11.1 第一型曲线积分

标签：曲线 积分 boldsymbol 11.1 right Delta Gamma left

定义 11.1.1 设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbf{R}^3\) 中的一条可求长曲线, \(f: \Gamma \rightarrow \mathbf{R}, \Gamma\) 的两个端点分别记为 \(\boldsymbol{A}\) 和 \(\boldsymbol{B}\). 在 \(\Gamma\) 上依次取一列点 \(\left\{\boldsymbol{r}_i: i=0,1, \cdots, n\right\}\), 使得 \(\boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{r}_n=\boldsymbol{B}\). 我们称 \(\widehat{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}\) 为 \(\Gamma\) 的第 \(i\) 段曲线. 令 \(\Delta s_i=s\left(\widehat{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}\right)\), 即 \(\Gamma\) 的第 \(i\) 段曲线的弧长.在 \(\widehat{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}\) 上任取一点 \(\boldsymbol{\xi}_i(i=1,2, \cdots, n)\). 如果极限

\[\lim _{\max \Delta s_i \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\boldsymbol{\xi}_i\right) \Delta s_i \tag{1} \]

是一个有限数, 并且其值不依赖于点 \(\boldsymbol{\xi}_i\) 在 \(\widehat{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}\) 上的选择, 那就把这个极限值记为

\[\int_{\Gamma} f(\boldsymbol{r}) \mathrm{d} s \text { 或 } \int_{\Gamma} f(x, y, z) \mathrm{d} s \text {, } \]

称之为函数 \(f\) 在 \(\Gamma\) 上的第一型曲线积分.

展布在曲线上的一个标量（密度）函数可以定义第一型曲线积分

计算
为了计算第一型曲线积分，我们需要做一些假设——\(\Gamma\)是一条光滑曲线，也就是说\(\Gamma\)有一个连续的向量参数表示\(\gamma=\gamma(t)(\alpha\leq t\leq \beta)\)，并且有连续的、非零的导向量。
在假设前提下，分点\(r_i\)对应\(t_i\),\(\Delta s_i=\int_{t_{i-1}}^{t_i}||\gamma^\prime(\tau)||\mathrm{d}\tau\),\(f(\boldsymbol{\xi_i})=f\circ \gamma(\eta_i)\).再利用积分中值定理可得，

\[(1)式=\lim _{\max \Delta t_i \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f \circ \boldsymbol{r}\left(\eta_i\right)\left\|\boldsymbol{r}^{\prime}\left(\zeta_i\right)\right\| \Delta t_i\tag{2} $$. 一般地, $\eta_i \neq \zeta_i$, 因此式 (2) 右边的和式不是某个函数的积分和, 但是 $\eta_i$ 与 $\zeta_i$ 是在同一个区间 $\left[t_{i-1}, t_i\right]$ 之内的. 在定理的条件下, 把它们统一起来写成 \]

\lim {\max \Delta t_i \rightarrow 0} \sum^n f \circ \boldsymbol{r}\left(\eta_i\right)\left|\boldsymbol{r}^{\prime}\left(\eta_i\right)\right| \Delta t_i,\tag{3}

\[这对极限值并无影响。这时, 式 (3)右边的和式已是一个 Riemann 和, 因此式 (3) 就等于 \]

\int_\alpha^\beta f \circ \boldsymbol{r}(t)\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t .\tag{4}

\[ **例子** 我们看一个例子，虽然这个例子可能还不够具体，但是看完这个例子就足以理解第一型曲线积分该如何计算了。 设平面曲线 $\Gamma$ 有显式表达 $y=\varphi(x)(a \leqslant x \leqslant b)$, 其中 $\varphi$ 在 $[a, b]$ 上连续可导且导数仍连续, 那么展布在这条平面曲线上的一个标量函数$f$的第一型曲线积分为 \]

\int_{\Gamma} f \mathrm{~d} s=\int_a^b f(x, \varphi(x)) \sqrt{1+\left(\varphi^{{\prime}(x)\right)}2} \mathrm{~d} x .

\[<div style="background-color: #f8f8f8; border: 2px solid #3498db; border-radius: 10px; padding: 10px; font-family: SimSun, serif;"> 由此可以看出，要计算第一型曲线积分，关键是要知道或者找出曲线的一个参数表达，找到这个参数表达以后，剩下就只需计算一个单变量积分了。 </div>\]

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