CP4反演与共轴圆系还是有很大关联的。我们说，共轴圆系反演后还是共轴圆系，理由如下：对于有两个交点的共轴圆系，反演后的所有圆还是过这两个点（的对应点），所以还是共轴圆系对于切于某点的共轴圆系，由反演的保相切，它们依旧相切与一点对于无交点的共轴圆系，我们找到与它共轭的共轴圆

反演是一种几何变换。在给出它的具体变换前，需要明确几个概念：直线是一种退化的圆，我们将直线与圆统称为广义圆所有直线交于一个点，即无穷远点\(P_\infty\)需要指出的是，反演中所述的无穷远点只有一个，这与射影几何中无穷个的无穷远点有一定区别上述的定义可以给出广义圆的相

等差幂线\(AB\perpCD\iffAC^2-AD^2=BC^2-BD^2\)圆幂定义一个点关于\(\odotO\)的圆幂\(\rho_o(A)=OA^2-R^2\)：若\(A\)在圆外，\(APQ\)是\(\odotO\)的割线，则\(AP\cdotAQ=\rho_o(A)\)若\(A\)在圆内，\(PAQ\)是\(\odotO\)的弦，则\(AP\cdotAQ=-\rho_o(A

引理\(13.1\)：取调和四边形\(ABCD\)对角线\(BD\)上一点\(K\)，\(KA,KC\)与圆的交点为\(S,T\)，则\(SBTD\)也是调和四边形。证明：我们只要证明\(AT\capCS\)在\(BD\)上，这样，使用上一章的引理\(9.3\)，我们看到\(AT\capCS,ST\)极点与\(AC\)极点共线，这就是\(BD\)

区间数颜色LOJ#3751.[SDOI2009]HH的项链给定长度为\(n\)的序列，\(m\)次询问\([l,r]\)内有多少不同的元素。\(n\le5\times10^4\)，\(m\le2\times10^5\)。区间数颜色是莫队算法的经典应用，可以用莫队在\(\Theta(m\sqrtn)\)内解决。P1972[SDOI2009]HH的项链（数据加

我们已经预训练了词向量，接下来考虑设计神经网络解决更具体的问题。自然语言不同于图像信息，例如子结构并不具有连续性等等。诸多困难使得CNN难以沿用，一个代替的方法是RNN。循环神经网络（RNN）一个单隐藏层的MLP形如：$$\bmH=\phi(\bm{XW}+\bm{b})$$即输入\(\bm{X}\)，经过全连接的线

线段树与历史最值问题P4314CPU监控Description给定数组\(\{a_i\}\)，维护以下操作。定义一个辅助数组\(\{b_i\}\)，每次操作完后令\(b_i=\max(a_i,b_i)\)。查询\(\max_{i=l}^{r}a_i\)（区间最值）查询\(\max_{i=l}^{r}b_i\)（历史最值）\(\foralli\in[l,r]\)，\(a_i\gets

A给你一个正整数\(n\)，问是否存在\(3\)个正整数\(a,b,c\)满足\(a+b+c=n\)且\(a,b,c\not\equiv0\pmod{3}\)。分类讨论：如果\(n\not\equiv0\pmod{3}\):若\(n\le5\)则无解，否则可以拆分成\(1,2,n-3\)。否则：若\(n\le9\)则误解，否则拆分成\(1,4,n-5\)。思路是

本篇使用的符号说明，考虑优化问题\[\min\limits_{K}\frac12\|A*K-B\|_F^2+\gamma\|K\|_F^2,\tag{1}\]其中\(A,B\inM_{m,n}\)，通常卷积核我们认为是\(K\inM_{k}\)，为了保证傅里叶变换后维度一致，我们将\(K\)用零元素填充至\(M_{m,n}\)。由于傅里叶变换是酉变换，因此\((1)\)等价为

本篇使用的符号说明，考虑优化问题\[\min\limits_X\|A\circX-B\|_F^2,\tag{1}\]其中\(A,X,B\inM_{m,n}\)。自然的想法是对其求导找闭式解，由于\(F\)-范数的平方可以看作对每个位置的平方求和，于是\((1)\)可以向量化写成以下形式，\[\min\limits_X\|\operatorname{vec}(A)\odot\o

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