2)=(2a+7b)(4a+9b)
8. 配方法
原理：利用配方法，让表达式满足完全平方公式
公式： x 2 + b x = x 2 + b x + ( b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 = ( x + b 2 ) 2 − ( b 2 ) 2 x^2 + bx = x^2 + bx + ( \frac b2) ^2 - ( \frac b2) ^2 =(x+\frac b2)^2 - ( \frac b2) ^2 x2+bx=x2+bx+(2b)2−(2b)2=(x+2b)2−(2b)2
例： x 2 + 4 x + 5 = x 2 + 4 x + ( 5 2 ) 2 − ( 5 2 ) 2 + 5 = ( x + 5 2 ) 2 − ( 5 2 ) 2 + 5 x^2 + 4x + 5 = x^2 + 4x + ( \frac 52) ^2 - ( \frac 52) ^2 + 5=(x+\frac 52)^2 - ( \frac 52) ^2 +5 x2+4x+5=x2+4x+(25)2−(25)2+5=(x+25)2−(25)2+5
当二次项的系数不为1时，要先将二次项的系数消除，例如：
3
x
2
+
4
x
+
5
=
(
3
x
2
∗
1
3
)
+
(
4
x
∗
1
3
)
+
(
5
∗
1
3
)
=
x
2
+
4
3
x
+
5
3
=
（将二次项的系数变为
1
后，就可以使用配方法）
=
x
2
+
4
3
x
+
(
4
3
∗
1
2
)
2
−
(
4
3
∗
1
2
)
2
+
5
3
=
(
x
+
2
3
)
2
−
(
4
3
∗
1
2
)
2
+
5
3
=
(
x
+
2
3
)
2
+
(
−
4
9
+
5
3
)
=
(
x
+
2
3
)
2
+
11
9
3x^2 + 4x + 5\\ = (3x^2 * \frac 13) + (4x * \frac 13) + (5 * \frac 13 )\\ =x^2 + \frac 43x + \frac 53\\ =（将二次项的系数变为1后，就可以使用配方法）\\ =x^2 + \frac 43x + (\frac 43 * \frac 12)^2 - (\frac 43 * \frac 12)^2 + \frac 53\\ =(x + \frac 23)^2 - (\frac 43 * \frac 12)^2 + \frac 53\\ =(x + \frac 23)^2 + (- \frac 49 + \frac 53)\\ =(x + \frac 23)^2 + \frac {11}{9}
3x2+4x+5=(3x2∗31)+(4x∗31)+(5∗31)=x2+34x+35=（将二次项的系数变为1后，就可以使用配方法）=x2+34x+(34∗21)2−(34∗21)2+35=(x+32)2−(34∗21)2+35=(x+32)2+(−94+35)=(x+32)2+911
8. 直接开平方法
公式： a 2 = ± a ，等号右边不要忘了正负号 a^2=\pm \sqrt a，等号右边不要忘了正负号 a2=±a ，等号右边不要忘了正负号
例1：
(
2
x
+
1
)
2
=
(
5
−
x
)
2
步骤
1
：
(
2
x
+
1
)
2
=
±
(
5
−
x
)
2
步骤
2
：
2
x
+
1
=
±
(
5
−
x
)
结果：
x
1
=
4
3
，
x
2
=
−
6
(2x+1)^2= (5-x)^2\\ 步骤1：\sqrt {(2x+1)^2}= \pm \sqrt {(5-x)^2}\\ 步骤2：2x + 1 = \pm (5-x)\\ 结果：x_1=\frac 4 3，x_2=-6
(2x+1)2=(5−x)2步骤1：(2x+1)2
=±(5−x)2
步骤2：2x+1=±(5−x)结果：x1=34，x2=−6
例2：
(
x
−
2
)
2
=
7
步骤
1
：
(
x
−
2
)
2
=
±
7
步骤
2
：
x
−
2
=
±
7
结果：
x
1
=
7
+
2
，
x
2
=
−
7
+
2
(x-2)^2=7\\ 步骤1：\sqrt {(x-2)^2}= \pm \sqrt {7}\\ 步骤2：x-2= \pm \sqrt {7}\\ 结果：x_1=\sqrt 7 + 2，x_2=-\sqrt 7 + 2
(x−2)2=7步骤1：(x−2)2
=±7
步骤2：x−2=±7
结果：x1=7
+2，x2=−7
+2
9. 公式法和根的判别式
公式： − b ± b 2 − 4 a c 2 a \frac {-b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} } {2a} 2a−b±b2−4ac
使用这个公式的前提，方程必须满足 a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0，这个结构
公式中 b 2 − 4 a c ，也可以称作根的判别式，可以用希腊字母德尔塔（ D e l t a ） Δ 表示 {b^2 - 4ac}，也可以称作根的判别式，可以用希腊字母德尔塔（Delta）\Delta表示 b2−4ac，也可以称作根的判别式，可以用希腊字母德尔塔（Delta）Δ表示
当
Δ
=
b
2
−
4
a
c
>
0
\Delta = {b^2 - 4ac} > 0
Δ=b2−4ac>0 时，表示方程有两个不等的实根
当
Δ
=
b
2
−
4
a
c
=
0
\Delta = {b^2 - 4ac} = 0
Δ=b2−4ac=0时，表示方程有两个相等的实根
当
Δ
=
b
2
−
4
a
c
<
0
\Delta = {b^2 - 4ac} < 0
Δ=b2−4ac<0时，表示方程没有实根，这个方程不需要继续计算了
例：
2
x
2
+
3
x
+
1
=
6
x
+
2
步骤
1
，让方程满足标准公式，所以要移项，：
2
x
2
+
3
x
−
6
x
+
1
−
2
=
0
步骤
2
，合并同类项，：
2
x
2
−
3
x
−
1
=
0
，这时候已经满足标准二次方程结构了
步骤
3
，和标准一元二次方程结构对比，
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
，得到
a
=
2
，
b
=
−
3
，
c
=
−
1
步骤
4
，将
a
b
c
套入根的判别式中，判断是否需要继续解方程
Δ
=
(
−
3
)
2
−
4
∗
2
∗
(
−
1
)
>
0
，说明有两个不等的实根，需要继续解方程
步骤
5
，拿
a
b
c
直接套入公式法，
−
(
−
3
)
±
(
−
3
)
2
−
4
∗
2
∗
(
−
1
)
2
∗
2
结果，合并同类项，得到：
x
1
=
3
+
17
4
，
x
2
=
3
−
17
4
2x^2 + 3x + 1 = 6x + 2\\ 步骤1，让方程满足标准公式，所以要移项，：2x^2 + 3x - 6x + 1 - 2 = 0\\ 步骤2，合并同类项，：2x^2 - 3x - 1 = 0，这时候已经满足标准二次方程结构了\\ 步骤3，和标准一元二次方程结构对比，ax^2+bx+c=0，得到 a = 2，b = -3，c = -1\\ 步骤4，将abc套入根的判别式中，判断是否需要继续解方程\\ \Delta = {(-3)^2 - 4*2*(-1)} > 0，说明有两个不等的实根，需要继续解方程\\ 步骤5，拿abc直接套入公式法，\frac {-(-3) \pm \sqrt {(-3)^2 - 4*2*(-1)} } {2*2}\\ 结果，合并同类项，得到：x_1 = \frac {3 + \sqrt {17} } {4} ，x_2 = \frac {3 - \sqrt {17} } {4}
2x2+3x+1=6x+2步骤1，让方程满足标准公式，所以要移项，：2x2+3x−6x+1−2=0步骤2，合并同类项，：2x2−3x−1=0，这时候已经满足标准二次方程结构了步骤3，和标准一元二次方程结构对比，ax2+bx+c=0，得到a=2，b=−3，c=−1步骤4，将abc套入根的判别式中，判断是否需要继续解方程Δ=(−3)2−4∗2∗(−1)>0，说明有两个不等的实根，需要继续解方程步骤5，拿abc直接套入公式法，2∗2−(−3)±(−3)2−4∗2∗(−1)
结果，合并同类项，得到：x1=43+17
，x2=43−17
10. 根与系数的关系
当 Δ = b 2 − 4 a c > = 0 \Delta = {b^2 - 4ac} >= 0 Δ=b2−4ac>=0 时，表示方程有两个实根，两个实根的关系如下：
两个根的和为： x 1 + x 2 = − b a x_1 + x_2 = - \frac b a x1+x2=−ab
两个根的乘积为： x 1 ∗ x 2 = c a x_1 * x_2 = \frac c a x1∗x2=ac
两个根的平方和为： x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 − 2 ∗ x 1 ∗ x 2 x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2*x_1 * x_2 x12+x22=(x1+x2)2−2∗x1∗x2
两个根的倒数和为： 1 x 1 + 1 x 2 = x 1 + x 2 x 1 ∗ x 2 \frac {1} {x_1} + \frac {1} {x_2} = \frac {x_1 + x_2} {x_1*x_2} x11+x21=x1∗x2x1+x2
两个根的差的绝对值为： ∣ x 1 − x 2 ∣ = ( x 1 + x 2 ) 2 − 4 ∗ x 1 ∗ x 2 \vert x_1 - x_2 \vert = \sqrt {(x_1 + x_2)^2 - 4 * x_1 * x_2} ∣x1−x2∣=(x1+x2)2−4∗x1∗x2
例：
已知
Δ
=
2
x
2
−
3
x
−
4
>
0
，求
x
1
+
x
2
和
x
1
∗
x
2
步骤
1
，对比标准一元二次方程结构，
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
，得到
a
=
2
，
b
=
−
3
，
c
=
−
4
步骤
2
，直接套入公式：
x
1
+
x
2
=
−
b
a
和
x
1
∗
x
2
=
c
a
结果：
x
1
+
x
2
=
−
−
3
2
=
3
2
x
1
∗
x
2
=
−
4
2
=
−
4
2
=
−
2
\Delta = 2x^2 - 3x -4 > 0，求x_1 + x_2 和 x_1 * x_2\\ 步骤1，对比标准一元二次方程结构，ax^2 + bx + c = 0，得到a = 2，b=-3，c=-4\\ 步骤2，直接套入公式： x_1 + x_2 = - \frac b a 和 x_1 * x_2 = \frac c a \\ 结果：\\ x_1 + x_2 = -\frac {-3} {2}=\frac 3 2\\ x_1 * x_2 = \frac {-4} {2} = - \frac 4 2=-2
Δ=2x2−3x−4>0，求x1+x2和x1∗x2步骤1，对比标准一元二次方程结构，ax2+bx+c=0，得到a=2，b=−3，c=−4步骤2，直接套入公式：x1+x2=−ab和x1∗x2=ac结果：x1+x2=−2−3=23x1∗x2=2−4=−24=−2
五、函数
1. 函数
函数标准式：
y
=
k
x
，其中
k
是系数，
k
≠
0
y=kx，其中 k 是系数，k \not= 0
y=kx，其中k是系数，k=0
2. 一次函数的标准式和图像
一次函数标准式：
y
=
k
x
+
b
，
k
是系数，
k
≠
0
、
b
为常数，
b
可以为
0
y=kx + b，k是系数，k \not= 0、b 为常数，b可以为0
y=kx+b，k是系数，k=0、b为常数，b可以为0
一次函数图像：
一次函数图像中，当 k 是正数时，直线是从左下到右上，当 k 是负数时，直线是从右下到左上
3. 二次函数标准式和图像
二次函数标准式：
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
，其中
b
、
c
是常数可以为
0
，
a
≠
0
y=ax^2 + bx + c，其中 b、c是常数可以为0，a \not= 0
y=ax2+bx+c，其中b、c是常数可以为0，a=0
二次图像中：
二次图像中，当 a 是正数时，抛物线开口向上，当 a 是负数时，抛物线开口向下
4. 二次函数顶点式
顶点式：
y
=
a
(
x
−
h
)
2
+
k
，对称轴：
x
=
h
时，顶点
(
h
,
k
)
y=a(x - h)^2 + k，对称轴：x=h 时，顶点(h, k)
y=a(x−h)2+k，对称轴：x=h时，顶点(h,k)
5. 从标准式到顶点式
利用提取公因式法和配方法从标准式中找到顶点式，既从 a x 2 + b + c 中找到 a ( x − h ) 2 + k 结构 利用提取公因式法和配方法从标准式中找到顶点式，既从 ax^2 + b + c 中找到 a(x - h)^2 + k 结构 利用提取公因式法和配方法从标准式中找到顶点式，既从ax2+b+c中找到a(x−h)2+k结构
公式：
顶点式
=
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
顶点式=a(x + \frac {b} {2a})^2 + \frac {4ac - b^2}{4a}
顶点式=a(x+2ab)2+4a4ac−b2
h
=
−
b
2
a
h=-\frac {b} {2a}
h=−2ab
k
=
4
a
c
−
b
2
4
a
k=\frac {4ac - b^2} {4a}
k=4a4ac−b2
公式来历：
公式来历：
公式来历：
a
x
2
+
b
+
c
步骤一，提取公因式
a
，
a
(
x
2
+
b
a
)
+
c
步骤二，利用配方法，
a
(
x
2
+
b
a
+
b
2
4
a
2
)
−
a
∗
b
2
4
a
2
+
c
步骤三，利用完全平方公式因式分解，
a
(
x
+
b
2
a
)
2
−
b
2
4
a
+
c
步骤三，通分后得到顶点式，
a
(
x
+
b
2
a
)
2
+
4
a
c
−
b
2
4
a
结果，和顶点式
a
(
x
−
h
)
2
+
k
比较得：
h
=
−
b
2
a
,
k
=
4
a
c
−
b
2
4
a
ax^2 + b + c\\ 步骤一，提取公因式a，a(x^2 + \frac b a) + c\\ 步骤二，利用配方法，a(x^2 + \frac b a + \frac {b^2} {4a^2}) - a * \frac {b^2} {4a^2} + c\\ 步骤三，利用完全平方公式因式分解，a(x + \frac {b} {2a})^2 - \frac {b^2}{4a} + c\\ 步骤三，通分后得到顶点式，a(x + \frac {b} {2a})^2 + \frac {4ac - b^2}{4a}\\ 结果，和顶点式a(x - h)^2 + k 比较得：h = -\frac {b} {2a}, k = \frac {4ac - b^2} {4a}
ax2+b+c步骤一，提取公因式a，a(x2+ab)+c步骤二，利用配方法，a(x2+ab+4a2b2)−a∗4a2b2+c步骤三，利用完全平方公式因式分解，a(x+2ab)2−4ab2+c步骤三，通分后得到顶点式，a(x+2ab)2+4a4ac−b2结果，和顶点式a(x−h)2+k比较得：h=−2ab,k=4a4ac−b2
例：
从
2
x
2
+
8
x
+
5
中找到
h
、
k
直接套入公式即可
h
=
−
b
2
a
=
−
8
4
=
−
2
k
=
4
a
c
−
b
2
4
a
=
4
∗
2
∗
5
−
8
2
4
∗
2
=
−
3
从 2x^2 + 8x + 5 中找到h、k\\ 直接套入公式即可\\ h = -\frac {b} {2a} = -\frac 8 4 = -2\\ k = \frac {4ac - b^2} {4a} = \frac {4*2*5 - 8^2} {4*2} = -3
从2x2+8x+5中找到h、k直接套入公式即可h=−2ab=−48=−2k=4a4ac−b2=4∗24∗2∗5−82=−3
6. x轴的交点式
求解析式时，当题目给了两个交与x轴的坐标时，就可以使用交点式代替标准式，更快的计算
公式：
y
=
a
(
x
−
x
1
)
(
x
−
x
2
)
y=a(x-x_1)(x-x_2)
y=a(x−x1)(x−x2)
例：
抛物线过点（-1，0）、（4，0）和（0，-2），求它的解析式。
解，使用交点式，更方便：
步骤
1
：先将两个交与
x
的坐标套入交点式：
y
=
a
(
x
−
(
−
1
)
)
(
x
−
4
)
=
a
(
x
+
1
)
(
x
−
4
)
步骤
2
：在将未交于
x
点的坐标代入交点式求
a
：
−
2
=
a
(
0
+
1
)
(
0
−
4
)
步骤
3
：得到
a
=
1
2
步骤
4
：将
a
代入到步骤
1
中的交点式：
y
=
1
2
(
x
+
1
)
(
x
−
4
)
结果：方程展开后得到一元二次函数，
y
=
1
2
x
2
−
3
2
x
−
2
步骤1：先将两个交与x的坐标套入交点式：y=a(x-(-1))(x-4)=a(x+1)(x-4)\\ 步骤2：在将未交于x点的坐标代入交点式求a：-2=a(0+1)(0-4)\\ 步骤3：得到a=\frac 1 2\\ 步骤4：将a代入到步骤1中的交点式：y = \frac 1 2 (x+1)(x-4)\\ 结果：方程展开后得到一元二次函数，y =\frac 1 2 x^2 - \frac 3 2 x - 2
步骤1：先将两个交与x的坐标套入交点式：y=a(x−(−1))(x−4)=a(x+1)(x−4)步骤2：在将未交于x点的坐标代入交点式求a：−2=a(0+1)(0−4)步骤3：得到a=21步骤4：将a代入到步骤1中的交点式：y=21(x+1)(x−4)结果：方程展开后得到一元二次函数，y=21x2−23x−2
解，如果是用标准式，就很麻烦：
设
:
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
解
3
元方程组：
a
−
b
+
c
=
0
16
a
+
4
b
+
c
=
0
c
=
−
2
\\ 设:y = ax^2 + bx + c\\ 解3元方程组：\\ a-b+c=0\\ 16a+4b+c=0\\ c=-2
设:y=ax2+bx+c解3元方程组：a−b+c=016a+4b+c=0c=−2
7. 一元二次方程和二次函数
一元二次方程 a x 2 + b + c = n 相当于在二次函数 y = a x 2 + b + c 的图像上做一条横切线 一元二次方程 ax^2 + b+ c = n相当于在二次函数 y = ax^2 + b+ c 的图像上做一条横切线 一元二次方程ax2+b+c=n相当于在二次函数y=ax2+b+c的图像上做一条横切线
当 n > 二次函数的顶点坐标中的 y 轴坐标时，横切线与二次函数图像有两个交点 当 n > 二次函数的顶点坐标中的y轴坐标时，横切线与二次函数图像有两个交点 当n>二次函数的顶点坐标中的y轴坐标时，横切线与二次函数图像有两个交点
当 n = 二次函数的顶点坐标中的 y 轴坐标时，横切线与二次函数图像有一个交点 当 n = 二次函数的顶点坐标中的y轴坐标时，横切线与二次函数图像有一个交点 当n=二次函数的顶点坐标中的y轴坐标时，横切线与二次函数图像有一个交点
当
n
<
二次函数的顶点坐标中的
y
轴坐标时，横切线与二次函数图像没有交点
当 n < 二次函数的顶点坐标中的y轴坐标时，横切线与二次函数图像没有交点
当n<二次函数的顶点坐标中的y轴坐标时，横切线与二次函数图像没有交点
8. 反比例函数的标准式和图像
反比例函数的标准式：
y
=
k
x
y = \frac k x
y=xk
反比例函数的图像：
- 当 k > 0 时：
当 x > 0 时，图像在第一象限， 当 x < 0 时，图像在第三象限
y 随 x 增大而减小 - 当 k < 0 时：
当 x > 0 时，图像在第二象限， 当 x < 0 时，图像在第四象限
y 随 x 增大而增大
一三或二四象限的图像同时出现时称作双曲线，其有两条对称轴 y = − x 和 y = x y = -x 和 y=x y=−x和y=x
两个双曲线的 k 如果互为相反数，那么图像关于
x
x
x 轴对称
9. 反比例函数中k的几何意义
在反比例图像中任取一点，向两个轴做垂线，其组成的图形的面积公式为： x ∗ y = ∣ k ∣ x*y=\vert k \vert x∗y=∣k∣
例：反比例函数为
y
=
4
x
y= \frac 4 x
y=x4, 在其图像的（1，4）中分别向两条轴做垂线，其围成的图形的面积是：1 * 4 = 4
10. 反比例函数图像上的点坐标乘积相等
在同一反比例函数图像上的所有点坐标的乘积都相等
例：
(
2
,
3
)
(
6
,
1
)
这两个点在同一反比例函数图像上，
(
5
,
7
)
(
1
,
3
)
这两个点就不在同一反比例函数图像上
(2, 3) (6,1) 这两个点在同一反比例函数图像上，(5, 7) (1,3)这两个点就不在同一反比例函数图像上
(2,3)(6,1)这两个点在同一反比例函数图像上，(5,7)(1,3)这两个点就不在同一反比例函数图像上
11. 一次、二次、反比例函数图像的平移
口诀：上加下减在末尾，左加右减在 x x x
左右平移指的是， y y y 轴不变， x x x 轴左右平移
上下平移指的是，
x
x
x 轴不变，
y
y
y 轴上下平移
一次函数 y = k x + b y = kx + b y=kx+b 平移，例：
左移五个单位， y = k ( x + 5 ) + b y=k(x + 5) + b y=k(x+5)+b
右移五个单位， y = k ( x − 5 ) + b y=k(x - 5) + b y=k(x−5)+b
上移五个单位， y = k x + b + 5 y=kx + b + 5 y=kx+b+5
下移五个单位，
y
=
k
x
+
b
−
5
y=kx + b - 5
y=kx+b−5
二次函数 y = a x 2 + b x + c y = ax^2 + bx + c y=ax2+bx+c 平移，例：
左移五个单位， y = a ( x + 5 ) 2 + b ( x + 5 ) + c y = a(x + 5)^2 + b(x + 5) + c y=a(x+5)2+b(x+5)+c
右移五个单位， y = a ( x − 5 ) 2 + b ( x − 5 ) + c y = a(x-5)^2 + b(x - 5) + c y=a(x−5)2+b(x−5)+c
上移五个单位， y = y = a x 2 + b x + c + 5 y=y = ax^2 + bx + c + 5 y=y=ax2+bx+c+5
下移五个单位，
y
=
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
−
5
y=y = ax^2 + bx + c - 5
y=y=ax2+bx+c−5
反比例函数 y = k x y = \frac k x y=xk 平移，例：
左移五个单位， y = k x + 5 y = \frac {k} {x + 5} y=x+5k
右移五个单位， y = k x − 5 y = \frac {k} {x - 5} y=x−5k
上移五个单位， y = k x + 5 y = \frac k x + 5 y=xk+5
下移五个单位，
y
=
k
x
−
5
y = \frac k x - 5
y=xk−5