为了求解某个函数 ( E(x) )，可以使用两种方法：先求积分再求导，或者先求导再求积分。这里我们以数列求和公式为例，分别介绍这两种方法。
1. 先求积分再求导
假设我们有一个函数 ( f(x) ) 的级数展开：
E ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n x n E(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n E(x)=n=1∑∞anxn
我们可以通过对 ( E(x) ) 进行积分，再求导来得到 ( E(x) )。
(1) 对 ( E(x) ) 积分
定义一个新函数 ( F(x) )：
F ( x ) = ∫ E ( x ) d x = ∫ ∑ n = 1 ∞ a n x n d x F(x) = \int E(x) \, dx = \int \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n \, dx F(x)=∫E(x)dx=∫n=1∑∞anxndx
交换积分和求和次序：
F ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n ∫ x n d x F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \int x^n \, dx F(x)=n=1∑∞an∫xndx
计算积分：
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} ∫xndx=n+1xn+1
所以，
F ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n x n + 1 n + 1 F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \frac{x^{n+1}}{n+1} F(x)=n=1∑∞ann+1xn+1
(2) 对 ( F(x) ) 求导
我们现在对 ( F(x) ) 求导：
E ( x ) = d d x F ( x ) = d d x ∑ n = 1 ∞ a n x n + 1 n + 1 E(x) = \frac{d}{dx} F(x) = \frac{d}{dx} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \frac{x^{n+1}}{n+1} E(x)=dxdF(x)=dxdn=1∑∞ann+1xn+1
交换求导和求和次序：
E ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n d d x ( x n + 1 n + 1 ) E(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) E(x)=n=1∑∞andxd(n+1xn+1)
计算导数：
d d x ( x n + 1 n + 1 ) = ( n + 1 ) x n n + 1 = x n \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) = \frac{(n+1) x^n}{n+1} = x^n dxd(n+1xn+1)=n+1(n+1)xn=xn
所以，
E ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n x n E(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n E(x)=n=1∑∞anxn
这验证了我们的结果。
2. 先求导再求积分
我们也可以通过先对 ( E(x) ) 求导，再对导函数进行积分来得到 ( E(x) )。
(1) 对 ( E(x) ) 求导
对 ( E(x) ) 求导：
E ′ ( x ) = d d x ( ∑ n = 1 ∞ a n x n ) E'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n \right) E′(x)=dxd(n=1∑∞anxn)
交换求导和求和次序：
E ′ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n d d x ( x n ) E'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n \frac{d}{dx} (x^n) E′(x)=n=1∑∞andxd(xn)
计算导数：
d d x ( x n ) = n x n − 1 \frac{d}{dx} (x^n) = n x^{n-1} dxd(xn)=nxn−1
所以，
E ′ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n n x n − 1 E'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n x^{n-1} E′(x)=n=1∑∞annxn−1
(2) 对 ( E’(x) ) 积分
现在对 ( E’(x) ) 积分：
E ( x ) = ∫ E ′ ( x ) d x = ∫ ∑ n = 1 ∞ a n n x n − 1 d x E(x) = \int E'(x) \, dx = \int \sum_{n=1}^{\infty} a_n n x^{n-1} \, dx E(x)=∫E′(x)dx=∫n=1∑∞annxn−1dx
交换积分和求和次序：
E ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n n ∫ x n − 1 d x E(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n \int x^{n-1} \, dx E(x)=n=1∑∞ann∫xn−1dx
计算积分：
∫ x n − 1 d x = x n n \int x^{n-1} \, dx = \frac{x^n}{n} ∫xn−1dx=nxn
所以，
E ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n n x n n = ∑ n = 1 ∞ a n x n E(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n E(x)=n=1∑∞annnxn=n=1∑∞anxn
这验证了我们的结果。
通过这两种方法，我们可以得到同样的函数 ( E(x) )，即：
E ( x ) = ∑ n = 1 ∞ a n x n E(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n E(x)=n=1∑∞anxn
标签：infty,frac,再求,积分,sum,dx,求导,xn From： https://blog.csdn.net/weixin_53269100/article/details/139562660