数学一真题

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2008

T₄ \(f(x)\) 单调有界

• \(\{x_n\}\) 收敛，则 \(\{f(x_n)\}\) 收敛：错误，反例如 \(f(x)=\begin{cases}1&,\,x\geqslant 0\\-1&,\,x<0\end{cases},\,x_n=\dfrac{(-1)^n}{n}\)
• \(\{x_n\}\) 单调，则 \(\{f(x_n)\}\) 收敛：正确，\(\{f(x_n)\}\) 单调有界
• \(\{f(x_n)\}\) 收敛，则 \(\{x_n\}\) 收敛：错误，反例如 \(f(x)=\arctan x,\,x_n=n\)
• \(\{f(x_n)\}\) 发散，则 \(\{x_n\}\) 收敛：错误，反例如 \(f(x)=\arctan x,\,x_n=n\)

T₈ \(|\rho_{XY}|=1\) 反映 \(X,\,Y\) 的线性关系，\(\rho_{XY}=1\) 则 \(P\{Y=aX+b\}=1\) 有 \(a>0\)，\(\rho_{XY}=-1\) 则相反

T₉ 微分方程目前真题没见到需要考虑定义域的，李林有定义域并限制在 \((0,\,\pi)\) 的为2022-李林6-4（式中有\(\cot x\)），定义域并未限制在一个区间的为108的微分方程T₁（虽然分母也有 \(\sin x\)），做到就随缘算了（大题凭后续题型的感觉，小题不带拉倒）

T₁₈ 利用定义证明 \(F^{'}(x)=f(x)\)，积分中值定理还是可以用的；证明周期函数积分周期性 \(\int_x^{x+T}=\int_0^{x+T}-\int_0^x=\int_0^T+\int_T^{x+T}-\int_0^x=\int_0^T\)

T₂₂ 规范起见，求 \(F_Z(z)\) 从全概率公式 \(P\{Z\leqslant z|X=0\}P\{X=0\}+\cdots\) 写起

2009

T₄ 如何证明正项级数 \(\sum a_n\) 收敛 \(\Rightarrow \sum a^2_n\) 收敛？比值审敛法 \(\dfrac{a_n^2}{a_n}\rightarrow 0\)

T₅ \(C=\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}\)，则 \(C^T=\begin{pmatrix}A^T&O\\O&B^T\end{pmatrix},\,C^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{pmatrix},\,C^*=\begin{pmatrix}|B|A^*&O\\O&|A|B^*\end{pmatrix}\)

\(C=\begin{pmatrix}O&A\\B&O\end{pmatrix}\)，则 \(C^T=\begin{pmatrix}O&B^T\\A^T&O\end{pmatrix},\,C^{-1}=\begin{pmatrix}O&B^{-1}\\A^{-1}&O\end{pmatrix},\,C^*=\begin{pmatrix}O&|A|B^*\\|B|A^*&O\end{pmatrix}\)

T₇ \(F(x)=a\Phi(\dfrac{x-\mu_1}{\sigma_1})+b\Phi(\dfrac{x-\mu_2}{\sigma_2})\)，并不意味着 \(X\sim N(a\mu_1+b\mu_2,\,a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)\) 。期望可相加，方差并不行

T₁₀ 注意 \(\lambda_1=\lambda_2=1\) 特征方程不是 \(\lambda^2-1=0\)。另外回忆一下 \(\dfrac1{F(D)}P(x)\) 类型的微分算子法怎么做

T₁₈ 常数 \(K\) 值法

• 第一类：令 \(f^{'}(\xi)=K\)，将 \(b\) 换成 \(x\)，构造 \(F(x)\)
• 第二类：令 \(f^{'}(\xi)=K\)，将 \(a\) 和 \(b\) 对称地分离到等式两边，即 \(F(a)=F(b)\)

2010

T₃ 在 \(0\rightarrow\dfrac12\) 和 \(\dfrac12\rightarrow1\) 上分别讨论积分敛散性，常用①本身极限是否存在；②除以 \(\dfrac1{x^p}\) 或 \(\dfrac1{(1-x)^p}\) 判断极限是否存在；两种方法判定

T₁₄ \(\sum\dfrac{k^2}{k!}\) 级数：没必要构造幂级数，直接凑 \(\mathrm{e}\) 就好了

T₁₅ 记忆发生了错乱？\(\dfrac1{F(D)}\mathrm{e}^{kx}P(x)=\mathrm{e}^{kx}\dfrac1{F(D+k)}P(x)\)，这里是 \(+k\)，就当是分母多了个 \(\mathrm{e}^{kx}\) 好了

T₁₉ 求一个根本画不出图的曲面积分，一般就是投影了。这里是隐函数求 \(\dfrac{\part z}{\part x}\) 和 \(\dfrac{\part z}{\part y}\)，绕了一下，所以没看出来

T₂₁ 记忆发生了错乱？\(A=\dfrac{a-b}{\alpha_1^T\alpha_1}\alpha_1\alpha_1^T+bE\)，肯定是 \(+bE\)，想想这个公式是怎么来的（\(A-bE\) 的特征值）

T₂₂ 二维正态分布的形式还是要认识的：\(f(x,\,y)=\dfrac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\mathrm{e}^{-\tfrac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\tfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\tfrac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\tfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]}\)

2011

T₁ 判断拐点：\(f^{(n)}(x_0)\neq 0,\,f^{(n-1)}(x_0)=\cdots=f^{''}(x_0)=0\)，则 \(n\) 奇为拐点，\(n\) 偶非拐点；此外也可用画图法：从右往左画，奇穿偶不穿

T₁₀ 微分算子法（但非常系数的一阶微分方程应该是用不了的）：\(y^*=\dfrac{1}{D+1}\mathrm{e}^{-x}\cos x=\mathrm{e}^{-x}\dfrac1D\cos x=\mathrm{e}^{-x}\sin x\)

T₁₂ 斯托克斯公式有时候可以保留 \(\cos\) 形式（或早些用它换掉），往往有 \(\dfrac1{\sqrt{3}}\,\mathrm{d}S\) 类似的形式可以直接换成 \(\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)

T₂₁ 特！征！向！量！记！得！加！ \(k\) ！

T₂₂ 求二维变量 \((X,\,Y)\) 的概率密度：只要不是时间来不及，每个概率都用算式算出来。最后的分布表中 \(X\) 竖 \(Y\) 横

2012

T₃ 极限存在 \(\overset{?}\Rightarrow\) 可微；可微 \(\overset{?}\Rightarrow\) 极限存在的题型怎么做？

T₆ 另外一种经典解法：\(AQ=Q\begin{pmatrix}1&&\\&1&\\&&2\end{pmatrix}\)

T₇ 记忆发生了错乱？\(X\sim E(\lambda)\)，\(f(x)\) 是 \(\lambda{\rm e}^{-\lambda x}\)，\(F(x)\) 才是 \(1-{\rm e}^{-\lambda x}\)

T₁₀ 区间再现、区间化简，以及一个经典结论：\(\displaystyle\int_a^b\sqrt{(x-a)(b-x)}\,{\rm d}x=\dfrac{(b-a)^2}{8}\pi\)

T₁₁ \(\nabla f\) 用 \(\boldsymbol{i},\,\boldsymbol{j},\,\boldsymbol{k}\)，不要用 \((x,\,y,\,z)\)

T₁₇ 易错：幂级数，\(S(0)\) 并不总是 \(0\)，一定要严格算一下

2013

T₁₃ \(a_ij=A_ij\)，包括两个条件：\(A^T=-A^*\)，\(|A|=-(a^2_{11}+a^2_{12}+a^2_{13})<0\Rightarrow |A|=-1\)

T₁₄ 常用结论：指数分布的无记忆性 \(P\{X>s+t|X>s\}=P\{X>t\}\)

T₂₀ 题型：存在矩阵 \(C\) 使得 \(AC-CA=B\) —— 设 \(C\) 后列方程，为方程组有解的题

2014

T₆ 傅里叶级数均方逼近：\(f(x)\subset[-\pi,\,\pi],\,T_n=\displaystyle\dfrac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^{n}a_k\cos kx+b_k\sin kx\)

则当 \(a_n,\,b_n\) 为 \(f(x)\) 的傅里叶系数时， \(I=\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}[f(x)-T_n(x)]^2\,{\rm d}x\) 最小

T₁₁ 记忆发生了错乱？\(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=f(\dfrac{y}{x})=f(u)\Rightarrow\dfrac{{\rm d}u}{f(u)-u}=\dfrac{{\rm d}x}{x}\)，注意是 \(f(u)-u\) —— 如 \(\dfrac{{\rm d}y}{{\rm d}x}=0\Rightarrow u=\dfrac{{\rm C}}{x}\)，对应微分方程即 \(\dfrac{{\rm d}u}{-u}=\dfrac{{\rm d}x}{x}\)

T₁₂ 柱面与斜平面的交线————本身并不是圆，投影才是圆，类似题目 \(\displaystyle\iint_\Sigma\,{\rm d}S\) 不要直接算面积，投影一下再算

T₁₅ 易错：含有积分的极限，洛必达的时候，不含积分的分子（母）不要忘了求导

T₁₈ 第（II）类积分，投影、格林、高斯、斯托克斯 —— 注意正负号

T₂₁ \(r(A)=1\nRightarrow \lambda=0,\,0,\,\cdots,\,0,\,k\) —— 注意只有可对角化才能这么做

T₂₃ 大数定律、概率收敛，考前看看书

2015

T₃ \(\sum|a_n|\) 发散 \(\nRightarrow\) \(\sum a_nx^n\) 在 \(x=-1\) 处收敛，因为 \(\sum a_nx^n\) 可能是缺项的，若 \(a_{2k-1}\equiv 0\)，那么 \(\sum a_n(-1)^n\) 仍将发散

T₂₂ 几何分布相关：对 \(X\) 独立重复观测，观测到第 \(2\) 个大于 \(3\) 的观测值出现时停止，\(Y\) 为观测次数，求 \(EY\)

​ 可以利用两个几何分布：开始 \(\rightarrow\) 第一次出现为 \(Y_1\)，第一次出现 \(\rightarrow\) 第二次出现为 \(Y_2\)，则 \(Y=Y_1+Y_2\)，且 \(Y_{1,\,2}\sim Ge(p)\)

2016

T₄ \(f(x)=\begin{cases}x&,\,x\leqslant 0\\\dfrac1n&,\,\dfrac1{n+1}<x\leqslant\dfrac1n\end{cases}\) 在 \(x=0\) 处可导，\(\dfrac1{n+1}<x\leqslant\dfrac1n\) 时，\(1\leqslant\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\frac1n}{x}<\dfrac{n+1}{n}\rightarrow 1\)

T₈ \(D(Y_1+Y_2)=D(1-Y_3)\)，原来超越的题源在这

T₁₄ 区间估计估 \(\mu\)，区间是对称的（正态分布，\(t\) 分布图像都对称）；估 \(\sigma^2\) 则不对称，左除 \(\chi^2_{\frac\alpha2}(n-1)\)，右除 \(\chi^2_{1-\frac\alpha2}(n-1)\)

T₁₆ 微分方程计算 \(y(x)\) 积分，常用微分方程将 \(y\) 换成其导数形式，直接消去积分

T₁₉ \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty|a_{n+1}-a_n|\) 绝对收敛，已经足以说明 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty} a_n\) 存在：利用 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty} (a_{n+1}-a_1)\) 存在

T₂₂ 全概率永远是可以用的，但作为不独立的 \(U,\,X\)，错在条件概率的分子上 \(P(AB)\neq P(A)P(B)\)：

\(P\{U+X\leqslant z\ |\ U=0\}P\{U=0\}=\dfrac{P\{U+X\leqslant z,\,U=0\}}{P\{U=0\}}P\{U=0\}=P\{X\leqslant z,\,U=0\}\neq P\{X\leqslant z\}P\{U=0\}\)

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