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【基础过关系列】2022-2023学年高二数学上学期同步知识点剖析精品讲义(人教A版2019）
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选择性必修第一册同步巩固，难度2颗星！
基础知识
椭圆的几何性质
| 焦点的位置 | 焦点在\(x\)轴上 | 焦点在\(y\)轴上 |
|---|---|---|
| 图形 |  |
 |
| 标准方程 | \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\) | \(\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)\) |
| 范围 | \(-a≤x≤a\)且\(-b≤y≤b\) | \(-b≤x≤b\)且\(-a≤y≤a\) |
| 顶点 | \(A_1 (-a ,0)\)、\(A_2 (a ,0)\) | |
| \(B_1 (0 ,-b)\)、\(B_2 (0 ,b)\) | \(A_1 (0 ,-a)\)、\(A_2 (0 ,a)\) | |
| \(B_1 (-b ,0)\)、\(B_2 (b ,0)\) | ||
| 轴长 | 短轴长\(2b\)，长轴长\(2a\) | |
| 焦点 | \(F_1 (-c ,0)\)、\(F_2 (c ,0)\) | \(F_1 (0 ,-c)\)、\(F_2 (0 ,c)\) |
| 焦距 | \(F_1 F_2=2c\) | |
| \(a、b、c\)的关系 | \(a^2=b^2+c^2\) | |
| 离心率 | \(e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}(0<e<1)\) | |
注 离心率\(e\)越小，椭圆越偏平.
如下图， \(e=\dfrac{c}{a}=\tan \alpha\)，则\(e\)越小， \(\tanα\)越小，\(α\)越小，椭圆越偏平.
【例】求椭圆 \(25x^2+16y^2=400\)的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．
解析 将方程变形为 \(\dfrac{y^2}{25}+\dfrac{x^2}{16}=1\)，得\(a=5\)，\(b=4\)，所以\(c=3\)．
故椭圆的长轴长和短轴长分别为\(2a=10\)和\(2b=8\)，离心率 \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{5}\)，
焦点坐标为\(F_1 (0,-3)\)，\(F_2 (0,3)\)，
顶点坐标为\(A_1 (0,-5)\)，\(A_2 (0,5)\)，\(B_1 (-4,0)\)，\(B_2 (4,0)\)．
一些常见结论
① 通径：过焦点且垂直于长轴的弦，其长度为 \(\dfrac{2 b^2}{a}\)；
② \(P\)是椭圆上一点，当运动到短轴端点时，\(∠F_1 PF_2\)取到最大；
③ 焦点三角形面积 \(S_{\triangle P F_1 F_2}=b^2 \tan \dfrac{\angle F_1 P F_2}{2}\)；
④ 焦半径\(PF_1=a+ex_0\)，\(PF_2=a-ex_0\)(椭圆第二定义证明)；
⑤ 椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的参数方程 \(\left\{\begin{array}{l}
x=a \cdot \cos \theta \\
y=b \cdot \sin \theta
\end{array}\right.\) (\(θ\)为参数).
基本方法
【题型1】椭圆的简单几何性质
【典题1】已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{2 m^2-n}+\dfrac{y^2}{n-m^2}=1\)的焦点在\(x\)轴上，若椭圆的短轴长为\(4\)，则\(n\)的取值范围是( )
A．\((12,+∞)\) \(\qquad \qquad\) B．\((4,12)\) \(\qquad \qquad\)C．\((4,6)\) \(\qquad \qquad\) D．\((6,+∞)\)
解析 依题意得 \(2m^2-n>n-m^2>0\)，得 \(\dfrac{3}{2} m^2>n>m^2\)，
且 \(n-m^2=4\)，得 \(m^2=n-4\)，
则 \(\dfrac{3}{2}(n-4)>n>n-4\)，得到\(n>12\)，
故选：\(A\)．
【典题2】若椭圆 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{m+4}=1\)的焦距为\(2\)，则其离心率是\(\underline{\quad \quad}\) .
解析 ①当椭圆焦点在\(x\)轴上时， \(a^2=9\)，\(b^2=m+4\)，得 \(c=\sqrt{5-m}\)，
\(∴\)焦距 \(2 c=2 \sqrt{5-m}=2\)，解之得\(m=4\)，
则离心率 \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{3}\)；
②椭圆焦点在\(y\)轴上时， \(a^2=m+4\)，\(b^2=9\)，得 \(c=\sqrt{5-m}\)，
焦距 \(2 c=2 \sqrt{m-5}=2\)，解之得\(m=6\)，
则离心率 \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)；
综上所述，离心率是 \(\dfrac{1}{3}\)或 \(\dfrac{\sqrt{10}}{10}\)．
点拨 要注意确定椭圆的焦点位置和\(a\)值.
巩固练习
1.椭圆 \(6x^2+y^2=6\)的长轴的端点坐标是( )
A．\((-1,0)\)，\((1,0)\) \(\qquad \qquad\) B．\((-6,0)\)，\((6,0)\)
\(\qquad \qquad\) C． \((-\sqrt{6}, 0)\)， \((\sqrt{6}, 0)\) \(\qquad \qquad\) D． \((0,-\sqrt{6})\)， \((0, \sqrt{6})\)
2.椭圆 \(9x^2+y^2=36\)的短轴长为\(\underline{\quad \quad}\)．
3.已知焦点在\(x\)轴上的椭圆 \(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{m}=1\)的离心率为\(\dfrac{1}{2}\)，则\(m=\)\(\underline{\quad \quad}\) ．
4.已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{m}=1\)的离心率 \(e=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)，求\(m\)的值．
参考答案
- 答案 \(D\)
- 答案 \(4\)
解析 原方程可化为 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{36}=1\)，于是\(b^2=4\)，\(b=2\)，从而短轴长为\(2b=4\)． - 答案 \(\dfrac{3}{2}\)
解析 由题意知 \(a^2=2\)，\(b^2=m\)，\(∴c^2=2-m\)．
\(\therefore \dfrac{\sqrt{2-m}}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}\)， \(\therefore m=\dfrac{3}{2}\)． - 答案 \(m=3\)或 \(m=\dfrac{25}{3}\)
解析 当焦点在\(x\)轴上时， \(a^2=5\)，\(b^2=m\)
\(∴c^2=a^2-b^2=5-m\)．
又 \(\because e=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)， \(\therefore \dfrac{5-m}{5}=\left(\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right)^2\)，\(∴m=3\)．
当焦点在\(y\)轴上时， \(a^2=m\)，\(b^2=5\)
\(∴c^2=a^2-b^2=m-5\)．
又 \(\because e=\dfrac{\sqrt{10}}{5}\)， \(\therefore \dfrac{m-5}{m}=\left(\dfrac{\sqrt{10}}{5}\right)^2\)， \(\therefore m=\dfrac{25}{3}\)．
故\(m=3\)或 \(m=\dfrac{25}{3}\)．
【题型2】利用椭圆的几何性质求椭圆方程
【典题1】 求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)与椭圆 \(4x^2+9y^2=36\)有相同的焦点，且离心率为 \(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)；
(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，\(O\)为坐标原点，\(F\)是一个焦点，\(A\)是一个顶点，椭圆的长轴长是\(6\)，且 \(\cos \angle O F A=\dfrac{2}{3}\)．
解析 (1)把方程 \(4x^2+9y^2=36\)化成 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1\)，
则焦点在\(x\)轴，焦距为 \(2 \sqrt{5}\)，则 \(c=\sqrt{5}\)，
又 \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\)， \(∴a=5\)， \(b^2=a^2-c^2=5^2-5=20\)．
\(∴\)所求椭圆的 方程为 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{20}=1\)．
(2)\(∵\)椭圆的长轴长是\(6\)， \(\cos \angle O F A=\dfrac{2}{3}\)，
\(∴\)点\(A\)不是长轴的端点(是短轴的端点)．
\(∴|OF|=c\)，\(|AF|=a=3\)．
\(\therefore \dfrac{c}{3}=\dfrac{2}{3}\)，\(∴c=2\)， \(b^2=3^2-2^2=5\)．
\(∴\)椭圆的方程是 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{5}=1\)或 \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{9}=1\)．
点拨 掌握椭圆中 \(a^2=b^2+c^2\)，注意结合椭圆图像及其性质确定椭圆方程.
巩固练习
1.中心在原点，焦点在\(x\)轴上，若长轴长为\(18\)，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )
A． \(\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{72}=1\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{9}=1\) \(\qquad \qquad\) C． \(\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{45}=1\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{36}=1\)
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 焦点在\(x\)轴上，椭圆过\(P(3,0)\)，且 \(e=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)；
(2) 椭圆的长轴长是短轴长的\(2\)倍，且过\(P(2,-6)\).
参考答案
- 答案 \(A\)
解析 由已知得\(2a=18\)，\(2c=6\)，\(∴a=9\)，\(c=3\)．从而 \(b^2=a^2-c^2=72\)，
又焦点在\(x\)轴上，\(∴\)所求椭圆的方程为 \(\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{72}=1\)． - 答案 (1) \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{3}=1\) (2) \(\dfrac{x^2}{148}+\dfrac{y^2}{37}=1\)或 \(\dfrac{y^2}{52}+\dfrac{x^2}{13}=1\)
解析 (1) \(∵\)过\(P(3,0)\)，\(∴a=3\)，
又 \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)， \(\therefore c=\sqrt{6}\)．
\(∴b^2=a^2-c^2=3\)．
此时椭圆的标准方程为 \(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{3}=1\)；
(2) 设椭圆标准方程为 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)或 \(\dfrac{y^2}{a^2}+\dfrac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)\)．
由已知得\(a=2b\)．①
\(∵\)椭圆过\(P(2,-6)\)， \(\therefore \dfrac{4}{a^2}+\dfrac{36}{b^2}=1\)或 \(\dfrac{36}{a^2}+\dfrac{4}{b^2}=1\)．②
由①②得 \(a^2=148, b^2=37\)或 \(a^2=52, b^2=13\)．
故所求椭圆标准方程为 \(\dfrac{x^2}{148}+\dfrac{y^2}{37}=1\)或 \(\dfrac{y^2}{52}+\dfrac{x^2}{13}=1\)．
【题型3】椭圆的几何性质综合问题
【典题1】已知椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左右焦点分别为\(F_1\)，\(F_2\)，\(P\)，\(Q\)为过\(F_2\)的直线与椭圆\(C\)的交点，且\(△F_1 PQ\)为正三角形，则该椭圆的离心率为\(\underline{\quad \quad}\) ．
解析 \(∵△F_1 PQ\)为正三角形，\(∴PF_1=F_1 Q\)，
由对称性可知\(P\)，\(Q\)关于\(x\)轴对称，
\(∴\)直线\(PQ\)方程为\(x=c\)，故 \(P F_2=\dfrac{b^2}{a}\)，
由等边三角形性质可知 \(F_1 F_2=\sqrt{3} P F_2\)，
\(\therefore 2 c=\sqrt{3} \cdot \dfrac{b^2}{a}\)，即 \(2 a c=\sqrt{3} a^2-\sqrt{3} c^2\)，
\(\therefore \sqrt{3} e^2+2 e-\sqrt{3}=0\)，解得 \(e=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)或 \(e=-\sqrt{3}\)(舍)．
故 答案为： \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
点拨 求离心率 \(e=\dfrac{c}{a}\)，由于有 \(a^2=b^2+c^2\)，则只需要得到\(a,b,c\)中任意两个参数间的齐次方程便可，如本题中的 \(2 a c=\sqrt{3} a^2-\sqrt{3} c^2\)或 \(a^2=3 b^2-2 b a\)或\(a=2b\)等.
【典题2】已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦点分别为\(F_1\),\(F_2\)，\(B\)，\(C\)分别为椭圆的上、下顶点，直线\(BF_2\)与椭圆的另一个交点为\(D\)，若 \(\cos \angle F_1 B F_2=\dfrac{7}{25}\)，则直线\(CD\)的斜率为( )
A． \(\dfrac{24}{25}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{14}{25}\) \(\qquad \qquad\) C． \(\dfrac{12}{25}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{7}{25}\)
解析 在三角形\(∆F_1 BF_2\)中，
由余弦定理可得 \(\cos \angle F_1 B F_2=\dfrac{7}{25} \Rightarrow \dfrac{a^2+a^2-4 c^2}{2 a^2}=\dfrac{7}{25}\)， 解得 \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{5}\)，
可设\(a=5t\)，\(c=3t\)，则 \(b=\sqrt{a^2-c^2}=4 t\)，
设\(D(m,n)\)，即有 \(\dfrac{m^2}{a^2}+\dfrac{n^2}{b^2}=1\)，
\(∵B(0,b)\)，\(C(0,-b)\)，
\(\therefore k_{B D} \cdot k_{C D}=\dfrac{n-b}{m} \cdot \dfrac{n+b}{m}=\dfrac{n^2-b^2}{m^2}=\dfrac{n^2-b^2}{a^2\left(1-\dfrac{n^2}{b^2}\right)}=-\dfrac{b^2}{a^2}=-\dfrac{16}{25}\)，
由 \(k_{B D}=k_{B F_2}=-\dfrac{b}{c}=-\dfrac{4}{3}\)， \(\therefore k_{C D}=\dfrac{12}{25}\)．
故选：\(C\)．
点拨 对斜率k的处理可考虑使用斜率公式 \(k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\).
【典题3】设椭圆 \(C：\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的右焦点为\(F\)，椭圆\(C\)上的两点\(A\)、\(B\)关于原点对称，且满足 \(\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=0\)，\(|FB|≤|FA|≤2|FB|\)，则椭圆\(C\)的离心率的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
解析 作出椭圆的左焦点\(F'\)，由椭圆的对称性可知，四边形\(AFBF'\)为平行四边形，
又 \(\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=0\)，即\(FA⊥FB\)，故平行四边形\(AFBF'\)为矩形，
\(∴|AB|=|FF'|=2c\)，
设\(AF'=n\),\(AF=m\)，
则在直角三角形\(ABF\)中，\(m+n=2a\), \(m^2+n^2=4c^2\)，①
得\(mn=2b^2\)，②
①÷②得 \(\dfrac{m}{n}+\dfrac{n}{m}=\dfrac{2 c^2}{b^2}\) ，令 \(\dfrac{m}{n}=t\)，得 \(t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{2 c^2}{b^2}\) ，
又由\(|FB|≤|FA|≤2|FB|\)，得 \(\dfrac{m}{n}=t \in[1,2]\)，
\(\therefore t+\dfrac{1}{t}=\dfrac{2 c^2}{b^2} \in\left[2, \dfrac{5}{2}\right]\)，即 \(\dfrac{c^2}{b^2} \in\left[1, \dfrac{5}{4}\right]\)
即 \(\text { 即 } 1 \leq \dfrac{c^2}{b^2} \leq \dfrac{5}{4}\)，得\(\dfrac{4}{5} \leq \dfrac{b^2}{c^2} \leq 1\)，即 \(\dfrac{4}{5} \leq \dfrac{a^2-c^2}{c^2} \leq 1\)，即 \(\dfrac{4}{5} \leq \dfrac{a^2}{c^2}-1 \leq 1\)，
则 \(\dfrac{9}{5} \leq \dfrac{a^2}{c^2} \leq 2\)，即 \(\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{c^2}{a^2} \leq \dfrac{5}{9}\)，得 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq e \leq \dfrac{\sqrt{5}}{3}\)，
则椭圆的离心率的取值范围是 \(\left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{5}}{3}\right]\)．
点拨
1.求离心率 \(e=\dfrac{c}{a}\)的取值范围与求离心率\(e\)值思路相似，由于有 \(a^2=b^2+c^2\)，则只需要得到a,b,c中任意两个参数间的齐次不等式便可，如本题中的 \(1 \leq \dfrac{c^2}{b^2} \leq \dfrac{5}{4}\)或 \(a^2>3 b^2-2 b a\)或\(a>2b\)等；
2.对椭圆几何性质的求解，注意对图形的分析，根据已知条件确定图形的特征.本题也可设点\(A(m,n)\)从代数的角度求解，但较于几何法略显复杂.
巩固练习
1.(多选)如图，两个椭圆 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)， \(\dfrac{y^2}{25}+\dfrac{x^2}{9}=1\)内部重叠区域的边界记为曲线\(C\)，\(P\)是曲线\(C\)上的任意一点，下列四个判断中正确命题为( )
A．\(P\)到\(F_1 (-4,0)\)、\(F_2 (4,0)\)、\(E_1 (0,-4)\)、\(E_2 (0,4)\)四点的距离之和为定值
B．曲线\(C\)关于直线\(y=x\)、\(y=-x\)均对称
C．曲线\(C\)所围区域面积必小于\(36\)
D．曲线\(C\)总长度不大于\(6π\)
2.已知点\(A(a,0)\)、\(B(0,b)\)，椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)经过点 \(D(-2,-\sqrt{3})\)，点\(F\)为椭圆的右焦点，若\(△FAB\)的一个内角为\(120°\)，则椭圆\(C\)的方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
3.已知\(F_1\),\(F_2\)分别是椭圆 \(E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦点，\(P\)为直线\(x=a\)上一点，若\(△F_1 PF_2\)是底角为\(30°\)的等腰三角形，则椭圆\(E\)的离心率为\(\underline{\quad \quad}\) ．
4.已知椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦点为\(F_1\) 、\(F_2\)，\(O\)为坐标原点，\(M\)为椭圆上一点．\(F_1 M\)与\(y\)轴交于一点\(N\)， \(|O M|=\left|O F_2\right|=\sqrt{3}|O N|\)，则椭圆\(C\)的离心率为\(\underline{\quad \quad}\)．
5.已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的短轴长为\(2\)，上顶点为\(A\)，左顶点为\(B\)，左右焦点分别是\(F_1\)，\(F_2\)，且\(△F_1 AB\)的面积为 \(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\)，则椭圆的方程为\(\underline{\quad \quad}\)；若点\(P\)为椭圆上的任意一点，则 \(\dfrac{1}{\left|P F_1\right|}+\dfrac{1}{\left|P F_2\right|}\)的取值范围是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
- 答案 \(BC\)
解析 逐一考查所给的说法：
考虑点\(P\)不是交点的情况，若点\(P\)在椭圆 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)上，\(P\)到\(F_1 (-4,0)\)、\(F_2 (4,0)\)两点的距离之和为定值、到\(E_1 (0,-4)\)、\(E_2 (0,4)\)两点的距离之和不为定值，故\(A\)错；
两个椭圆关于直线\(y=x\)、\(y=-x\)均对称，曲线\(C\)关于直线\(y=x\)、\(y=-x\)均对称，
故\(B\)正确；
曲线\(C\)所围区域在边长为\(6\)的正方形内部，所以面积必小于\(36\)，故\(C\)正确；
曲线\(C\)所围区域在半径为\(3\)的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长：\(6π\)，故\(D\)错误；
故选：\(BC\)． - 答案 \(\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{6}=1\)
解析 如图，
由题意， \(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{3}{b^2}=1\)，①
\(A B^2=F A^2+F B^2-2 F A \cdot F B \cdot \cos 120^{\circ}\)，
即 \(a^2+b^2=(a-c)^2+a^2+a(a-c)\)，②
又 \(a^2=b^2+c^2\)，③
联立①②③，解得 \(a^2=8\)，\(b^2=6\)．
\(∴\)椭圆\(C\)的方程是 \(\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{6}=1\)．
- 答案 \(\dfrac{1}{2}\)
解析 设\(x=a\)交\(x\)轴于点\(M\)，
\(∵△F_2 PF_1\)是底角为\(30°\)的等腰三角形
\(∴∠PF_2 F_1=120^∘\)，\(|PF_2 |=|F_2 F_1 |=2c\)，\(∠PF_2 M=60^∘\)，可得\(|F_2 M|=c=a-c\)，
∴椭圆E的离心率为 \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{1}{2}\)，
故 答案为： \(\dfrac{1}{2}\)．
-
答案 \(\sqrt{3}-1\)
解析 因为 \(|O M|=\left|O F_2\right|=\sqrt{3}|O N|\)，所以\(∠F_1 MF_2=90°\),
设\(MF_1=m\)，\(MF_2=n\)．
如图所示，由题意：\(Rt△MF_1 F_2∽Rt△ONF_2\)，\(|OF_2 |=\sqrt{3}|ON|\)，
可得 \(\dfrac{M F_1}{M F_2}=\dfrac{O N}{O F_2}=\dfrac{m}{n}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)，则 \(m+n=2 a\)， \(m^2+n^2=4 c^2\)， \(n=\sqrt{3} m\)．
可得 \(m=(\sqrt{3}-1) a\)， \(n=(3-\sqrt{3}) a\)，
\(\therefore(\sqrt{3}-1)^2 a^2+(3-\sqrt{3})^2 a^2=4 c^2\)．
\(\therefore(4-2 \sqrt{3}) a^2=c^2\)，化为： \(\dfrac{c}{a}=\sqrt{3}-1\)．
-
答案 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)；\([1,4]\)
解析 由已知可得\(2b=2\)，即\(b=1\)，
\(∵△F_1 AB\)的面积为 \(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\)，
\(\therefore \dfrac{1}{2}(a-c) b=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}\)，得 \(a-c=2-\sqrt{3}\)；
\(∵a^2-c^2=b^2=1\)；\(∴a=2\)，\(c=\sqrt{3}\) ．
可得椭圆方程为 \(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)；
\(\therefore \dfrac{1}{\left|P F_1\right|}+\dfrac{1}{\left|P F_2\right|}=\dfrac{\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|}{\left|P F_1\right| \cdot\left|P F_2\right|}=\dfrac{2 a}{\left|P F_1\right|\left(2 a-\left|P F_1\right|\right)}\)．
令\(|PF_1 |=m\)，则 \(2-\sqrt{3} \leq m \leq 2+\sqrt{3}\)．
\(\therefore \dfrac{1}{\left|P F_1\right|}+\dfrac{1}{\left|P F_2\right|}=\dfrac{4}{m(4-m)}=\dfrac{4}{-m^2+4 m}\)，
\(\because 2-\sqrt{3} \leq m \leq 2+\sqrt{3}\)， \(\therefore 1 \leq-m^2+4 m \leq 4\)；
\(\therefore 1 \leq \dfrac{1}{\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|} \leq 4\)．
故 答案为：\(\dfrac{x^2}{4}+y^2=1\)；\([1,4]\)．
分层练习
【A组---基础题】
1.已知椭圆\(C\)的标准方程为 \(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{25}=1\)，下列说法正确的是( )
A．椭圆\(C\)的焦点在\(x\)轴上\(\qquad \qquad\) B．椭圆\(C\)的焦距为\(3\)
C．椭圆\(C\)的离心率为 \(\dfrac{3}{5}\) \(\qquad \qquad\) D．椭圆\(C\)的右顶点坐标为\((5,0)\)
2.曲线 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)与曲线 \(\dfrac{x^2}{9-k}+\dfrac{y^2}{25-k}=1(0<k<9)\)的关系是( )．
A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对
3.若焦点在\(x\)轴上的椭圆 \(\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{n}=1\)的离心率为 \(\dfrac{2}{3}\)，则\(n=\)( )
A． \(\dfrac{18}{5}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{8}{9}\) \(\qquad \qquad\) C． \(\dfrac{10}{9}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{8}{5}\)
4.在平面直角坐标系\(xOy\)中，已知椭圆 \(E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的右焦点为\(F(c,0)\)，若\(F\)到直线\(2bx-ay=0\)的距离为 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} c\)，则\(E\)的离心率为( )
A． \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\dfrac{1}{2}\) \(\qquad \qquad\)C． \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\qquad \qquad\) D． \(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)
5.直线 \(x-\sqrt{3} y+\sqrt{3}=0\)经过椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左焦点\(F\)，交椭圆于\(A\),\(B\)两点，交\(y\)轴于\(C\)点，若 \(\overrightarrow{F A}=3 \overrightarrow{C A}\)，则该椭圆的离心率是( )
A． \(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\) \(\qquad \qquad\) B． \(\sqrt{3}-1\) \(\qquad \qquad\) C． \(2 \sqrt{2}-2\) \(\qquad \qquad\) D． \(\sqrt{2}-1\)
6.(多选)如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为\(a_1\)和\(a_2\)，半焦距分别为\(c_1\)和\(c_2\)，离心率分别为\(e_1\)，\(e_2\)，则下列结论正确的是( )
A．\(a_1+c_1>2(a_2+c_2)\) \(\qquad \qquad\) B．\(a_1-c_1=a_2-c_2\)
\(\qquad \qquad\) C．\(a_1 c_2>a_2 c_1\) \(\qquad \qquad\) D． \(e_1=\dfrac{e_2+1}{2}\)
\(\qquad \qquad\) E．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
- (多选)已知椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的右焦点为\(F\)，点\(P\)在椭圆\(C\)上，点\(Q\)在圆 \(E：(x+3)^2+(y-4)^2=4\)上，且圆\(E\)上的所有点均在椭圆\(C\)外，若\(|PQ|-|PF|\)的最小值为\(2 \sqrt{5}-6\)，且椭圆\(C\)的长轴长恰与圆\(E\)的直径长相等，则下列说法正确的是( )
A．椭圆\(C\)的焦距为\(2\) \(\qquad \qquad\) B．椭圆\(C\)的短轴长为 \(\sqrt{3}\) \(\qquad \qquad\)
C．\(|PQ|+|PF|\)的最小值为 \(2 \sqrt{5}\) \(\qquad \qquad\) D．过点\(F\)的圆\(E\)的切线斜率为 \(\dfrac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}\)
8.若椭圆的短轴长为 \(4 \sqrt{5}\)，它的一个焦点是 \((0,2 \sqrt{15})\)，则该椭圆的标准方程为\(\underline{\quad \quad}\)．
9.已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦点分别为\(F_1\)，\(F_2\)，点\(P\)为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，\(I\)为\(△PF_1 F_2\)的内心，且 \(S_{\triangle I P F_1}=\lambda S_{\Delta I F_1 F_2}-S_{\triangle I P F_2}\)，若椭圆的离心率为\(e\)，则\(λ=\)\(\underline{\quad \quad}\) .
10.已知椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦点为\(F_1\)，\(F_2\)，上顶点为\(A\)，点\(P\)为第一象限内椭圆上的一点， \(\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|=4\left|F_1 F_2\right|\), \(S_{\triangle P F_1 A}=2 S_{\triangle P F_1 F_2}\)，则直线\(PF_1\)的斜率为\(\underline{\quad \quad}\)．
11.已知椭圆 \(E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左焦点为\(F\)，\(A\)、\(B\)两点是椭圆\(E\)上关于\(y\)轴对称的点，若\(△ABF\)能构成一个内角为 \(\dfrac{2 \pi}{3}\)的等腰三角形，则椭圆\(E\)的离心率\(e=\)\(\underline{\quad \quad}\).
12.若椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=11\)的焦点在\(x\)轴上，过点 \(\left(1, \dfrac{1}{2}\right)\)作圆 \(x^2+y^2=1\)的切线，切点分别为\(A\)、\(B\)，直线\(AB\)恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
- 答案 \(C\)
解析 \(∵25>16\)，故椭圆焦点在\(y\)轴上，故\(A\)错误；
\(∵a^2=25\)，\(b^2=16\)，\(∴c^2=9\)，\(c=3\)，故椭圆焦距为\(2c=6\)，故\(B\)错误；
椭圆离心率 \(e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{3}{5}\)，故\(C\)正确；
椭圆右顶点为\((4,0)\)，故\(D\)错误．
故选：\(C\)． - 答案 \(B\)
解析 \(∵0<k<9\)，\(∴\)曲线 \(\dfrac{x^2}{9-k}+\dfrac{y^2}{25-k}=1(0<k<9)\)是焦点在\(y\)轴上的椭圆．
\(∴c^2=(25-k)-(9-k)=16\)．
又 \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\)是焦点在\(x\)轴上的椭圆且\(c^2=25－9=16\)，
因 此两曲线有相等的焦距，但焦点不相同． - 答案 \(C\)
解析 \(∵\)椭圆焦点在\(x\)轴上，\(∴0<n<2\)，
又离心率 $e=\dfrac{\sqrt{2-n}}{\sqrt{2}}=\dfrac{2}{3} $，故 \(n=\dfrac{10}{9}\)，
故选：\(C\)． - 答案 \(A\)
解析 由\(F\)到直线\(2bx-ay=0\)的距离为 \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} c\)， \(\dfrac{|2 b c|}{\sqrt{4 b^2+a^2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}c\)，可得\(a=2b\)．
即 \(4(a^2-c^2)=a^2\)，解得 \(e=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)，
故选：\(A\)． - 答案 \(B\)
解析 由直线方程可的\(F(-\sqrt{3},0)\),\(C(0,1)\)，则\(c=\sqrt{3}\)，
又因为 \(\overrightarrow{F A}=3 \overrightarrow{C A}\)，即\(|FA|=3|CA|\)，
过\(A\)作\(x\)轴垂线，根据相似三角形可得 \(A\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{3}{2}\right)\)，
则 \(2 a=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}+\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}\right)^2+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2}=3+\sqrt{3}\)，
所以 \(e=\dfrac{2 c}{2 a}=\dfrac{2 \sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1\)，
故选：\(B\)．
- 答案 \(ABD\)
解析 由题图知，\(a_1=2a_2\)，\(c_1>2c_2\)，
\(∴a_1+c_1>2(a_2+c_2)\)，正确；故\(A\)正确；
\(∵\)椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，
\(∴a_1-c_1=a_2-c_2\)正确；故\(B\)正确；
\(a_1 c_2<a_2 c_1\)正确；
\(a_1 c_2>a_2 c_1\)不正确．故\(C\)不正确；
由图知，\(c_1=a_2+c_2\)；
\(\therefore e_1=\dfrac{c_1}{a_1}=\dfrac{a_2+c_2}{2 a_2}\)； \(\dfrac{e_2+1}{2}=\dfrac{\dfrac{c_2}{a_2+1}}{2}=\dfrac{a_2+c_2}{2 a_2}\)；
\(\therefore e_1=\dfrac{e_2+1}{2}\)正确；故\(D\)正确；
\(e_1=\dfrac{c_1}{a_1}>\dfrac{2 c_2}{2 a_2}=e_2\)；\(∴\)椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁；故\(E\)不正确；
∴正确的为\(ABD\)．
故选：\(ABD\)．
- 答案 \(AD\)
解析 根据题意，作出如下所示的图形，
\(∵\)椭圆\(C\)的长轴长与圆\(E\)的直径长相等，\(∴2a=4\),\(a=2\)，
设椭圆的左焦点为\(F'(-c,0)\)，由椭圆的定义可知，\(|PF'|+|PF|=2a=4\)，
\(\therefore|P Q|-|P F|=|P Q|-\left(4-\left|P F^{\prime}\right|\right) \geq\left|Q F^{\prime}\right|-4 \geq\left|E F^{\prime}\right|-2-4=2 \sqrt{5}-6\)，
\(\therefore\left|E F^{\prime}\right|=2 \sqrt{5}=\sqrt{(-3+c)^2+(4-0)^2}\)，解得\(c=1\)或\(5\)(\(∵c<a\)，\(∴\)舍\(5\))，
\(∴\)椭圆\(C\)的焦距为\(2\)，即\(A\)正确；
由 \(b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}\)，得椭圆\(C\)的短轴长为\(2\sqrt{3}\)，即\(B\)错误；
\(|P Q|+|P F| \geq|E F|=\sqrt{(-3-1)^2+(4-0)^2}=4 \sqrt{2}\)，即\(C\)错误；
设过点\(F\)的圆\(E\)的切线方程为\(y=k(x-1)\)，
则 \(\dfrac{|k(-3-1)-4|}{\sqrt{k^2+1}}=2\)，解得 \(k=\dfrac{-4 \pm \sqrt{7}}{3}\)，即\(D\)正确．
故选：\(AD\)．
-
答案 \(\dfrac{y^2}{80}+\dfrac{x^2}{20}=1\)
解析 依题意椭圆的焦点在\(y\)轴上，且 \(c=2 \sqrt{15}\)，
又知 \(2 b=4 \sqrt{5}\)，所以 \(b=2 \sqrt{5}\)，于是 \(a=\sqrt{b^2+c^2}=4 \sqrt{5}\)，
所以椭圆的标准方程是 \(\dfrac{y^2}{80}+\dfrac{x^2}{20}=1\)． -
答案 \(\dfrac{1}{e}\)
解析 设\(△PF_1 F_2\)的内切圆半径为\(r\)，
则 \(S_{\triangle I P F_1}=\dfrac{1}{2}\left|P F_1\right| \cdot r\)，\(S_{\triangle I P F_2}=\dfrac{1}{2}\left|P F_2\right| \cdot r\)，\(S_{\Delta I F_1 F_2}=\dfrac{1}{2}\left|F_1 F_2\right| \cdot r\)，
\(\because S_{\triangle I P F_1}+S_{\triangle I P F_2}=\lambda S_{\Delta I F_1 F_2}\)，
\(\therefore \dfrac{1}{2}\left|P F_1\right| \cdot r+\dfrac{1}{2}\left|P F_2\right| \cdot r=\lambda \cdot \dfrac{1}{2}\left|F_1 F_2\right| \cdot r\)，
可得\(|PF_1 |+|PF_2 |=λ|F_1 F_2 |\)．
\(∴2a=λ2c\)，解得： \(\lambda=\dfrac{1}{e}\)．
-
答案 \(\dfrac{\sqrt{15}}{5}\)
解析 \(∵|PF_1 |+|PF_2 |=4|F_1 F_2 |\)，\(∴2a=4×2c\)，即\(a=4c\)， \(\therefore b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{15} c\)，
由题可知，点\(A(0,b)\)，\(F_1 (－c,0)\)，\(F_2 (c,0)\)，
设直线\(PF_1\)的方程为\(y=k(x+c)\)，
\(\because S_{\triangle P F_1 A}=2 S_{\triangle P F_1 F_2}\)， \(\therefore d_{A-P F_1}=2 d_{F_2-P F_1}\)，
由点到直线的距离公式有， \(d_{A-P F_1}=\dfrac{|k c-b|}{\sqrt{k^2+1}}\)， \(d_{F_2-P F_1}=\dfrac{|2 k c|}{\sqrt{k^2+1}}\)，
\(∴|kc－b|=2|2kc|\)，即 \(|k c-\sqrt{15} c|=4|k c|\)，
\(∵c≠0\)， \(\therefore|k-\sqrt{15}|=4|k|\)，解得 \(k=\dfrac{\sqrt{15}}{5}\)或 \(-\dfrac{\sqrt{15}}{3}\)(舍负)．
故 答案为： \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}\)． -
答案 \(\sqrt{3}-1\)
解析 如图，设椭圆\(E\)的右焦点为\(F'\)，连接\(BF'\)，
则四边形\(FABF'\)为等腰梯形，其中 \(\angle F A B=\dfrac{2 \pi}{3}\)，
\(\therefore \angle F^{\prime} F B=\dfrac{\pi}{6}\)， \(\angle F F^{\prime} B=\dfrac{\pi}{3}\)， \(\angle F B F^{\prime}=\dfrac{\pi}{2}\)，
\(∴\)在焦点三角形\(△FF'B\)中， \(e=\dfrac{F F^{\prime}}{B F+B F^{\prime}}=\dfrac{\sin \dfrac{\pi}{2}}{\sin \dfrac{\pi}{6}+\sin \dfrac{\pi}{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\)，
即椭圆\(E\)的离心率为 \(\sqrt{3}-1\)．
-
答案 \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1\)
解析 设过点 \(\left(1, \dfrac{1}{2}\right)\)作圆 \(x^2+y^2=1\)的切线为 \(l: y-\dfrac{1}{2}=k(x-1)\)，即 \(k x-y-k+\dfrac{1}{2}=0\)
①当直线\(l\)与\(x\)轴垂直时，\(k\)不存在，直线方程为\(x=1\)，
恰好与圆 \(x^2+y^2=1\)相切于点\(A(1,0)\)；
②当直线\(l\)与\(x\)轴不垂直时，
原点到直线\(l\)的距离为： \(d=\dfrac{\left|-k+\dfrac{1}{2}\right|}{\sqrt{k^2+1}}=1\)，解之得 \(k=-\dfrac{3}{4}\)，
此时直线\(l\)的方程为 \(y=-\dfrac{3}{4} x+\dfrac{5}{4}\)，\(l\)切圆 \(x^2+y^2=1\)相切于点 \(B\left(\dfrac{3}{5}, \dfrac{4}{5}\right)\)；
因此，直线\(AB\)斜率为 \(k_1=\dfrac{0-\dfrac{4}{5}}{1-\dfrac{3}{5}}=-2\)，直线\(AB\)方程为\(y=-2(x-1)\)
\(∴\)直线\(AB\)交\(x\)轴交于点\(A(1,0)\)，交\(y\)轴于点\(C(0,2)\)．
椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)的右焦点为\((0,1)\)，上顶点为\((0,2)\)
\(∴c=1\),\(b=2\)，可得 \(a^2=b^2+c^2=5\)，
故椭圆方程为 \(\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}{4}=1\).
【B组---提高题】
1.已知椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左右焦点分别为\(F_1\)，\(F_2\)，点\(A\)是椭圆上一点，线段\(AF_1\)的垂直平分线与椭圆的一个交点为\(B\)，若 \(\overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{F_2 B}\)，则椭圆\(C\)的离心率为\(\underline{\quad \quad}\) .
2.已知平面内与两定点距离的比为常数\(k\)(\(k>0\),且\(k≠1\))的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，\(A\),\(B\)为长轴端点，\(C\),\(D\)为短轴端点，动点\(M\)满足 \(\dfrac{|M A|}{|M B|}=2\)，\(△MAB\)面积的最大值为\(8\)，\(△MCD\)面积的最小值为\(1\)，则椭圆的离心率为\(\underline{\quad \quad}\) .
参考答案
-
答案 \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
解析 如图所示，线段\(AF_1\)的垂直平分线与椭圆的一个交点为\(B\)，连接\(BF_1\)．
则\(|AB|=|BF_1 |\)．
\(∵\overrightarrow{A B}=3 \overrightarrow{F_2 B}\)，\(|BF_1 |+|BF_2 |=2a\)， \(\therefore\left|B F_2\right|=\dfrac{a}{2}\),\(|AF_2 |=a\)．
\(∴\)点\(A\)是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点．
作\(BC⊥x\)轴，垂足为点\(C\)．则\(△AOF_2∽△BCF_2\)．
\(\therefore \dfrac{|B C|}{|A O|}=\dfrac{\left|C F_2\right|}{\left|O F_2\right|}=\dfrac{\left|B F_2\right|}{\left|A F_2\right|}=\dfrac{1}{2}\)．
\(\therefore y_B=-\dfrac{1}{2} b\), \(\left|C F_2\right|=\dfrac{1}{2} c\)． \(\therefore B\left(\dfrac{3 c}{2},-\dfrac{b}{2}\right)\)．
代入椭圆方程可得： \(\dfrac{9 c^2}{4 a^2}+\dfrac{1}{4}=1\)，解得 \(\dfrac{c^2}{a^2}=\dfrac{1}{3}\)．
\(\therefore e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)．
-
答案 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
解析 由椭圆的方程可得\(A(-a,0)\),\(B(a,0)\),\(C(0,b)\),\(D(0,-b)\)，设\(M(x,y)\)，
则点\(M\)满足 \(\dfrac{|M A|}{|M B|}=2\)，
所以可得 \(\dfrac{\sqrt{(x+a)^2+y^2}}{\sqrt{(x-a)^2+y^2}}=2\)，整理可得 \(x^2+y^2-\dfrac{10}{3} a x+a^2=0\)，
圆心坐标为 \(\left(\dfrac{5}{3} a, 0\right)\)，半径 \(r=\dfrac{4}{3} a\)，
因为\(△MAB\)面积的最大值为\(8\)，\(△MCD\)面积的最小值为\(1\)，
所以 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{1}{2} \cdot 2 a \cdot \dfrac{4}{3} a=8 \\ \dfrac{1}{2} \cdot 2 b \cdot\left(\dfrac{5}{3} a-\dfrac{4}{3} a\right)=1 \end{array}\right.\)解得： \(a^2=6, b^2=\dfrac{3}{2}\)，
所以椭圆的离心率 \(e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)．
【C组---拓展题】
1.已知直线\(2x+y-4=0\)经过椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的右焦点\(F_2\)，且与椭圆在第一象限的交点为\(A\)，与\(y\)轴的交点为\(B\)，\(F_1\)是椭圆的左焦点，且\(|AB|=|AF_1 |\)，则椭圆的方程为\(\underline{\quad \quad}\)．
2.已知椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(0<b<2)\)，作倾斜角为 \(\dfrac{3 \pi}{4}\)的直线交椭圆\(C\)于\(A\),\(B\)两点，线段\(AB\)的中点为\(M\)，\(O\)为坐标原点 \(\overrightarrow{O M}\)与 \(\overrightarrow{M A}\)的夹角为\(θ\)，且\(|\tanθ|=3\)，则\(b=\)\(\underline{\quad \quad}\)．
3.已知点\(A\)，\(D\)分别是椭圆 \(C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左顶点和上顶点，椭圆的左右焦点分别是\(F_1\)和\(F_2\)，点\(P\)是线段\(AD\)上的动点，如果 \(\overrightarrow{P F}_1 \cdot \overrightarrow{P F_2}\)的最大值\(2\)，最小值是 \(-\dfrac{2}{3}\)，那么椭圆的\(C\)的标准方程是\(\underline{\quad \quad}\)．
参考答案
-
答案 \(\dfrac{x^2}{5}+y^2=1\)
解析 由题意直线\(2x+y-4=0\)经过椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的右焦点\(F_2\)，
令\(y=0\)可得\(x=2\)，所以右焦点\(F_2 (2,0)\)，即\(c=2\)，左焦点\(F_1 (-2,0)\)，
由题意令\(x=0\)，可得\(y=4\)，所以\(B(0,4)\)，所以线段\(BF_1\)的中点\(C(-1,2)\)，
直线\(BF_1\)的斜率为 \(\dfrac{4-0}{0-(-2)}=2\)，
所以线段\(BF_1\)的中垂线方程为 \(y-2=-\dfrac{1}{2}(x+1)\)，即\(x+2y-3=0\)，
因为\(|AB|=|AF_1 |\)，所以线段\(BF_1\)的中垂线过\(A\)点，
所以\(A\)为 \(\left\{\begin{array}{l} x+2 y-3=0 \\ 2 x+y-4=0 \end{array}\right.\)的交点，解得 \(x=\dfrac{5}{3}, y=\dfrac{2}{3}\)，即 \(A\left(\dfrac{5}{3}, \dfrac{2}{3}\right)\)，
而\(A\)在椭圆上，所以 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{25}{9 a^2}+\dfrac{4}{9 b^2}=1 \\ c^2=a^2-b^2 \\ c=2 \end{array}\right.\)解得： \(a^2=5，b^2=1\)，
所以椭圆的方程为： \(\dfrac{x^2}{5}+y^2=1\)，
故 答案为： \(\dfrac{x^2}{5}+y^2=1\)．
-
答案 \(\sqrt{2}\)
解析 根据题意，设\(A(x_1,y_1 )\)，\(B(x_2,y_2 )\)，\(M(x_0,y_0 )\)，
由于\(A\)、\(B\)两点在椭圆上，则 \(\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x_1^2}{4}+\dfrac{y_1^2}{b^2}=1 \\ \dfrac{x_2^2}{4}+\dfrac{y_2^2}{b^2}=1 \end{array}\right.\)，
两式作差得 \(\dfrac{\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)}{4}+\dfrac{\left(y_1-y_2\right)\left(y_1+y_2\right)}{b^2}=0\)．
因为直线\(AB\)的倾斜角为 \(\dfrac{3 \pi}{4}\)，则有 \(\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-1\)，所以 \(\dfrac{x_0}{4}-\dfrac{y_0}{b^2}=0\)，即 \(\dfrac{y_0}{x_0}=\dfrac{b^2}{4}\)；
设直线\(OM\)的倾斜角为\(α\)，则 \(\theta=\alpha+\dfrac{\pi}{4}\)或 \(\theta=\dfrac{3 \pi}{4}-\alpha\)，
\(\tan \theta=\pm \dfrac{\tan \alpha+1}{1-\tan \alpha}\)．
又 \(\tan \alpha=\dfrac{y_0}{x_0}=\dfrac{b^2}{4}\)，由 \(\dfrac{\left|\dfrac{b^2}{4}+1\right|}{\left|1-\dfrac{b^2}{4}\right|}=3\)，解得\(b^2=2\)，即 \(b=\sqrt{2}\)． -
答案 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1\)
解析 \(∵\)画出图形，如图所示；
\(∴\)直线\(AD\)的方程是 \(\dfrac{x}{-a}+\dfrac{y}{b}=1, \quad x \in[-a, 0]\)；
\(\therefore{\overrightarrow{P F_1}}{=}(-c-x,-y)\)， \({\overrightarrow{P F_2}}=(c-x,-y)\)，
\(\overrightarrow{P F}_1 \cdot \overrightarrow{P F_2}=x^2-c^2+y^2=x^2+y^2-c^2\)；
设 \(t=x^2+y^2\)，则 \(\sqrt{t}\)表示点\(P\)到原点\(O\)的距离，
\(∴\)当\(P\)在\(A\)点时， \(\sqrt{t}\)最大，
此时 \(\overrightarrow{P F}_1 \cdot \overrightarrow{P F_2}=(-a)^2-0^2-c^2=b^2=2\)；
当\(P\)在点\(O\)到直线\(AD\)的距离时， \(\sqrt{t}\)最小，
此时 \(\sqrt{t}=\dfrac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{1}{-a}\right)^2+\left(\dfrac{1}{b}\right)^2}}\)，
\(\therefore t=\dfrac{a^2 b^2}{a^2+b^2}=\dfrac{2 a^2}{a^2+2}\)，
\(\therefore \overrightarrow{P F_1} \cdot \overrightarrow{P F_2}=\dfrac{2 a^2}{a^2+2}-\left(a^2-2\right)=-\dfrac{2}{3}\)，
整理得 \(3a^4-8a^2-16=0\)，解得 \(a^2=4\)或 \(a^2=-\dfrac{4}{3}\)(舍去)；
综上， \(a^2=4,b^2=2\)，
故椭圆的方程是 \(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1\)．