珠宝 (01背包，四边形不等式)

\(01\) 背包的 trick。

Link.

做法 \(1\)

暴力背包。超时。

做法 \(2\)

一个显然的性质就是，按 \(c_i\) 归类，先用价值大的。

如果无法更新背包，直接退出循环即可。

亲测能获得 85pts 的好成绩。

时间复杂度同暴力背包。（理论）

做法 \(3\)

如果你认真打了表，会发现如果从大往小放，那么最后一个更新的点是在递增的。

这一个很好理解，更新点只会右移。

加上这个小优化，虽然理论复杂度和暴力没区别，但是就是能草过去。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 50005
#define M 305
#define ll long long
#define reg register
using namespace std;
int n,m;
ll f[N];
vector <int>E[M];
inline int read()
{
	int s=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')
	{
		s=(s<<3)+(s<<1)+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return s;
}
int main()
{
//	freopen("a1.in","r",stdin);
	n=read(),m=read();
	for(reg int i=1;i<=n;i++)
	{
		int c,v;
		c=read(),v=read();
		E[c].push_back(v);
	}
	for(reg int i=1;i<=M-5;i++)
	{
		if(E[i].empty()) continue;
		sort(E[i].begin(),E[i].end());
		int used=1,pos=i;
		for(reg int k=E[i].size()-1;k>=0;k--)
		{
			int now=E[i][k];
			used=0;
			for(reg int j=m;j>=pos;j--)
				if(f[j]<f[j-i]+now) f[j]=f[j-i]+now,used=j;
			pos=used;
			if(!used) break;
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld ",f[i]);
	return 0;
}

做法 \(4\)

所以在同一纬度内有决策单调性。

我们定义 \(f_{i,j}\) 表示第 \(i\) 类物品花 \(j\) 元的最大价值。

所以转移方程是 \(f_{i,j}=\min f_{i-1,j-kc}+w(k)\)

按 \(k\) 分类转移即可。

时间复杂度 \(O(Cm\log m)\)。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 50005
#define M 305
#define K 1000005
#define ll long long
#define reg register
using namespace std;
int n,m;
ll f[N],g[N];
vector <ll>E[M];
inline int read()
{
	int s=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')
	{
		s=(s<<3)+(s<<1)+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return s;
}
ll sum[K];
void solve(int l,int r,int ql,int qr,int k,int cur)
{
	if(l>r||ql>qr) return;
	int mid=(l+r)/2*k+cur;
	ll maxx=-1;
	int pos=1145141919;
	for(int i=ql;i<=min(mid,qr);i+=k)
		if(g[i]+sum[(mid-i)/k]>maxx) maxx=g[i]+sum[(mid-i)/k],pos=i;
	f[mid]=maxx;
	mid=(l+r)/2;
	solve(l,mid-1,ql,pos,k,cur);
	solve(mid+1,r,pos,qr,k,cur);
}
int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(reg int i=1;i<=n;i++)
	{
		int c,v;
		c=read(),v=read();
		E[c].push_back(v);
	}
	for(reg int i=1;i<=M-5;i++)
	{
		if(E[i].empty()) continue;
		sort(E[i].begin(),E[i].end());
		int len=E[i].size();
		memset(sum,0,sizeof sum);
		for(reg int k=1;k<=min(len,m);k++)
			sum[k]=sum[k-1]+1ll*E[i][len-k];
		for(int i=len+1;i<=m;i++) sum[i]=sum[i-1];
		memcpy(g,f,sizeof g);
		for(int k=0;k<i;k++)
		{
			int R=(m/i)*i+k;
			if(R>m) R-=i;
			solve(0,(R-k)/i,k,R,i,k);
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld ",f[i]);
	return 0;
}