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3.矩阵的行列式

3.1 二阶行列式

定义：

\[形如 \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix} 的式子为二阶行列式，其中\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc \]

应用：

设存在以下二元线性方程组：

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{cases} \]

根据二元线性方程组的消元法求解方程可得：

\[x_1=\frac {b_1a_{22}-b_2a_{12}} {a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\\ \]

\[x_2=\frac {b_2a_{11}-b_1a_{21}} {a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} \]

记：

\[D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}， D_1= \begin{vmatrix} b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}， D_2= \begin{vmatrix} a_{11} & b_{1}\\ a_{21} & b_{2} \end{vmatrix} \]

则：

\[x_1 = \frac {D_1} {D}， x_2 = \frac {D_2} {D} \]

3.2 n阶行列式的计算

3.2.1 全排列

设存在一组数列S={\(a_1,a_2,a_3,...,a_n\)}，其中\(a_i \in N且i=1，2，3，...,n\)

则数列S中的数值共有\(A^n_n=n!\)种排列方式，这些数值的全排列为：

\[\tag {1}p_1p_2p_3...p_n \]

3.2.2 逆序数

设存在数列\(S、S_i\)；数值\(a_i\)、\(t_i\)、\(t\)，其中：

\(S\)={\(a_1,a_2,a_3,...,a_n\)}；

若对于数列S中的任意一项数值\(a_i（i=1，2，3，...,n）\)，满足\(a_i\in N\) ，则记\(S_i\)为数列\(S\)的前\((n-i)\)项所在的子序列；

记\(t_i\)为\(S_i\)中数值大于\(a_i\)的项的个数，称\(t_i\)为\(a_i\)的逆序数；

数列S的逆序数总和记为：

\[\tag {2}t=\sum^{n}_{i=1}t_i \]

3.2.3 求n阶行列式

设存在以下n阶行列式：

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} &...& a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &...& a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &...& a_{3n}\\ & & ......\\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &...& a_{nn}\\ \end{vmatrix} \]

则：
该行列式的行号（或列号）所形成的数列{\(S=1,2,3,...,n\)}，

数列S中的数值共有：\(n!\) 种排列方式，设这些数值的全排列为：\(p_1p_2p_3...p_n\)

\(p_1p_2p_3...p_n\)中，任意一种排列方式的逆序数总和 \(t=\sum_{i=1}^{n}t_i\)

\(\Rightarrow\)该行列式的值为：

\[\tag{3}\sum (-1)^ta_{1p_1}\cdot a_{2p_2}\cdot a_{3p_3}...\cdot a_{np_n} \]

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