指数不等式与对数不等式

前情概要

看到学生对指数不等式和对数不等式比较陌生，故从这篇各种不等式的解法收集博文中分离出来单独成篇，详细说明这两种恼人的不等式的解法算理 .

指数不等式

我们知道，\(2^x\) 称为指数式，那么含有指数式的不等式就可以称为指数不等式了，最简单的指数不等式，举个例子，\(2^x\)\(>\)\(4\)，我们一口就能说出答案，\(x\)\(>\)\(2\)，但是遇到 \(2^x\)\(>\)\(3\)，一般学生思路就有点涩滞卡壳了，其实和上述一样，只要将常数 \(3\) 指数化就可以了，此处用到对数恒等式 \(3=2^{\log_23}\) ^[1]，这样 \(2^x\)\(>\)\(3\)，我们就可以将其等价转化为 \(2^x\)\(>\)\(2^{\log_23}\)，类比上述解法，你也能很快解出来 \(x>\log_23\)，只是你需要突破 \(\log_23\) 和 \(2\) 一样都是实数这一点，思维上就没有卡壳的地方了。

指数不等式常用转化变形： 指数不等式[属于超越不等式] \(\Longleftrightarrow\) 代数不等式
当 \(a>1\) 时，\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\) \(\Longleftrightarrow\) \({f(x)}>{g(x)}\)
当 \(0<a<1\) 时，\(a^{f(x)}>a^{g(x)}\) \(\Longleftrightarrow\) \({f(x)}<{g(x)}\)

对应练习01

① \(2^x>3.2\)，即\(2^x>2^{log_2{3.2}}\)，解集为\((log_2{3.2}，+\infty)\)；

② \(3^{x^2-3x-1}<(\cfrac{1}{3})^{2x-1}\)，解集为\((-1，2)\)；

③ \(e^x>2\)，即\(e^x>e^{ln2}\)，，解集为\((ln2，+\infty)\)；

④ \(81\times3^{2x}\ge (\cfrac{1}{9})^{x+2}\)，解集为\((-2，+\infty)\)；

⑤ \(2^{2x+2}+3\times2^x-1\ge 0\)，解集为\((-2，+\infty)\)；

对数不等式

\(log_2^{\,\,x}<1\)，解集为\((0，2)\)；

\(log_2^{\,\,(x-2)}<log_2^{(2x+1)}\)， 解集为\((2，+\infty)\)；

\(log_2^{\,\,(x+1)}<2.5\)，解集为\((-1，4\sqrt{2}-1)\)；

对数不等式常用转化变形：

当 \(a>1\) 时，\(\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l}f(x) >0,&定义域角度限制\\g(x)>0,&定义域角度限制\\f(x)>g(x),&单调性角度限制\end{array}\right.\)

当 \(0<a<1\) 时，\(\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{\begin{array}{l}f(x) >0,&定义域角度限制\\g(x)>0,&定义域角度限制\\f(x)<g(x),&单调性角度限制\end{array}\right.\)

高阶应用

解不等式 \((\frac{x}{\ln x})^x>x^{\frac{x}{\ln x}}\)，\(x>1\)

解：两边取自然对数，得到\(x\cdot \ln\cfrac{x}{\ln x}>\cfrac{x}{\ln x}\cdot\ln x\)，

整理为 \(\ln \cfrac{x}{\ln x}>1\)，即\(\ln \cfrac{x}{\ln x}>\ln e\)，

故得到，\(\cfrac{x}{\ln x}>e\)，即\(\cfrac{x}{e}>\ln x\)，

借助图像或用导数求解如下，

令\(g(x)=\cfrac{x}{e}-\ln x\)，则\(g'(x)=\cfrac{1}{e}-\cfrac{1}{x}\)，

故当\(x\in(1,e)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，

当\(x\in (e,+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，

故\(g(x)_{\min}=g(e)=0\)，故\(g(x)\geqslant0\)，

因此，不等式\(\cfrac{x}{e}>\ln x\)的解集为\(x\in (1,e)\cup(e,+\infty)\) .