2022-方浩10-1
本来只打算做小题,但小题仿佛没啥可讲的。。
T16 在 \(X=\dfrac14\) 的条件下,\(Y\) 的条件概率密度函数表达式为 \(f_{Y|X}(y|x=\dfrac14)\) —— 按规范这么写
T18 大题倒是有一道有趣的,求 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\dfrac{f(y_n)-f(x_n)}{y_n-x_n}\),凑导数拆成两部分后,分成两个 \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\) 再加起来的做法是错的,因为它们的极限未必存在
- 正解是 \(f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+[f^{'}(x_0)+\alpha]\Delta x\),其中 \(\alpha\rightarrow 0(\Delta\rightarrow0)\),然后夹逼做(张宇1000题第三章的最后一道)
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T2 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\ \ \exist,\,\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{'''}(x)=0\),问 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{'}(x),\,\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{''}(x)\):利用泰勒,注意到这里是 \(x\rightarrow+\infty\)
- \(f(x+1)\) 展开到 \(f^{'''}(\xi)\),\(f(x-1)\) 展开到 \(f^{'''}(\zeta)\)
- 注意到\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x+1)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x-1)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)\) 以及 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{'''}(\xi)=\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{'''}(\zeta)=0\)
- 取极限即可算出中间的 \(\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{'}(x),\,\lim_{x\rightarrow+\infty}f^{''}(x)\)
T3 函数的平均值:函数通过移动平均后,其对应曲线的起伏变化会变小,也就是曲线被抹平滑了,而平均的区间越长,抹平滑的效果越好
T4 第二类曲线积分的对称性:分析不同象限内 \(\mathrm{d}x\) 或 \(\mathrm{d}y\) 的正负性,结合被积函数对称性来综合判断
T13 秒斜渐近线的时候,不要随手把常数项给扔了,如 \(\dfrac{2x^2}{x+1}\neq 2x\),化简出 \(o(1)\) 才保险
T22 二阶矩估计:原点矩 \(EX^2=\dfrac{(n-1)S^2}{n}+\bar{X}^2\);中心矩 \(DX=S^2\) —— 感觉还是按原点矩来吧
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T3 经典的正项级数 \(\sum a_n\) 收敛 \(\Rightarrow\) \(\sum\dfrac{\sqrt{a_n}}{n}\) 收敛,直接记住为好
T5 \(Ax=b\) 有解 \(\xi_1,\,\xi_2\),则以下向量也是 \(Ax=b\) 解的是?这道题首先是 \((\xi_1,\,\xi_2\ \vdots\ \alpha_1,\,\alpha_2,\,\alpha_3,\,\alpha_4)\) 有解,其次再是特解 \(x^*\) 的系数为 \(1\)
T9 \(U=\max(X,\,Y)\),则 \(F_U(u)=F_X(u)F_Y(u)\) ?\(X,\,Y\) 首先要独立!
T10 \(H_0\) 为 \(\mu=0\),取拒绝域为 \(\{\bar{x}>0.4\}\) 当 \(\mu=1\) 时,犯第二类错误的概率为?概率就是 \(P\{\bar{X}\leqslant 0.4|\mu=1\}\):接受实际不真的假设
T12 积分(尤其多重的积分)注意区间!
T15 三阶行列式 \(|A|\) 元素均为 \(\pm1\),则 \(|A|\) 取值只能是 \(0,\,4,\,-4\):联系几何,就是三个向量混合积,看起来体积只有一种(当然还有共面的情况)
T16 \(t(1)\) 分布,求 \(P\{T\leqslant1\}\):正常方法就 \(\dfrac12+\dfrac12P\{X^2<Y^2\}\),不过这里还是个标准柯西分布
- \(C(1,\,0)\) 标准柯西分布:\(f(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}\),这是一种数学期望与方差均不存在的分布。\(t(1)\) 即 \(C(1,\,0)\)
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T4 \(f^{''}(x)\neq0\),证明 \(f(x)=xf^{'}(\theta x)(0<\theta<1)\) 有且仅有唯一解。而关于求 \(\theta\) 的极限,两种方法看看还记不记得
T8 几何分布无记忆性(和指数分布一样):\(P\{X>s+t|X>t\}=P\{X>s\}\)
T10,16 求置信区间的置信水平,其实就是求被估计的未知参数落在区间内的概率
T15 \(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\),且存在 \(n\) 个互不相同的零点,如何证明 \(f(x)\equiv0\):罗尔定理
T19 周 一 振 动 , 类 目(doge)
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T6 行变换求正负惯性系数 —— 略作改进,\((A\ \vdots\ E)\overset{只能E_{ij}(k)}\longrightarrow(B\ \vdots\ P^T)\),其中 \(B\) 是上三角阵,如此一来就求出来配方法的 \(P\),可用于大题的验算
T10 估计 \(\sigma^2\),\(\mu\) 已知的时候是 \(\dfrac{\sum(X_i-\mu)}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n)\),\(\mu\) 未知的时候才是 \(\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2_0}\sim\chi^2(n-1)\)
T13 这里 \(y=-\dfrac{2}{x^2+2C}\) 和 \(y=-\dfrac{2C}{Cx^2+2}\) 其实都有漏解,不过通解不是全解,应该是不需要补解的
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T1 \(f(x)\) 连续,在 \(x_0\) 可导,且 \(f^{'}(x_0)>0\),推不出 \(\exist\delta>0,\,s.t.\ f(x)\) 在 \((x_0,\,x_0+\delta)\) 单调增加:振荡的三角函数,在任意小的邻域内都有增有减(而且也没说 \(f^{'}\) 连续)
T3 判断极值点的正负,有时可以代换掉一部分,如本题极值点 \(\mathrm{e}^{-x_0}=2-2x_0\),于是 \(f(x_0)=1-x_0^2\),和 \(\pm1\) 比较就好了。有高中那味了,类目
T16 按说二阶矩估计应该用原点矩吧,原点矩的话那就是 \(\hat{\theta}=\sqrt{3\left(\dfrac{n-1}{n}S^2+\bar{X}^2\right)}\)
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T2 正常做法就换序,当然也可以直接求导,\(\displaystyle F^{'}(1)=\int_{t^2}^{t^2}\square+\int_0^{t^2}\left(2t\mathrm{e}^{x+t^2}\cos\pi t\right)\,\mathrm{d}x\Big|_{x=1}=\int_0^1\left(2\mathrm{e}^{x+1}\cos\pi\right)\,\mathrm{d}x\)
T8 注意 \(F(x)=\alpha\Phi(x)+(1-\alpha)\Phi(\dfrac{x-1}{2})\),并不是正态分布,与 \(Z=\alpha X+(1-\alpha)Y\) 不同
T10 重期望公式 \(X\sim N(0,\,1)\),在 \(X=x\) 的条件下,\(Y\sim N(x,\,\dfrac12)\)
- \(E(Y)=E_X[E(Y|X)]=E_X(X)=0\)
- \(D(Y)=E_X[D(Y|X)]+D_X[E(Y|X)]=E_X(\dfrac12)+D_X(X)=\dfrac12+\dfrac12=1\)