2022-李林四套卷-数学一

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2022-李林4-1

T₁₄ \(\iiint(x+y+z)\,\mathrm{d}v\)，注意轮换对称性（另外对于这种一次方的，也要注意能不能用上形心）

T₁₆ \(Y={\rm e}^X\)（或类似的严格单调函数），则关于 \(Y\) 求出的估计量，如 \(\hat{\lambda}(Y)\)，直接将里面的 \(Y_i\) 换成 \({\rm e}^{X_i}\) 就是 \(\hat{\lambda}(X)\)

T₁₉ 求级数和函数的题目，对 \(S(x)\) 求导、积分，每一步结果都写一下当前的收敛域，以免端点处出问题

T₂₂ 卷积 \(f_Z(z)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}|J|f(x,\,y(x,\,z))\,\mathrm{d}x\)，其中 \(Z=X+Y\Rightarrow |J|=1;\,Z=XY\Rightarrow|J|=\dfrac{1}{|X|};\,Z=\dfrac{Y}{X}\Rightarrow|J|=|X|\)

2022-李林4-2

T₇ 秩一矩阵迹为 \(0\) 时，不能相似对角化

T₇ \(A\) 的 \(\lambda=0\) 为二重特征值，则 \(A^*\) 特征值全为 \(0\)

T₈ 泊松分布可加性 —— \(X\sim P(\lambda_1),\,Y\sim P(\lambda_2)\)，则 \(X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)\)

T₁₂ 隐函数求导的公式 \(\dfrac{\part z}{\part x}=-\dfrac{\dfrac{\part(F,\,G)}{\part(t,\,x)}}{\dfrac{\part(F,\,G)}{\part(t,\,z)}}\)（张宇P₂₂₅），而且本题 \(z=z(x,\,y),\,t=t(x,\,y)\)，那么要求 \(\dfrac{\part z}{\part x}\)，答案就只能含 \(x,\,y,\,z\)

T₁₅ 易错：坐标（线代中的），记得加 \(T\)

T₂₁ 规范型顺序亦有规范 —— 先 \(1\) 再 \(-1\) 最后 \(0\)

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好多错题的感觉，卷子是不是有大病（狗头）

T₁₁ 易错：定积分注意奇点

T₁₂ \(\dfrac{a^2}{2}\arcsin \dfrac{x}{a}+\dfrac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\mathrm{C}\)，注意 \(a^2\)，“+”，当然有时间也要从几何算一遍

T₁₃ 奇谐函数 \(f(x)=-f(x+\dfrac{T}{2})\) 傅里叶展开 \(a_n,\,b_n\) 偶次分量为 \(0\)，偶谐函数 \(f(x)=f(x+\dfrac{T}{2})\) 傅里叶展开 \(a_n,\,b_n\) 奇次分量为 \(0\)

T₁₄ 二元函数的二阶泰勒展开（本题余项都是 \(0\) ）

\[f(x,\,y)=f(x_0,\,y_0)+\begin{pmatrix}f_x^{'}|_{(x_0,\,y_0)}&f_y^{'}|_{(x_0,\,y_0)}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{pmatrix}+\dfrac{1}{2!}\begin{pmatrix}x-x_0&y-y_0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_{xx}^{''}|_{(x_0,\,y_0)}&f_{xy}^{''}|_{(x_0,\,y_0)}\\f_{yx}^{''}|_{(x_0,\,y_0)}&f_{yy}^{''}|_{(x_0,\,y_0)}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y_0\end{pmatrix}+o^2 \]

T₂₁ 求在正交变换 \(x=Qy\) 下的标准型 —— 即便没有说求出 \(Q\) ，也要完成这一步（所以正交变换求斜椭圆长短半轴的那道题也慎用）

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T₆ 看到 \(P=(\alpha,\,A\alpha,\,A\alpha^2)\)，就要想到 \(AP=PB\)，有时候题目中也会写成 \(B=P^{-1}AP\)

T₇ \(A\sim B\)，则 \(AB\sim BA\) —— \(BA=A^{-1}ABA\) 。另外还要注意的是 \(A\) 可逆不代表 \(A=P^{-1}\Lambda P\)，满秩阵也未必可相似对角化

T₁₀ 易错：\(Z=\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\)，区间估计，注意这个分母乘过去后是 \(\div \sqrt{n}\)

T₁₃ 极坐标系旋转体体积 \(\mathrm{d}V=2\pi r\sin\theta\cdot\mathrm{d}r\cdot r\mathrm{d}\theta\)，或者 \(\displaystyle V=\dfrac{2\pi}{3}\int_\alpha^\beta r^3\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\)，再不济就把 \(\mathrm{d}x\) 换到 \(\mathrm{d}\theta\)

T₁₈ \(\displaystyle\int \mathrm{e}^{ax}\sin{bx}\,\mathrm{d}x=\dfrac{\left|\begin{matrix}(\mathrm{e}^{ax})^{'}&(\sin bx)^{'}\\\mathrm{e}^{ax}&\sin bx\end{matrix}\right|}{a^2+b^2}+\mathscr{C}=\dfrac{a\sin bx-b\cos bx}{a^2+b^2}\mathrm{e}^{ax}+\mathscr{C}\)

\(\displaystyle\int \mathrm{e}^{ax}\cos{bx}\,\mathrm{d}x=\dfrac{\left|\begin{matrix}(\mathrm{e}^{ax})^{'}&(\cos bx)^{'}\\\mathrm{e}^{ax}&\cos bx\end{matrix}\right|}{a^2+b^2}+\mathscr{C}=\dfrac{a\cos bx+b\sin bx}{a^2+b^2}\mathrm{e}^{ax}+\mathscr{C}\)

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