1.向量空间和子空间简介
Q1:什么是向量空间？
设W为向量空间 V 的一个非空子集，若W在 V 的加法及标量乘法下是封闭的，就称W为 V 的线性子空间。
简而言之，空间 $R^n$ 由拥有 $n$ 个实数元素的所有列向量 $\vec{v}$ 构成，对于$R^3$空间而言，其子空间包括:
- $\vec{0}$对应的零向量空间
Z - 经过原点的平面
P - 经过原点的直线
L - $R^3$自身
Q2:什么是子空间？
如果 $\vec{v}$ 和 $\vec{w}$ 是该子空间中的向量， $c$ 是任一标量，那么一个向量空间的子空间由满足下列条件的向量集合(包括零向量)构成：
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$\vec{v} + \vec{w}$属于这个子空间；
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$c\vec{v}$ 属于这个子空间。
2.深入理解
为了更深刻的理解，请看下面这个例子：
在$R^2$空间中，对于直线
f(x) = x+10，取其中的一个坐标对应的向量如$\vec{a} = (0,10)$，当$\vec{a}\times \vec{0} = \vec{0}$ 的时候得到(0, 0)，显然其已经逃脱了直线f(x)=x+10的束缚（不在这条直线上面），所以直线f(x) = x+10不能构成一个向量空间。
==注意：能够通过向量间的数乘运算离开空间的都不是真正的向量空间，所以可以通过判断$\vec{0}$是否在向量空间中来判断是否为子空间==
对于矩阵A $\begin{bmatrix}1&2\3&5\4&7\end{bmatrix}$ ，其对应的两个列向量是无法构成向量空间的，为什么？
那怎样才能构成一个向量空间呢？答案是：通过加法和乘法实现
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乘法对应：$c_1\begin{bmatrix}1\3\4\end{bmatrix}$和 $c_2\begin{bmatrix}2\5\7\end{bmatrix}(c_1,c_2 为任意常数)$
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加法对应：$\begin{bmatrix}1\3\4\end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix}2\5\7\end{bmatrix}$
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两个列向量进行线性组合后就可以构成了一个列向量空间: $c_1\begin{bmatrix}1\3\4\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}2\5\7\end{bmatrix}(c_1,c_2 为任意常数)$
看到这里，想起了什么？没错，这就是齐次方程的通解，也就是说齐次方程的通解的几何意义就是对应向量空间中的所有点集。