2008
T4 \(f(x)\) 单调有界
- \(\{x_n\}\) 收敛,则 \(\{f(x_n)\}\) 收敛:错误,反例如 \(f(x)=\begin{cases}1&,\,x\geqslant 0\\-1&,\,x<0\end{cases},\,x_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\)
- \(\{x_n\}\) 单调,则 \(\{f(x_n)\}\) 收敛:正确,\(\{f(x_n)\}\) 单调有界
- \(\{f(x_n)\}\) 收敛,则 \(\{x_n\}\) 收敛:错误,反例如 \(f(x)=\arctan x,\,x_n=n\)
- \(\{f(x_n)\}\) 发散,则 \(\{x_n\}\) 收敛:错误,反例如 \(f(x)=\arctan x,\,x_n=n\)
T8 \(|\rho_{XY}|=1\) 反映 \(X,\,Y\) 的线性关系,\(\rho_{XY}=1\) 则 \(P\{Y=aX+b\}=1\) 有 \(a>0\),\(\rho_{XY}=-1\) 则相反
T9 微分方程目前真题没见到需要考虑定义域的,李林有定义域并限制在 \((0,\,\pi)\) 的为2022-李林6-4(式中有\(\cot x\)),定义域并未限制在一个区间的为108的微分方程T1(虽然分母也有 \(\sin x\)),做到就随缘算了(大题凭后续题型的感觉,小题不带拉倒)
T18 利用定义证明 \(F^{'}(x)=f(x)\),积分中值定理还是可以用的;证明周期函数积分周期性 \(\int_x^{x+T}=\int_0^{x+T}-\int_0^x=\int_0^T+\int_T^{x+T}-\int_0^x=\int_0^T\)
T22 规范起见,求 \(F_Z(z)\) 从全概率公式 \(P\{Z\leqslant z|X=0\}P\{X=0\}+\cdots\) 写起
2009
T4 如何证明正项级数 \(\sum a_n\) 收敛 \(\Rightarrow \sum a^2_n\) 收敛?比值审敛法 \(\dfrac{a_n^2}{a_n}\rightarrow 0\)
T5 \(C=\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}\),则 \(C^T=\begin{pmatrix}A^T&O\\O&B^T\end{pmatrix},\,C^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{pmatrix},\,C^*=\begin{pmatrix}|B|A^*&O\\O&|A|B^*\end{pmatrix}\)
\(C=\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}\),则 \(C^T=\begin{pmatrix}O&B^T\\A^T&O\end{pmatrix},\,C^{-1}=\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix},\,C^*=\begin{pmatrix}O&|A|B^*\\|B|A^*&O\end{pmatrix}\)
T7 \(F(x)=a\Phi(\dfrac{x-\mu_1}{\sigma_1})+b\Phi(\dfrac{x-\mu_2}{\sigma_2})\),并不意味着 \(X\sim N(a\mu_1+b\mu_2,\,a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)\) 。期望可相加,方差并不行
T10 注意 \(\lambda_1=\lambda_2=1\) 特征方程不是 \(\lambda^2-1=0\)。另外回忆一下 \(\dfrac1{F(D)}P(x)\) 类型的微分算子法怎么做
T18 常数 \(K\) 值法
- 第一类:令 \(f^{'}(\xi)=K\),将 \(b\) 换成 \(x\),构造 \(F(x)\)
- 第二类:令 \(f^{'}(\xi)=K\),将 \(a\) 和 \(b\) 对称地分离到等式两边,即 \(F(a)=F(b)\)
2010
T3 在 \(0\rightarrow\dfrac12\) 和 \(\dfrac12\rightarrow1\) 上分别讨论积分敛散性,常用①本身极限是否存在;②除以 \(\dfrac1{x^p}\) 或 \(\dfrac1{(1-x)^p}\) 判断极限是否存在;两种方法判定
T14 \(\sum\dfrac{k^2}{k!}\) 级数:没必要构造幂级数,直接凑 \(\mathrm{e}\) 就好了
T15 记忆发生了错乱?\(\dfrac1{F(D)}\mathrm{e}^{kx}P(x)=\mathrm{e}^{kx}\dfrac1{F(D+k)}P(x)\),这里是 \(+k\),就当是分母多了个 \(\mathrm{e}^{kx}\) 好了
T19 求一个根本画不出图的曲面积分,一般就是投影了。这里是隐函数求 \(\dfrac{\part z}{\part x}\) 和 \(\dfrac{\part z}{\part y}\),绕了一下,所以没看出来
T21 记忆发生了错乱?\(A=\dfrac{a-b}{\alpha_1^T\alpha_1}\alpha_1\alpha_1^T+bE\),肯定是 \(+bE\),想想这个公式是怎么来的(\(A-bE\) 的特征值)
T22 二维正态分布的形式还是要认识的:\(f(x,\,y)=\dfrac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\mathrm{e}^{-\tfrac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\tfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\tfrac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\tfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]}\)
2011
T1 判断拐点:\(f^{(n)}(x_0)\neq 0,\,f^{(n-1)}(x_0)=\cdots=f^{''}(x_0)=0\),则 \(n\) 奇为拐点,\(n\) 偶非拐点;此外也可用画图法:从右往左画,奇穿偶不穿
T10 微分算子法(但非常系数的一阶微分方程应该是用不了的):\(y^*=\dfrac{1}{D+1}\mathrm{e}^{-x}\cos x=\mathrm{e}^{-x}\dfrac1D\cos x=\mathrm{e}^{-x}\sin x\)
T12 斯托克斯公式有时候可以保留 \(\cos\) 形式(或早些用它换掉),往往有 \(\dfrac1{\sqrt{3}}\,\mathrm{d}S\) 类似的形式可以直接换成 \(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)
T21 特!征!向!量!记!得!加! \(k\) !
T22 求二维变量 \((X,\,Y)\) 的概率密度:只要不是时间来不及,每个概率都用算式算出来。最后的分布表中 \(X\) 竖 \(Y\) 横
2012
T3 极限存在 \(\overset{?}\Rightarrow\) 可微;可微 \(\overset{?}\Rightarrow\) 极限存在的题型怎么做?
T6 另外一种经典解法:\(AQ=Q\begin{pmatrix}1&&\\&1&\\&&2\end{pmatrix}\)
T7 记忆发生了错乱?\(X\sim E(\lambda)\),\(f(x)\) 是 \(\lambda{\rm e}^{-\lambda x}\),\(F(x)\) 才是 \(1-{\rm e}^{-\lambda x}\)
T10 区间再现、区间化简,以及一个经典结论:\(\displaystyle\int_a^b\sqrt{(x-a)(b-x)}\,{\rm d}x=\dfrac{(b-a)^2}{8}\pi\)
T11 \(\nabla f\) 用 \(\boldsymbol{i},\,\boldsymbol{j},\,\boldsymbol{k}\),不要用 \((x,\,y,\,z)\)
T17 易错:幂级数,\(S(0)\) 并不总是 \(0\),一定要严格算一下
2013
T13 \(a_ij=A_ij\),包括两个条件:\(A^T=-A^*\),\(|A|=-(a^2_{11}+a^2_{12}+a^2_{13})<0\Rightarrow |A|=-1\)
T14 常用结论:指数分布的无记忆性 \(P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\}\)
T20 题型:存在矩阵 \(C\) 使得 \(AC-CA=B\) —— 设 \(C\) 后列方程,为方程组有解的题
2014
T6 傅里叶级数均方逼近:\(f(x)\subset[-\pi,\,\pi],\,T_n=\displaystyle\dfrac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}a_k\cos kx+b_k\sin kx\)
则当 \(a_n,\,b_n\) 为 \(f(x)\) 的傅里叶系数时, \(I=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}[f(x)-T_n(x)]^2\,{\rm d}x\) 最小
T11 记忆发生了错乱?\(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=f(\dfrac{y}{x})=f(u)\Rightarrow\dfrac{{\rm d}u}{f(u)-u}=\dfrac{{\rm d}x}{x}\),注意是 \(f(u)-u\) —— 如 \(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=0\Rightarrow u=\dfrac{{\rm C}}{x}\),对应微分方程即 \(\dfrac{{\rm d}u}{-u}=\dfrac{{\rm d}x}{x}\)
T12 柱面与斜平面的交线————本身并不是圆,投影才是圆,类似题目 \(\displaystyle\iint_\Sigma\,{\rm d}S\) 不要直接算面积,投影一下再算
T15 易错:含有积分的极限,洛必达的时候,不含积分的分子(母)不要忘了求导
T18 第(II)类积分,投影、格林、高斯、斯托克斯 —— 注意正负号
T21 \(r(A)=1\nRightarrow \lambda=0,\,0,\,\cdots,\,0,\,k\) —— 注意只有可对角化才能这么做
T23 大数定律、概率收敛,考前看看书
2015
T3 \(\sum|a_n|\) 发散 \(\nRightarrow\) \(\sum a_nx^n\) 在 \(x=-1\) 处收敛,因为 \(\sum a_nx^n\) 可能是缺项的,若 \(a_{2k-1}\equiv 0\),那么 \(\sum a_n(-1)^n\) 仍将发散
T22 几何分布相关:对 \(X\) 独立重复观测,观测到第 \(2\) 个大于 \(3\) 的观测值出现时停止,\(Y\) 为观测次数,求 \(EY\)
可以利用两个几何分布:开始 \(\rightarrow\) 第一次出现为 \(Y_1\),第一次出现 \(\rightarrow\) 第二次出现为 \(Y_2\),则 \(Y=Y_1+Y_2\),且 \(Y_{1,\,2}\sim Ge(p)\)
2016
T4 \(f(x)=\begin{cases}x&,\,x\leqslant 0\\\dfrac1n&,\,\dfrac1{n+1}<x\leqslant\dfrac1n\end{cases}\) 在 \(x=0\) 处可导,\(\dfrac1{n+1}<x\leqslant\dfrac1n\) 时,\(1\leqslant\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\frac1n}{x}<\dfrac{n+1}{n}\rightarrow 1\)
T8 \(D(Y_1+Y_2)=D(1-Y_3)\),原来超越的题源在这
T14 区间估计估 \(\mu\),区间是对称的(正态分布,\(t\) 分布图像都对称);估 \(\sigma^2\) 则不对称,左除 \(\chi^2_{\frac\alpha2}(n-1)\),右除 \(\chi^2_{1-\frac\alpha2}(n-1)\)
T16 微分方程计算 \(y(x)\) 积分,常用微分方程将 \(y\) 换成其导数形式,直接消去积分
T19 \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_{n+1}-a_n|\) 绝对收敛,已经足以说明 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\) 存在:利用 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty} (a_{n+1}-a_1)\) 存在
T22 全概率永远是可以用的,但作为不独立的 \(U,\,X\),错在条件概率的分子上 \(P(AB)\neq P(A)P(B)\):
\(P\{U+X\leqslant z\ |\ U=0\}P\{U=0\}=\dfrac{P\{U+X\leqslant z,\,U=0\}}{P\{U=0\}}P\{U=0\}=P\{X\leqslant z,\,U=0\}\neq P\{X\leqslant z\}P\{U=0\}\)
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