引入
向量场是指分布在空间中的一个向量值函数：给定空间的坐标输出一个（可以看作位于这一点坐标的）向量。典型的例子有力场，电场。
设想一个质点在力场 \(\boldsymbol{F}\) 的作用下, 自 \(\Gamma\) 的起点 \(\boldsymbol{A}\) 运动到终点 \(\boldsymbol{B}\), 我们要来计算力场所做的功, 称之为力场 \(F\) 在有向曲线 \(\Gamma\) 上所做的功. 从 \(A\) 到 \(B\) 在 \(\Gamma\) 上插人若干分点 \(\left\{\boldsymbol{r}_i: i=0,1, \cdots, n\right\}\), 使得 \(\boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{r}_n=\boldsymbol{B}\). 如果这些分点足够细密, 那么质点沿着由 \(\boldsymbol{r}_{i-1}\) 到 \(\boldsymbol{r}_i\) 这一段弧 \(\widehat{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}\) 上的运动, 可以看成是在直线段 \(\overline{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}\) 上的运动, 并且在这一段弧上, 力场 \(\boldsymbol{F}\) 基本上是一常力 \(\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{\xi_i}\right)\), 其中点 \(\boldsymbol{\xi_i}\) 可以在这一段弧上任取. 这一段有方向的弧段 \(\widehat{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}\) 称为 \(\Gamma\) 的第 \(i\) 段, 在这一段上力场 \(F\) 所做的功
\[W_i \approx \boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{\xi}_i\right) \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}=\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{\xi}_i\right) \cdot\left(\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_{i-1}\right), \]因此力场 \(F\) 在 \(\Gamma\) 上所做的功
\[W \approx \sum_{i=1}^n \boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{\xi}_i\right) \cdot \Delta \boldsymbol{r}_i, \]这里 \(\Delta \boldsymbol{r}_i=\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_{i-1}(i=1,2, \cdots, n)\). 如果我们要得到 \(W\) 的精确值, 那就应当把这种分割“无限细分”下去.
定义
定义 11.2.1 设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbf{R}^3\) 中一段可求长的有向曲线,映射 \(F: \Gamma \rightarrow \mathbf{R}^3 \cdot \Gamma\) 的起点记为 \(\boldsymbol{A}\), 终点记为 \(\boldsymbol{B}\). 在 \(\Gamma\) 上按从 \(\boldsymbol{A}\) 到 \(\boldsymbol{B}\) 的方向顺次取一列点 \(\left\{\boldsymbol{r}_i: i=0,1, \cdots\right.\), \(n\}\), 使得 \(\boldsymbol{r}_0=\boldsymbol{A}, \boldsymbol{r}_n=\boldsymbol{B}\). 令 \(\Delta \boldsymbol{r}_i=\boldsymbol{r}_i-\boldsymbol{r}_{i-1}(i=1,2, \cdots, n)\). 如果对在 \(\Gamma\) 的弧段 \(\widehat{\boldsymbol{r}_{i-1} \boldsymbol{r}_i}\) 上任取的点 \(\boldsymbol{\xi_i}\), 极限
为一确定的有限数, 则将这个数记为
\[\int_{\Gamma} \boldsymbol{F(r)} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r},\tag{2} \]称它是向量值函数 \(F\) 沿有向曲线 \(\Gamma\) 上的第二型曲线积分.
展布在空间中（也可以只在所求曲线上有定义）的一个向量值函数（向量场）可以定义第二型曲线积分。注意(1)(2)式中的乘号都是所谓的“向量点乘”，具体缘由仔细读一读引入就可以知道。
定向
第二型曲线积分有一个第一型曲线积分没有的性质,那就是它的方向性. 设 \(\Gamma\) 是一条有向曲线,如果我们把它的走向颠倒过来,得出的另一条定向曲线记为 \(-\Gamma\). 则
这是因为走向颠倒以后对应点向量值函数的输出向量不会变，但是(1)式和(2)式中的向量\(\Delta r_i\)和\(\mathrm{d}\boldsymbol{r}\)都会反向。
由此可见,如果我们没有把定向弄正确,那么计算的结果就差一个负号.
计算
设 \(\Gamma\) 是 \(\mathbf{R}^3\) 中一段可求长的有向曲线, 连续映射 \(F: \Gamma \rightarrow \mathbf{R}^3\). 又设 \(\Gamma\) 具有连续可微参数向量方程 \(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)(\alpha \leqslant t \leqslant \beta)\), 并且参数 \(t\) 的增加对应着 \(\Gamma\) 的定向,那么有
和上一节一样的道理，有了参数方程以后，曲线上的分点对应到参数区间的分点，再对\(\Delta r_i\)用中值定理作一些处理即可。细节不建议深究。
另一种形式
令 \(\boldsymbol{r}=(x, y, z)\) 表示曲线 \(\Gamma\) 上的径向量, 那么 \(\mathrm{d} \boldsymbol{r}=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z)\). 设 \(\boldsymbol{F}=\) \((P, Q, R)\)
注意此时P，Q，R已经是展布在曲线上的标量函数
,于是
\[\boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z \]因此, 第二型曲线积分 (2) 又有一种记法:
\[\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z \]计算
和(3)式相对应，我们有