算数平均不等式，几何平均不等式

要证明表面积相同时，正方体的体积比长方体的体积大，可以通过比较它们的体积公式来证明。以下是详细的证明过程：

1. 设定变量：

   • 设正方体的边长为 \(a\)。
   • 设长方体的长、宽、高分别为 \(l\)、\(w\)、\(h\)。

2. 表面积公式：

   • 正方体的表面积 \(S_{\text{cube}} = 6a^2\)。
   • 长方体的表面积 \(S_{\text{rect}} = 2(lw + lh + wh)\)。

3. 设表面积相等：
   由于表面积相等，所以有：

   \[6a^2 = 2(lw + lh + wh) \]

   简化得到：

   \[3a^2 = lw + lh + wh \]

4. 体积公式：

   • 正方体的体积 \(V_{\text{cube}} = a^3\)。
   • 长方体的体积 \(V_{\text{rect}} = lwh\)。

5. 利用均值不等式：
   我们利用算术平均数和几何平均数不等式 (AM-GM Inequality)，对于非负数 \(lw\)、\(lh\)、\(wh\) 来说，有：

   \[\frac{lw + lh + wh}{3} \geq \sqrt[3]{(lw)(lh)(wh)} \]

   由表面积相等条件 \(3a^2 = lw + lh + wh\)，代入上式得到：

   \[\frac{3a^2}{3} \geq \sqrt[3]{(lw)(lh)(wh)} \]

   简化得到：

   \[a^2 \geq \sqrt[3]{(lw)(lh)(wh)} \]

   两边取平方根：

   \[a \geq \sqrt[3]{lwh} \]

6. 比较体积：
   由上式可知：

   \[a^3 \geq lwh \]

   即：

   \[V_{\text{cube}} \geq V_{\text{rect}} \]

由此可见，当表面积相同时，正方体的体积 \(a^3\) 总是大于或等于长方体的体积 \(lwh\)。特别地，当长方体退化为正方体（即 \(l = w = h = a\)）时，等号成立。因此，正方体的体积比长方体的体积大。