2022-李艳芳三套卷-数学三

2022-李艳芳3(3)-1

T₃ 比较几个值的大小，也有可能是二重积分 —— \(\displaystyle\sqrt{2\pi(1-{\rm e}^{-1})}=\sqrt{\iint_{x^2+y^2\leqslant 2}{\rm e}^{-\frac{x^2+y^2}{2}}\,{\rm d}x{\rm d}y}\)，这种形式是 \({\rm e}^{-\frac{r^2}{2}}\) 二重积分的结果，要能认识

T₄ 经典的级数收敛性证明 —— 正项级数，\(\sum a_n^2\) 收敛，则有 \(\sum \dfrac{a_n}{n}\leqslant\sum\left[\dfrac{1}{2}\left(a_n^2+\dfrac{1}{n^2}\right)\right]\) 收敛

T₄ 经典的级数问题反例 —— 正项级数，\(\sum a_n^2\) 收敛，\(\sum (-1)^na_n\) 不一定收敛，反例是奇偶项不同的数列 \(\{\dfrac{1}{2n},\,\dfrac{1}{n}\}\)，求和还有 \(\dfrac{1}{n}\) 项

T₇ 正交矩阵 \(A,\,B\)，具有下列常见结论：

• \(|A|=\pm1\)
• \(\alpha^T\alpha=\alpha^TA^TA\alpha=(\lambda\alpha)^T(\lambda\alpha)=\lambda^2\alpha^T\alpha\)，因此 \(A\) 的实特征值只能是 \(\pm1\)
• 若 \(|A|=-|B|\)，则 \(|A+B|=|BB^TA+BA^TA|=|B||(A+B)^T||A|=-|A+B|\)，\(A+B\) 必定不可逆

T₁₄ 含积分的洛必达极限题，可考虑对积分进行一定计算（如分部）后再洛必达

T₁₈ 积分区域对称，积分函数只有 \(x\) 或 \(y\)，诱导你使用 \(r\cos\theta\) 或 \(r\sin\theta\) 算的（尤其是一个圆），轮换对称不要忘记考虑！

T₂₀ 易错：\(\displaystyle R=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right|\) —— 当仅当 \(\displaystyle \rho=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|\neq 0\) 时，才有 \(R=\dfrac{1}{\rho}\)；\(\rho=0\) 的时候就只能用比值法算 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\dfrac{u_n}{u_{n+1}}\right|\)

T₂₂ 在任意长为 \(t\) 的时间内发生故障的次数 \(N(t)\) 服从 \(P(\lambda t)\)，求两次故障间隔时间 \(T\) 的概率分布 —— \(P\{T\geqslant t\}=\dfrac{(\lambda t)^0}{0!}{\rm e}^{-\lambda t}\)

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T₁ 不动点法

• 一阶递推 \(\lambda\)，则 \(a_n=C\lambda^n\)，大题 \(a_{n+1}-k=\lambda(a_n-k)\)
• 二阶递推 \(\lambda_1,\,\lambda_2\)，则 \(a_n=C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n\)，大题 \(a_{n+2}-\lambda_2a_{n+1}=\lambda_1(a_{n+1}-\lambda_2a_n)\)，\(\lambda_1,\,\lambda_2\) 互换也一样

T₅ \(A_{n\times m}B_{m\times r}=O\)，则 \(r(A)+r(B)\leqslant m\)

T₆ 灵活使用 \(tr\)：\(tr(XY)=tr(YX)\)，对于二阶方阵可设 \(XY-YX=\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}\)，平方恰好是 \(kE\)

T₇ 任意可逆阵 \(P\)，\(P^TP\) 正定

T₇ 任意正定阵 \(A\)，\(A=Q^TQ\)（\(P^TAP=E\)），那么 \(AB=Q_1^TQ_1Q_2^TQ_2,\,Q_2(AB)Q^{-1}_2=(Q_1Q_2)^T(Q_1Q_2)\)，\(AB\) 要是对称就能正定

T₁₀ 几何分布 \(X\sim Ge(p)\)，有 \(EX=\dfrac{1}{p},\,EX^2=\dfrac{2-p}{p^2},\,DX=\dfrac{1-p}{p^2}\)

T₁₂ 求函数在某个点的偏导数，注意此时其他自变量可以直接代入那个点的值，从而简化运算

T₁₆ \(F(x,\,y)\) 在 \(-\infty\) 趋于 \(0\)，是 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}F(x,\,y)=\lim_{y\rightarrow-\infty}F(x,\,y)=0\)，而不需要 \(x\rightarrow-\infty\) 且 \(y\rightarrow-\infty\)

T₂₂ 均匀分布 \(X\sim U(0,\,\theta)\)，经典的 \(\hat{\theta}=max\{\}\)，而它的期望是偏的 —— \(E\hat\theta=\dfrac{n}{n+1}\theta\)

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T₁₆ \(f(x,\,y)\) 可拆分成 \(\varphi_1(x)\cdot\varphi_2(y)\)，则 \(X,\,Y\) 独立

T₂₁ 二次型 \(f(x_1,\,x_2,\,x_3)\) 转化为 \(g(y_1,\,y_2,\,y_3)\) —— 合同变换，\(P_2^TP_1^TAP_1P_2=\Lambda=Q_2^TQ_1^TBQ_1Q_2\)，那么 \(P\) 就等于 \(P_1P_2Q^{-1}_2Q_1^{-1}\)

T₂₂ 细棒随机分为三段，第一段长 \(X\)，第二段长 \(Y\)，则 \((X,\,Y)\) 二维变量均匀分布，显然不应该是 \(X\) 单个的均匀分布