几何向量及其应用
1.1 向量及其线性运算
1.1.1 向量
既有大小又有方向称之为向量。
以A起点，B为终点的有向线段所表示的向量为 \(\overrightarrow{AB}\) ,向量大小称向量 \(\overrightarrow{AB}\) 的模，记作 \(||\overrightarrow{AB}||\) 。也可以用希腊字母 \(\alpha, \beta, \gamma, \cdots\) 表示向量。
有向线段表示的向量通常称为几何向量。
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1.1.2 向量的线性运算
\(\dfrac {1}{||\alpha||} \alpha\) 是一个与 \(\alpha\) 同方向的单位向量，记作 \(\alpha^0\) （又称 \(\alpha\) 的单位化）。
\[即\ \alpha^0 = \dfrac {1}{||\alpha||}\alpha \ 或\ \alpha= ||\alpha||\alpha^0. \]1.1.3 向量的共线与共面
线性组合与线性表示
设 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n,\beta\) 是一组向量，若存在一组实数 \(k_1,k_2,\cdots,k_n\) 使得
\[\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n, \]则称 \(\beta\) 是 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 的一个线性组合或称 \(\beta\) 可由 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 线性表示。
共线向量与共面向量
方向相同或相反的向量成为共线向量，而平行于同一平面的向量成为共面向量。若 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 共线，则记为 \(\alpha||\beta\) 。
共线的充要条件
向量 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 共线的充分必要条件是存在不全为零的数 \(k,\ l\) 使得
\[k\alpha+l\beta=\theta. \]既有 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 共线的充分必要条件是其中一个可以由另一个向量线性表示。
共面的充要条件
三个向量 \(\alpha,\beta,\gamma\) 共面的充要条件是存在不全为零的数 \(k_1,k_2,k_3\) 使得
\[k_1\alpha+k_2\beta+k_3\gamma=\theta. \]既有向量 \(\alpha,\beta,\gamma\) 共面的充要条件是其中一个向量可由另两个向量线性表示。
线性相关与线性无关
设 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 是一组向量，如果存在一组不全为零的数 \(k_1,k_2,\cdots,k_n\) 使得
\[k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=\theta， \]则称向量组 \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\) 是线性相关的；否则线性无关。
1.2 内积、外积和混合积
1.2.1 向量的内积
内积
向量 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的内积（也称数量积、点积) \(\alpha\cdot\beta\) 是个数,定义为:
\[\alpha\cdot\beta=||\alpha||\cdot||\beta||\cos(\widehat{\alpha,\beta}), \]其中 \(0\leq(\widehat{\alpha,\beta})\leq\pi\) 表示 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 之间的夹角.
投影
\(\alpha\ 在\ \beta\ 方向上的投影为:\)
\[(\alpha)_\beta=Proj_\beta\ \alpha=||\alpha||\cos(\widehat{\alpha,\beta}) \]\(投影性质有(\alpha_1+\alpha_2)_\beta=(\alpha_1)_\beta+(\alpha_2)_\beta.\)
1.2.2 向量的外积
外积的定义
\(向量\ \alpha\ 与\ \beta\ 的外积\ \alpha\times\beta\ 是一个向量,它的模\)
\[||\alpha\times\beta||=||\alpha||\cdot||\beta||\sin(\widehat{\alpha,\beta}). \]\(\alpha\times\beta\ 的方向垂直于\ \alpha\ 与\ \beta\ 所决定的平面,且\ \alpha\times\beta\ 的方向按右手定则从\ \alpha \ 转向\ \beta\ 来决定\)
\(外积的几何意义:||\alpha\times\beta||\ 的数值大小等于以\ \alpha\ 和\ \beta\ 为边的平行四边形的面积.\)
外积的性质
\(外积有以下性质:\\ 1.\ \alpha\times\alpha=\theta\\ 2.\ \alpha\times\beta=\theta\iff\alpha||\beta\\ 3.\ \alpha\times\beta=-\beta\times\alpha(反交换律)\\ 4.\ (k\alpha)\times\beta=k(\alpha\times\beta)(结合律)\\ 5.\ \alpha+\beta=\alpha\times\gamma+\beta\times\gamma(分配律)\)
1.2.3 向量的混合积
混合积的定义
\(三个向量\ \alpha,\beta,\gamma\ 的混合积是指(\alpha\times\beta)\cdot\gamma,它是一个数,记作(\alpha,\beta,\gamma).\\ 从几何意义上来讲,(\alpha,\beta,\gamma)在数值上等同于以\alpha,\beta,\gamma为边构成的平行六面体的体积.\\ 则有\)
\[\alpha,\beta,\gamma\ 共面\iff(\alpha,\beta,\gamma)=0 \] 标签：cdots,times,beta,线性代数,gamma,几何,alpha,向量 From： https://www.cnblogs.com/yanyeting/p/16769988.html