矩阵求逆的实用方法

如何求下三角矩阵的逆

• 下三角矩阵\(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
  \(AB=A(b_1,b_2,\cdots,b_n)=I\)
• \(Ab_i=e_i，i=1,2,\cdots,n\)
  使用前代法求解每一个下三角方程组，从而得到\(B=A^{-1}\)

利用列主元高斯消去法给出一种求矩阵的逆的实用算法（\(O(\frac{5}{3}n^3)\)）

• 对于一般的非奇异矩阵\(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\)
  \(AB=A(b_1,b_2,\cdots,b_n)=I\)
• \(Ab_i=e_i，i=1,2,\cdots,n\)
• 利用列主元高斯消去法
  \(L_{n-1}P_{n-1}\cdots L_2P_2L_1P_1Ab_i=L_{n-1}P_{n-1}\cdots L_2P_2L_1P_1e_i;\)
  \(L_k=I-l_k e_{k}^{T},\quad l_k=(0,\cdots,0,l_{k+1,k},\cdots,l_{n,k})^{T}\)
• \(Ub_i=z\)
  使用回代法求解每一个上三角方程组，从而得到\(B=A^{-1}\)

例：

假定已知\(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\)的三角分解：\(A=LU\)，设计一个算法来求\(A^{-1}\)的\((i,j)\)元素