【伯努利不等式】(1+h)^n>1+nh （h>0,n为大于1的自然数）【数学归纳法证法】证明：n=2时，(1+h)^2=1+2h+h^2>1+2h  不等式成立n=3时，(1+h)^3=1+3h+3h^2+h^3>1+3h  不等式成立假设n=k时，有(1+h)^k>1+kh则n=k+1时，(1+h)^(k+1）=(1+h)^k*(1+h)>(1+kh)(1+h)=1+(1+k)h+kh^2>1+(1+

【问题】（山东临沭高一期中）已知x>0,y>0,且x+y+xy=3,若不等式x+y>=m^2-m恒成立，则实数m的取值范围为？【出处】《高考数学极致解题大招》P102典例3中原教研工作室编著【解答】由x+y+xy=3得到x+y+xy+1=3+1继而得到(x+1)(y+1)=4而x+y=(x+1)+(y+1)-2>=2*根号下((x+1)(y+1))-2=2*2-2=2所以

【题目】已知x>0,y>0,且x+y=7,则(1+x)(2+y)的最大值为？（湖南雅礼中学高三阶段练习）【出处】《高考数学极致解题大招》P99典例1-2中原教研工作室编著【解答一：二次函数法】(1+x)(2+y)=9+x(1+y)=9+x(8-x)=-x^2+8x+9=-(x-4)^2+25故当x=4时，上式最大值取25，此时y=3【解答二：基本不等式法】由

\[x\ln\dfrac{x}{x-1}>1,\quad\forallx>1.\]该不等式曾出现于无旋平衡树（范浩强Treap）平均时间复杂度证明的一步放缩，但原文并未给出证明.现将其补完.实际上，这只是一道很简单的高中导数题罢了.证明熟知\(\ln\)的切线不等式\[\lnt<t-1,\quad\forallt\in(0,1)\cup(1,+\inft

四边形不等式优化四边形不等式对于定义域为整数的二元函数\(w(i,j)\)，如果对于\(a\leb\lec\led\)，满足\(w(a,c)+w(b,d)\lew(a,d)+w(b,c)\)（即交叉小于等于包含），则称\(w(i,j)\)满足四边形不等式。还是上面的函数，如果对于\(a+1<b\)，满足\(w(a,b)+w(a+1,b+1)\lew(a,b+1)+w(

四边形不等式学习笔记定义四边形不等式（QI）如果对于函数\(w(l,r)\)，\(l_1\lel_2\ler_1\ler_2,w(l_1,r_1)+w(l_2,r_2)\lew(l_1,r_2)+w(l_2,r_1)\)，则称\(w\)满足四边形不等式，函数\(w\)的二维矩阵被称作蒙日矩阵。一般只能用于求\(\min\)的DP。石子合并模型对

【问题】已知a,b皆为正数，且2/(a+2)+1/(a+2b)=1,则a+b的最小值是多少，此时a等于几？【来源】《解题卡壳怎么办高中数学解题智慧点剖析》P33余继光苏德矿合著浙江大学出版社出版【破题点】展开2/(a+2)+1/(a+2b)=1应该对ab的关系有更直观的发现，另外题目问法暴露其核心可能是基本不等

【定义】四边形不等式是对一个二元函数\(w(l,r)\)定义的。这个\(w(l,r)\)可以看作一段区间的"代价"。如果\(\foralll_1\lel_2\ler_1\ler_2\)，都有\(w(l_1,r_1)+w(l_2,r_2)\lew(l_1,r_2)+w(l_2,r_1)\)，称\(w()\)满足四边形不等式。简记为"交叉小于包含"。同时有一

1.定义1.1四边形不等式四边形不等式指的是二元函数\(w(l,r)\)对于\(l_1\lel_2\ler_1\ler_2\)满足：\[w(l_1,r_1)+w(l_2,r_2)\lew(l_2,r_1)+w(l_1,r_1)\]也就是交叉优于包含。四边形不等式的等价形式是：\[w(l,r-1)+w(l+1,r)\lew(l,r)+w(l+1

均值不等式排序不等式TrigonometryinequalityNewtoninequalityBernoulliinequalityChebyshevinequalityHölderInequality

由于四边形不等式太难了，所以只有应用，证明的自己考场上去猜优化思路考虑当状态转移满足四边形不等式时，具有决策单调性，即一种状态只会在一段特定的区域内生效，并且具有单调性P4767[IOI2000]邮局加强版先打暴力，设\(d_{ij}\)为前\(i\)个村庄，\(j\)个邮局，那么可以暴力去找上

没什么好写的。算法思路有\(n\)个未知数\(x_i\)，给定\(m\)个形如\(x_i-x_j\lec\)(\(c\)为常数)的不等式。\(\begin{cases}x_{a_1}-x_{b_1}\lec_1\\x_{a_2}-x_{b_2}\lec_2\\\dots\\x_{a_3}-x_{b_3}\lec_3\\\end{cases}\)求一组最大解和最小解。使得所有

【问题】若实数a>1,b>2,且满足2a+b-6=0,则1/(a-1)+2/(b-2)的最小值为？【解答】符号表达式解释 原式12a+b-6=02(a-1)+(b-2)=2形式变换（关键步骤） =2x+y=2设a-1=x,b-2=y原式21/(a-1)+2/(b-2) =1/x+2/y设a-1=x,b-2=y=(x+y/2)/x+(2x+y)/y将x+y/2=1及2x+y=2替换掉分子里的1和2=1+

别问我取等条件，全导数处理不了区等条件）全导数为了方便，记\(f_i\)表示对\(x_i\)求偏导的结果定义设一个\(n\)元函数\(f(x_1,x_2,x_3...,x_n):R^n\toR\)，其全导数定义为对每一维求偏导的结果的和，记为\(D(f)\)即\(D(f)=\sum\limits_{i=1}^{n}f_i\)全导数保留了导数的一

考试要求了解切比雪夫不等式；了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）；了解棣莫弗-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限）和列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）1.1马尔可夫和切比雪夫不等式2.1.1马尔可夫

要证明表面积相同时，正方体的体积比长方体的体积大，可以通过比较它们的体积公式来证明。以下是详细的证明过程：设定变量：设正方体的边长为\(a\)。设长方体的长、宽、高分别为\(l\)、\(w\)、\(h\)。表面积公式：正方体的表面积\(S_{\text{cube}}=6a^2\)。长方体的表面

TODO:全文的\(\sum\)与\(\prod\)在无特殊说明时默认为\(i=1,2,\cdots,n\)。平凡的不等式\(\forallx\in\mathbbR\)，\[x^2\ge0\]例1Example证明：\(\forallx\in\mathbbR\)，\(\cos2x+\sin^2x\ge0\)。Solution由\(\cos\)二倍角公式可得：\[\begi

集中不等式（concentrationinequalities）是在概率论和统计学中用于描述随机变量（尤其是随机变量的和或函数）的集中程度的一类不等式。它们为随机变量偏离其期望值的概率提供了上界。这些不等式在很多领域都有应用，包括机器学习、统计学习理论、组合数学和随机过程等。下面介绍几

前言某些概念。四边形不等式是dp式子满足决策单调性的必要但不充分条件。决策单调性：对于某个最优化问题而言，若任意的\(i<j\)都满足\(opt(i)\leqopt(j)\)，那么称该dp满足决策单调性。（\(opt_i\)表示\(dp_i\)从\(opt_i\)这种情形转移过来）以下先用最基础的问题讨论。

link：https://codeforces.com/gym/105143Groupcontests：https://codeforces.com/group/DWEH34LQgT/contest/521901题意：有\(n\)件\(A\)物品，\(m\)件\(B\)物品，两种物品价值分别是\(a,b\)，若干件\(A\)和若干件\(B\)可以打包成一个商品，打包尽可能多的商品的情况下让剩余的

能量不等式这一部分需要知道的是能量的表达式\[E(t)=\int_{0}^{l}u_{t}^{2}+a^{2}u_{x}^{2}dx\]一般而言题目常见的问法是证明能量是减少的，也就是我们需要证明\[\dfrac{d}{dt}E(t)\le0\]在计算\(\dfrac{d}{dt}E(t)\le0\)的时候一定会用的题目给的方程条件去凑微分，还会

\(01\)背包的trick。Link.做法\(1\)暴力背包。超时。做法\(2\)一个显然的性质就是，按\(c_i\)归类，先用价值大的。如果无法更新背包，直接退出循环即可。亲测能获得85pts的好成绩。时间复杂度同暴力背包。（理论）做法\(3\)如果你认真打了表，会发现如果从大往小放，那么最

I，不等式  2，大数定律 特注，该定理的证明一般假设方差有限，然后证明此情形。事实上，方差无限也成立，但比较精巧，一般书上不给证明。   

三角不等式一般来说软件工程观察到了反三角不等式：要从A到C，通过先从A到B，然后从B到C比直接从A到C更快。如果你提一个拉请求，有帮助的是将它分成更小的部分。如果你重构某些东西，先引入一个新的工作拷贝然后分别淘汰旧代码，比原地更改这个东西要快。reactts速查表htt

我要急眼了，看了一个破博客写错的浪费我两个小时Task1先讲讲最简单的类型。通常，都是一类类似\(f_i=\min_{j=1}^if_j+w(i,j)\)决策单调，字面意思，就是每次取的点都是右移的。先声明一下，四边形不等式是决策单调性的充分不必要条件。只证明充分条件。令\(w\)满足\(w(a,c)+w