2022-李艳芳三套卷-数学一

2022-李艳芳3(1)-1

T₆ \(A\) 的零化多项式 \(f(\lambda)=0\) 无重根，则 \(A\) 可对角化

T₉ \(X,\,Y\)独立，充要条件是 \(X,\,Y\) 的联合分布两行成比例

T₁₁ Stolz定理

T₁₄ 做功、通量的数学表达式

T₁₄ 第II类曲线、曲面积分，注意符号（虽然往往是正向，但一定不能没考虑到）

T₁₉ 多元函数洛必达？还是优先选择固定一边后用拉格朗日中值定理或偏导数定义好一些

T₂₂ 概率题的 \(X_1,\,X_2,\cdots,\,X_n\) 中最小项、最大项 —— 说白了就是一个变量，分布很好求

2022-李艳芳3(1)-2

T₂ \(\dfrac{1}{\ln^mx(1+x^n)}\) 的积分敛散性（\(1<x<2\) 和 \(2<x<+\infty\)）

T₄ \(\sum a_n\) 收敛，未必可知 \(n\cdot a_n\) 趋向于 \(0\)（反例：\(\frac{1}{n^2}\) 调整部分项位置）

T₄ 级数敛散性判断，灵活使用基本不等式处理根号、平方等算式

T₁₀ \(EX,\,DX,\,ES^2\) 都有公式，那么 \(DS^2\) 怎么处理呢 —— \(D\left[\dfrac{n-1}{\sigma^2}S^2\right]=2(n-1)\)
T₁₁ 易错：多元函数极值问题，把变量 \(x,\,y\) 除到分母上之前，注意讨论它们等于0的情况

T₁₄ 格林公式，高斯公式 —— 不能用的时候想得到，能用的时候却想不到（狗头）

T₁₅ 已知矩阵 \(A\) 各行之和以及行列式 \(|A|\) 的值，如何构造符合条件的 \(A\)？构造上（下）三角矩阵即可

T₁₅ 已知矩阵 \(A\) 各行之和 \(\Rightarrow\) \(A\) 的特征值/特征向量 \(\Rightarrow\) \(A^*\) 的特征值/特征向量/各行和

T₁₅ 矩阵 \(B(t)=(a_{ij}+t)\) ，求 \(|B|\) —— 拆成 \(|A|\) 和多个 \(A\) 的一列换成 \(t\) 的行列式之和

T₁₆ 泊松分布近似二项分布——\(B(n,\,p)\)近似成 \(P(np)\)

T₁₉ 方向导数的线积分，写成点乘向量的形式 \((\part, \part)\cdot l^0 \,{\rm d}s\)，转化成第二类线积分（\({\rm d}x=\cos\theta \,{\rm d}s, \,{\rm d}y=\sin\theta \,{\rm d}s\)）

T₂₀ 证明 \(f(x)\) 的 \(n\) 阶导数满足某个微分方程——构造 \(f,\, f^{'},\, f^{''}\) 的等式，对等式两边求高阶导

T₂₀ 求级数构造 \(S(x)\) 时，不一定要 \(∑a_nx^n\)，也可以是多个幂级数之和 \(∑a_nx^n+b_nx^n\)

T₂₁ \(A\) 有特征向量 \(\alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3\)，\(\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)，必然涉及到 \((\beta,\, A\beta,\, A^2\beta)\) 与 \(A(\beta,\, A\beta,\, A^2\beta)\)

T₂₁ 计算矩阵 \(A\) 各列元素之和，即 \((1,\, 1,\, 1)A\)，避免矩阵间的复杂运算（行即右乘转置）

T₂₂ 已知 \(X\) 分布，\(Y|X\) 分布，求 \(f(x,\, y)\)，需要验证 \(\iint f(x, \,y) \,{\rm d}x {\rm d}y=1\)，才能延拓到整个平面

T₂₂ 已知 \(f(x,\, y)\)，求 \(EY\)。需要先积出 \(f(y)\)，再积出\(EY\)，为二重积分，故 \(f(y)\) 也可以保留积分形式待后面换序做

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T₃ 球体的 \(\iiint x^2\,{\rm d}\upsilon\)再复习一下，别忘了 \(\pi\)，别忘了 \(5\) 次方（2022-李林6-5）

T₄ 幂级数相乘（相加），收敛半径 \(R\geqslant min\{R_1,\,R_2\}\)；相除一般 \(R\leqslant min\{R_1,\,R_2\}\)

T₅ \(tr(AA^T)=\sum a^2_{ij}\geqslant 0\)，当仅当 \(A=O\) 时取等号（考察的是：特征值 $ \lambda$ 不一定 \(\in R\)，故 \(\lambda^2\ngeqslant 0\)）

T₆ 矩阵行和为 \(k\) —— 特征值 \(k\) 与特征向量 \((1,\,1,\,1)^T\)

• 矩阵列和为 \(0\)，\(A^*\) 列都是 \(k_i(1,\,1,\,1)^T\)
• 行列和均为 \(0\)，\(A^*\) 每个元素都相等

T₇ 多平面交于一点 —— 方程组解的问题（同时可以参考880解析203页）

T₁₀ 已知 \(S^2\) 和 \(\bar{X}\) 的二阶矩估计为 \(EX^2=DX+(EX)^2=\frac{(n-1)S^2}{n}+\bar{X}^2\)（只知道具体 \(x\) 值的，见2022-李林6-4）

T₁₇ 求 \(f\) 在点 \(P\) 处方向导数最大值——“为 \(P\) 点处梯度的模”（法向量方向的方向导数呢？\(\pm |\nabla f|\)）

T₁₉ \(\int f(x)\,{\rm d}x=0\)，\(\int f(x)g(x)\,{\rm d}x=0\) 处理 —— 构造 \(F(x)\)，对第二个积分分部 —— \(g'(\xi)F(\xi)=0\)

T₂₁ 二次型 \(f(x_1,\,x_2,\,\cdots,\,x_n)=\sum(x_i-\bar{x})\)，对应矩阵为 \(A=E-\frac{1}{n}(1,\,1,\,\cdots,\,1)(1,\,1,\,\cdots,\,1)^T\)，秩为 \(n-1\)

T₂₁ 向量组构成几维子空间？对加法和数乘封闭 + 含零向量 \(\Rightarrow\) 构成 \(k\) 维子空间

T₂₂ 计算 \(\int x^2 {\rm e}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\,{\rm d}x\) —— 结合正态分布的 \(EX^2=DX+(EX)^2\) 计算