1.线性相关
对于向量$α_1,α_2,…,α_n$存在一组不全为0的实数$k_1、k_2、…、k_n$，使得：$k_1·α_1+k_2·α_2+…k_n·α_n=0$成立，那么就说$α_1,α_2,…,α_n$线性相关，反之，则为线性无关。
==注意：含有0向量得向量集合中的向量必定线性相关。==
试着回忆这句话：n+1个n维列向量必定线性相关
可以从简单的例子着手：
二维空间$R^2$中三个向量必定线性相关，为什么？
-
如果三者共线，则不证自明；
-
如果三者不共线，如下图：
$a、b、c$三个向量如何，均能够通过数乘运算构成一个封闭三角形，即：
$$k_1\vec{a}+k_2\vec{b}+k_3\vec{c}=0$$
所以二维空间中三个向量必定线性相关得证。
换个角度：
空间的维度代表方程中未知数的个数，向量的个数代表方程的个数，根据秩中所讲的：对于方程Ax = b，当未知量的个数大于方程的个数的时候，对于任意的b方程均有无穷多解。
2.基向量
基向量用来刻画向量空间，或者说生成向量空间，列空间由极大线性无关的列向量构成。
直观理解：
如果要构建三维空间$R^3$，至少需要三个线性无关的列向量，而能够构成$R^3$的列向量就属于一组基向量。
同样地，如果要在$R^3$空间当中刻画子空间$R^2$(过原点的平面)只需要两个列向量即可。
需要注意的是：构成空间的向量数量不多不少刚刚好的向量才能被称为基向量，如何理解？
对于$R^2$，两个列向量通过加乘运算就已经能够表示平面中所有的向量了，如果再多一个也是冗余的，但再少一个就没有办法表示所有向量了。
3.维数
维数理解不难，所以这里简单一点：
（列空间）维数指的是一组向量中最大线性无关组的个数。
秩、基向量、空间维数之间的关系
-
矩阵的秩 $\Leftrightarrow$ 矩阵主元个数（矩阵主列个数） $\Leftrightarrow$ 基向量个数 $\Leftrightarrow$ （子）列空间维数
-
Ax = b方程中自由变量个数$(n-r)$ $\Leftrightarrow$ 零空间的维数