题意定义关于数字串\(s\)的函数\(f(s)\)表示将\(t\)切分为\(m\)段，要求\(m\)是偶数，假设这些字符串分别为\(t_1,t_2,\ldots,t_m\)，有\(s=t_1+t_2+\ldots+t_m\)。定义\(A^x\)表示\(\underbrace{AA\ldotsAA}_{x~\text{times}}\)，求一种划分方式，使得\(t_2^

定理1设（1）当\(x\toa\)时，函数\(f(x)\)及\(F(x)\)都趋于零；（2）在点\(a\)的某去心邻域内，\(f^{'}(x)\)及\(F^{'}(x)\)都存在且\(F^{'}(x)\neq0\)；（3）\(\lim\limits_{x\toa}\cfrac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}\)存在（或为无穷大），则\[\lim_

1928.规定时间内到达终点的最小花费-力扣（LeetCode）有点难，参考官方题解代码：利用了动态规划思想，逐步计算从起点到各个城市在不同时间下的最小费用。 1.代码解释，涉及，static关键字，constexpr关键字，INT_MAX除以2赋值的含义staticconstexprintINFTY=INT_MAX/2; 1.**`

\[x\ln\dfrac{x}{x-1}>1,\quad\forallx>1.\]该不等式曾出现于无旋平衡树（范浩强Treap）平均时间复杂度证明的一步放缩，但原文并未给出证明.现将其补完.实际上，这只是一道很简单的高中导数题罢了.证明熟知\(\ln\)的切线不等式\[\lnt<t-1,\quad\forallt\in(0,1)\cup(1,+\inft

定理1：两个无穷小的和是无穷小。注：有限个无穷小之和也是无穷小定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论：常数与无穷小的乘积是无穷小推论：有限个无穷小的乘积是无穷小。定理3：如果\(\limf(x)=A,\lim\mathrm{g}(x)=B\)，那么（1）\(\lim[f(x)\pm\mathrm{g}(x)]=\limf

目录一、无穷小二、无穷大一、无穷小定义：如果函数\(f(x)\)当\(x\tox_0\)（或\(x\to\infty\)）时的极限为零，那么称函数\(f(x)\)为当\(x\tox_0\)（或\(x\to\infty\)）时的无穷小.特别地，以零为极限的数列\(\{x_n\}\)称为\(n\to\infty\)时的无穷小。注意：不要把

目录数列极限的定义数列的概念数列极限的定义收敛数列的性质数列极限的定义数列的概念如果按照某一法则，对每个\(n\in\mathbb{N}_+\)，对应着一个确定的实数\(x_n\)，这些实数\(x_n\)按照下标\(n\)从大到小排列得到的一个序列\[x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,\cdots,\]就

[T240829]代数学基本定理:在复平面上次数大于\(1\)的一元多项式至少有一个零点.引理(Liouville)有界整函数\(f(z)\)必为常数.证：设\(|f(z)|\)有上界\(M\).即\(\forallz\in\C,~|f(z)|\leM\).于是由Cauchy不等式,对\(\foralla\in\C\),有\[0\le|f'(a)|\le

该文只推导一些特殊序列的生成函数1.$\quad$对于序列{\(a_n\)}，\(a_n=1^n\)，其生成函数为\(g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^n}\)。$\quad$现在推导其封闭形式，先将其乘一个\(x\)，可以得到：\[x\cdotg(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_nx^{n+1}}\]$\quad$两式相减可得

高等数学学习笔记（二）书接上回。我们已经了解熟悉了数列极限的相关知识。本篇我们从函数极限开始。Chapter4函数的极限1.自变量趋于无穷大时函数的极限对于定义在实数集上的函数\(f(x)\)，自变量\(x\)趋于无穷大有三种形式①\(x\to+\infty\)，即沿\(x\)轴正向趋于无穷大（

简单推式子...1已知\(a_n=2\timesa_{n-1}+3\timesa_{n-2}+3^{n}(n\ge2)\),\(a_0=-1\),\(a_1=1\),求\(a_n\).解：设\(f(x)=\sum\limits_{i=0}a_ix^i\)则\[\begin{alignedat}{3}f(x)&=\sum\limits_{i=0}a_ix^i\\

F.MakeaPalindrome给定一个由\(n\)个整数组成的数组\(a\)。让函数\(f(b)\)返回使数组\(b\)成为回文所需的最小操作次数。您可以进行的操作有:选择两个相邻的元素\(b_i\)和\(b_{i+1}\)，删除它们，并用一个元素\((b_i+b_{i+1})\)替换它们;或者选择一个元素

用来构造一个多项式来近似一个函数\[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n\]大概就是用\(n\)阶导数来拟合一下。严谨推导：假设\(f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域\(U(x_0)\)能近似表达为\(g_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n=

第一公式数列若\(\{a_n\}\uparrow\)且\(\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=+\infty\)，又数列\(\{b_n\}\)满足\[\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{b_{n+1}-b_{n}}{a_{n+1}-a_{n}}=l\]其中\(l\)有限或为正负无穷（无穷不可），则有\[\lim\limits_{n\to\infty}\dfr

高等数学学习笔记最近入门了高等数学，特此记录一下学习到的重点。Chapter1实数与实数集这部分内容高中已经接触过很多了，仅补充一些未曾了解过的。1.完备性实数集不仅对加减乘除开方运算封闭，并且对于极限运算也封闭，这个性质被称为“完备性”。实数中的集合通常称为数集。2.

Description给定\(k,pa,pb\)，有一初始为空的序列。每次有\(\dfrac{pa}{pa+pb}\)的概率往序列后面加一个a。每次有\(\dfrac{pb}{pa+pb}\)的概率往序列后面加一个b。当出现大于等于\(k\)个形如ab的子序列（a和b不一定相邻）时停止。求序列最终的ab子序列期望数。So

Day1T1水镜WC赛时做法考虑对于相邻的两个位置\(i\)和\(i+1\)，他们之间的连通性可以用一个\(2\times2\)的矩阵描述，即\(i\)对应的两个位置是否和\(i+1\)对应的位置可以连接。发现这个\(2\times2\)的矩阵只会变化一次，且变化的时刻就是\(\dfrac{h_i+h_{i+1}}{2}\)

文章目录一、背景P124-125二、基本概念P125-1302.1复数P125-P1262.2傅里叶级数P1262.3冲激及其取样特性P126-P1282.4连续变量函数的傅里叶变换P128-P1302.5卷积P130-P131三、取样与取样函数的傅里叶变换P131-P1373.1取样P1

生成函数学习笔记有一部分没地方写的组合数学，先写这里。0.pre-learning1.上升/下降幂：\[n^{\underline{k}}=n\times(n-1)\times\cdots\times(n-k+1)\]称为\(n\)的下降幂。同理：\[n^{\overline{k}}=n\times(n-1)\times\cdots\times(n+k-1)\]称为\(

定义概率：某个随机事件出现的可能性大小。事件\(A\)发生的概率记作\(P(A)\)，其取值范围为\([0,1]\)。期望：若\(X\)是一个离散型的随机变量，可能的取值为\(x_1,x_2,\dots,x_n\)，对应的概率分别为\(p_1,p_2,\dots,p_n\)，那么它的期望值为\(\sum_{i=1}^np_ix_i\)。随机变

我们设\(s_i\)表示前\(i\)个句子的长度之和，这样就有dp\[f_i=\min_{j<i}\big\{f_j+|s_i-s_j+i-j-1-L|^P\big\}\]我们设\(w(l,r)=|s_r-s_l+r-l-1-L|^P\)，如果\(w\)满足四边形不等式，则原dp具有决策单调性。设\(u=(s_i+i)-(s_j+

Definition设函数\(f(x)\)在无穷区间\([a,+\infty)\text{上连续,取}b>a\),如果极限$$\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx$$存在，则称此极限值为函数\(f(x)\)在无穷区间\([a,+\infty)\)上的反常积分(或广义积分),记作\(\int_a^{+\infty}f(x)dx\),即\[\int_{a}^{+\infty}f(x

文章目录测度概述集类笛卡尔积定义例子多集合的笛卡尔积定义计算方法注意事项有限笛卡尔积的性质1.定义2.性质2.1基数性质2.2空集性质2.3不满足交换律2.4不满足结合律2.5对并和交运算满足分配律3.示例4.结论参考链接测度概述所谓测度，通俗的讲就是测量

极限的严格定义在数学中是非常重要的，它为微积分及其后续理论提供了坚实的基础。下面分别给出数列极限和函数极限的严格定义。数列极限的严格定义设\((a_n)_{n=1}^{\infty}\)是一个实数数列，\(a\)是实数。我们说数列\((a_n)\)的极限是\(a\)，记作\[\lim_{n\to\infty}a_n=a,\]

考虑按题目所述的进行DP。设计状态\(f_{i,j}\)代表强制要求\((i,j)\)要走向\((i+1,j)\)最小的横坐标之差，这是因为对应的纵坐标之差是确定的。对于转移，考虑到对于\(j\not\in[a_i,b_i]\)，直接从上面转移下来即可，即\(f_{i,j}\leftarrowf_{i-1,j}\)。对于\(j