【线性代数】抽丝剥茧系列之通过初等变换求逆的原理

正文

相信大家都懂得怎么用矩阵求逆，但是知道为什么通过初等行变换可以求逆吗？

对于：

$$\begin{bmatrix}A&E\end{bmatrix} \Longrightarrow \begin{bmatrix}E&A^{-1}\end{bmatrix}$$

如果存在一个可逆矩阵B使得：

$$B \begin{bmatrix}A&E\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}BA&BE\end{bmatrix}$$

满足的时候，有：

$BA = E$，又$BE=B$

即当$A\Longrightarrow E$ 时，$E$也就变成了$A^{-1}$

所以通过增广矩阵的方式进行矩阵求逆，这也是高斯-约旦(Gauss-Jordan)求解方程组的方法，简称G-J消元法。

附录 python 求逆

import numpy as np
# 构造2阶矩阵
kernel = np.array([1, 1, 1, 2]).reshape((2, 2))
# 求逆
print(np.linalg.inv(kernel))

==注意：在进行矩阵运算的时候，如果矩阵不可逆，一些性质或者方法是不能使用的，会抛出LinAlgError: Singular matrix异常（奇异矩阵不可逆）。==