2023-李林六套卷-数学一

2023-李林6-1

T₁₁ 恒等变换 \(\arctan\dfrac{1+x}{1-x}=\dfrac\pi4+\arctan x\)，另外再补充一个 \(\arctan x+\arctan\dfrac1x=\begin{cases}\frac\pi2&,\,x>0\\-\frac\pi2&,\,x<0\end{cases}\)

T₁₄ 第二类积分的对称性

T₁₉ 华莱士公式的证明：\(\displaystyle I_{n}=\int_0^{\frac{\pi}2}\cos^nx\,\mathrm{d}x=\cos^{n-1}x\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}2}+\int_0^{\frac{\pi}2}(n-1)\cos^{n-2}x\sin^{2}x\,\mathrm{d}x=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\)

T₂₁ 已知 \(Q^TAQ=\Lambda\)，求 \(B^2=A\)：开方 \(B^2=Q\Lambda Q^T=Q\sqrt{\Lambda}Q^TQ\sqrt{\Lambda}Q^T=(Q\sqrt{\Lambda}Q^T)^2\)，和去年的求 \(P^TP=A\) 是一样的

2023-李林6-2

T₂ 弦切不等式：若是凹函数，\(f(\dfrac{a+b}2)+f^{'}(\dfrac{a+b}2)\left(x-\dfrac{a+b}2\right)< f(x)<f(a)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)；凸函数反之

T₇ 已知 \(Ax=b\) 通解为 \(k\xi+\eta\)，则 \(\beta\) 是哪个方程组的解：用 \(\xi,\,\eta\) 表示 \(\beta\)，\(A\beta=A(m\xi+n\eta)=0+nb\)

T₈ \(P_1,\,P_2,\,P_3\) 共线且不重合：即 \(OP_1,\,OP_2,\,OP_3\) 共面但不共线

T₁₀ \(\chi^2(2)\Leftrightarrow E(\dfrac12)\)。证明在2019超越卷-4

T₁₂ 极坐标下旋转体表面积 \(\mathrm{d}S=2\pi r\sin\theta\sqrt{r^2+(r^{'})^2}\,\mathrm{d}\theta\)，体积 \(\mathrm{d}V=2\pi r\sin\theta\cdot\mathrm{d}r\cdot r\mathrm{d}\theta\)

T₁₃ \(\displaystyle\iiint_\Omega z^2\,{\rm d}v=\frac{4πR^5}{15},\,\iiint_{\Omega_{上}} z\,{\rm d}v=\frac{πR^4}{4}\)

T₁₄ 梯度场无旋 \(\nabla \times(\nabla\varphi)=(\nabla\times\nabla)\varphi=0\varphi=0\)，旋度场无源 \(\nabla\cdot(\nabla\times A)=(\nabla\times\nabla)\cdot A=0\cdot A=0\)

T₂₀ 格林公式，高斯公式适用条件：\(P,\,Q,\,R\) 偏导数连续

T₂₁ \(Q^TAQ=\Lambda\) 可推出 \(Q^TA^*Q=\Lambda^*\)： \(Q^TA^*Q=Q^T(Q\Lambda Q^T)^*Q=Q^T(Q^T)^*\Lambda^*Q^*Q=E\Lambda^*E=\Lambda^*\)

T₂₂ \(X\sim N(0,\,\sigma^2)\)，则 \(E|X|=\sqrt{\dfrac{2}\pi}\sigma,\,D|X|=(1-\dfrac2\pi)\sigma^2\)