高斯超几何函数如何运作（数学）

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1. 计算合流和高斯超几何函数的数值方法（ arXiv )

作者 ： 约翰·W·皮尔逊 , 希恩·奥尔弗 , 梅森·波特

抽象的 ： 两个最常用的超几何函数是合流超几何函数和高斯超几何函数。我们回顾了在不同参数和变量状态下准确、快速和可靠地计算这两个超几何函数的可用技术。我们研究的方法包括泰勒和渐近级数计算、高斯-雅可比求积、微分方程的数值解、递推关系等。我们讨论了用于确定最佳方法的数值实验结果，在实践中，对于所考虑的每个参数和变量状态。我们提供了“路线图”，其中包含我们在每种情况下应使用哪些方法的建议。

2. 高斯超几何函数的新级数展开( arXiv )

作者 ： 何塞·路易斯·洛佩兹 , 尼科·M·塔姆

抽象的 ： 高斯超几何函数 2F1(a,b,c;z) 可以通过使用 z,z/(z−1),1−z,1/z,1/(1−z) 的幂的幂级数来计算,(z-1)/z。使用这些展开式，2F1(a,b,c;z) 对于 z 的所有复数值都不是完全可计算的。正如 Gil, {\it et al.} [2007, \S2.3] 中所指出的，点 z=e±iπ/3 总是被排除在这些展开的收敛域之外。 Bühring [1987] 给出了幂级数展开式，允许在这些点处和附近进行计算。但是，当 b−a 是整数时，该展开的系数变得不确定，并且它的计算需要一个非平凡的限制过程。此外，在这种情况下，收敛变得越来越慢。在本文中，我们根据 z 的有理函数获得了高斯超几何函数的新扩展，其中点 z=e±iπ/3 完全在它们的收敛域内。此外，当 b−a 是整数并且在这种情况下不需要限制时，这些展开式是很好定义的。数值计算表明，这些扩展比 Bühring 在点 e±iπ/3 附近的 z 扩展收敛得更快，尤其是当 b−a 接近整数时

3.SU(2) Seiberg-Witten 理论和高斯超几何函数中的试验（ arXiv )

作者 ： Ta-Sheng Tai

抽象的 ： 通过 AGT 猜想，我们展示了在 \N=2 SU(2) N_f=4 QCD 中观察到的试验性如何在几何上被解释为在超几何微分方程的上下文中属于一个固定黎曼方案的 Kummer 的 24 个解中的六个之间的相互作用.我们还强调，我们的表示不同于通常的刘维尔保形块的交叉对称性，后者由超几何函数情况下的连接系数描述。此外，利用WKB方法求解零阶超几何微分方程时，会出现一条曲线（三次穿孔的黎曼球）。这六个 Kummer 解之间的排列然后归结为相关曲线的外部自同构

4.二面高斯超几何函数（ arXiv )

作者 ： 赖蒙达斯维杜纳斯

抽象的 ： 具有二面单向群的高斯超几何函数可以表示为初等函数，因为它们的超几何方程可以通过自变量的二次变化转换为具有循环单向群的 Fuchsian 方程。本文介绍了这些二面体超几何函数的一般基本表达式，包括可表示为终止 Appell 的 F2 或 F3 系列的有限二元和。此外，还介绍了二面函数的三角表达式，并考虑了退化情况（对数或单极群 Z/2Z）。

5. 代数高斯超几何函数的变换( arXiv )

作者 ： 赖蒙达斯维杜纳斯

抽象的 ： 克莱因的一个著名定理意味着任何具有代数解的超几何微分方程都是少数具有代数解的标准超几何方程之一的回拉。最有趣的例子是具有四面体、八面体或二十面体单面群的超几何方程。基于代数超几何函数的某些显式表达式（Darboux 评估），我们给出了一种在这些情况下计算 Klein 回拉覆盖的算法。可以使用连续关系和最简单的 Darboux 评估数据库（涵盖 Schwarz 表）来计算显式表达式。 Klein 的回拉变换还引发了超几何解与具有相同有限单项群的标准超几何函数之间的代数变换

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