2023-李艳芳三套卷-数学一

2023-李艳芳3(1)-1

T₁ \(\sqrt{x+\sqrt{x}}\nsim \sqrt{x},\,\tan(x+\sqrt{x})\nsim x\)，直接无脑令 \(\sqrt{x}=t\) 出错可能性会小一点

T₃ \(\displaystyle\int_0^{\frac1n}\dfrac{x^p}{1+x^q}\,\mathrm{d}x\)，直接在积分上放缩，不要先用中值定理。如 \(p>0\) 时 \(\displaystyle\int_0^{\frac1n}\dfrac{x^p}{1+x^q}\,\mathrm{d}x\leqslant\int_0^{\frac1n}x^p\,\mathrm{d}x=\dfrac1{p+1}\cdot\dfrac1{n^{p+1}}\)

T₆ \(\beta\) 和 \(\alpha,\,A\alpha\) 都正交，且 \(\alpha,\,A\alpha\) 线性无关：\(\beta\) 为方程组 \(\begin{pmatrix}\alpha\\A\alpha\end{pmatrix}x=0\) 的基础解系。本题条件下因为 \(A\beta\) 也是方程组的一解，故与 \(\beta\) 不正交

T₈ \(F_X(x)\) 间断点，即 \(P\{X=c\}>0\)。故 \(F_{XY}\) （XY独立）的间断点即 \(P\{XY=c_1c_2\}=P\{X=c_1\}P\{Y=c_2\}>0\)，讨论 \(c_1,\,c_2\) 取值即可

T₁₀ H₀：普通骰子；H₁：灌铅骰子

• 第一类错误：是普通骰子，但在拒绝域内（拒绝假设“它是普通骰子”）；第二类错误：是灌铅骰子，但在拒绝域外（接受假设“它是普通骰子”）
• “此检验法是一个显著性水平为 \(0.01\) 的检验法则”：只要 \(\alpha<0.01\) 就是满足要求的检验法则，如这里 \(\alpha=\dfrac1{6^3}=\dfrac1{216}<0.01\)

T₁₁ 所谓艺高人胆大，分母里这种 \(\sin^2n=o(k)\) 的低次项是可以直接扔掉的（和原式作差求和，趋向于 \(0\)）

T₁₃ \(\sum a_nx^n+\sum b_nx^n\)，收敛半径 \(R_1=R_2=R_0\) 时，整体的 \(R\) 是有可能大于 \(R_0\) 的。但这里可以通过 \(x=R_0\) 时发散来说明 \(R\) 就是 \(R_0=1\)

T₁₅ 利用特征向量来表示一个未知向量：\(\alpha=k_1\xi_1+k_2\xi_2+k_3\xi_3+k_4\xi_4\)，于是就可以较方便地观察 \(A\alpha\) 等式子的性质

T₁₆ 二维的期望，无论是什么复杂的关系式，都是 \(\displaystyle\iint_\Omega z(x,\,y)f(x,\,y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)，直接求就行了

T₁₇ 分段函数有连续的导函数：①分段点连续 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\)；②分段点可导 \(f^{'}_{+}(a)=f^{'}_{-}(a)\)；③分段点导函数连续 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a} f^{'}(x)=f^{'}(a)\)

T₁₉ 据说投影到 \(yOz\) 面更好算。不管怎样，尤其要注意的是 \(\displaystyle\iint_\Sigma\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\pm\iint_D\mathrm{d}x\mathrm{d}y\) 的符号，格林、高斯、斯托克斯的也是如此

T₂₀ 说明反常积分敛散性的规范：找出瑕点 \(a\)，在 \(x\rightarrow a\) 时，说明原积分与新积分同敛散。多个瑕点就拆成多段积分做

• 第二问则是弦切不等式：若是凹函数，\(f(\dfrac{a+b}2)+f^{'}(\dfrac{a+b}2)\left(x-\dfrac{a+b}2\right)< f(x)< f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)；凸函数反之

T₂₁ 和T₁₅思想是一样的（所以我都没做出来），\(\xi=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\)，然后 \(\xi^TA\xi\) 和 \(\xi^T\xi\) 就好表示了。第二问倒是相对好想，即已知 \(\Lambda\)，求 \(A,\,B\)

T₂₂ 感觉可以当结论记下来，\(X-\beta\sim E(\lambda)\)，则 \(E\hat\beta=\beta+\dfrac1{n\lambda}\)，还挺好看（doge）