4.2二阶线性齐次常微分方程在正常点附近邻域内的级数解法

标签：infty 方程 系数 4.2 sum 邻域 级数解 二阶 0a

二阶线性齐次常微分方程的标准形式

\[\frac{d^2u(z)}{dz^2} + p(z)\frac{du(z)}{dz} + q(z)u(z) = 0 \]

• 方程的正常点：\(p(z)\) 和 \(q(z)\) 在该点及其邻域内解析

• 方程的孤立奇点：该点为 \(p(z)\) 和 \(q(z)\) 的孤立奇点

• 方程的正则奇点：该奇点最多为 \(p(z)\) 的单极点及 \(q(z)\) 的二阶极点

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\(p(z)\)和\(q(z)\)在圆域\(|z - z_0| \leq R\)内解析，
则方程的解在此圆域内可展为泰勒级数

\[u(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k(z - z_0)^k \]

证明见附录

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将上式代入原方程：

\[\sum_{k=0}^{\infty} k(k - 1)a_k(z - z_0)^{k-2} + \sum_{k=0}^{\infty} ka_k(z - z_0)^{k-1}\sum_{m=0}^{\infty} p_m(z - z_0)^m \]

\[+ \sum_{k=0}^{\infty} a_k(z - z_0)^k\sum_{m=0}^{\infty} q_m(z - z_0)^m = 0 \]

\[\sum_{k=0}^{\infty} (k + 1)(k + 2)a_{k+2}(z - z_0)^k + \sum_{k=0}^{\infty} (k + 1)a_{k+1}(z - z_0)^k\sum_{m=0}^{\infty} p_m(z - z_0)^m \]

\[+ \sum_{k=0}^{\infty} a_k(z - z_0)^k\sum_{m=0}^{\infty} q_m(z - z_0)^m = 0 \]

幂级数展开式系数递推关系：

\[2a_2 + p_0a_1 + q_0a_0 = 0 \]

\[6a_3 + 2p_0a_2 + a_1p_1 + q_0a_1 + q_1a_0 = 0 \]

\[\vdots \]

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4.2附录：
证：设 \(u(z)\) 展开的最低次幂为 \(s\) 次 \(u(z) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k(z - z_0)^{s+k}\) 代入方程

\[\sum_{k=0}^{\infty} (s+k)(s+k-1)a_k(z-z_0)^{s+k-2} + \sum_{k=0}^{\infty} (s+k)a_k(z-z_0)^{s+k-1} \sum_{m=0}^{\infty} p_m(z-z_0)^m \]

\[+ \sum_{k=0}^{\infty} a_k(z-z_0)^{s+k} \sum_{m=0}^{\infty} q_m(z-z_0)^m = 0 \]

各幂次项系数必为 0！

最低幂次项系数 \(s(s-1)a_0 = 0\)

\(a_0 \neq 0\)

指标方程 \(s(s-1) = 0\) \(\rightarrow s_1 = 0,\quad s_2 = 1\)

注：各幂次项系数必为 0是今后解该方程系数的常见用法。

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