雪睿の自创几何题

题目描述

设锐角 \(△ABC\) 外接圆为 \(\Omega\) ， \(T\) 为 \(\widehat{ABC}\) 上一点， \(ω\) 与 \(\Omega\) 内切于 \(T\) ，与 \(BC\) 切于 \(K\) ， \(D\) 是 \(BC\) 上一点，满足 \(AD\) 与 \(ω\) 切于 \(L\) ， \(M\) 为 \(\widehat{BC}\) 中点， \(AM\) 交 \(LK\) 于 \(I\) ， \(I\) 在 \(BC\) 上投影为 \(H\) ， \(IH\) 中垂线交 \(\Omega\) 于 \(F\) ， \(H\) 关于 \(IF\) 对称点为 \(G\) ，求证： \(BC\) 与 \(\odot AGF\) 相切.

解题过程

Lemma1：

设 \(\odot O_2\) 与 \(\odot O_1\) 内切于 \(T\) ， \(\odot O_1\) 的弦 \(BC\) 与 \(\odot O_2\) 切于 \(D\) ， \(M\) 为 \(\widehat{BC}\) 中点，则 \(TDM\) 共线.

证明：

\(∵\) \(\odot O_2\) 与 \(\odot O_1\) 相切
\(∴\) \(O_1O_2T\) 共线
\(∵\) \(BC\) 与 \(\odot O_2\) 切于 \(D\) ， \(M\) 为 \(\widehat{BC}\) 中点

Lemma2：

设锐角 \(△ABC\) 外接圆为 \(\Omega\) ， \(T\) 为 \(\widehat{ABC}\) 上一点， \(ω\) 与 \(\Omega\) 内切于 \(T\) ，与 \(BC\) 切于 \(K\) ， \(D\) 是 \(BC\) 上一点，满足 \(AD\) 与 \(ω\) 切于 \(L\) ， \(M\) 为 \(\widehat{BC}\) 中点， \(AM\) 交 \(LK\) 于 \(I\) ，则 \(I\) 为 \(△ABC\) 内心

明天接着写